Двійкова система числення — це позиційна система числення, база якої дорівнює двом та використовує для запису чисел тільки два символи: зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю). Числа, представлені в цій системі часто називають двійковими або бінарними числами.
Для запису числа у двійковій системі числення використовується представлення цього числа за допомогою степенів числа 2.
Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати в електричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.
Представлення
Двійкове число можна представити як послідовність будь-яких об'єктів, які можуть знаходитися в одному з двох можливих станів. Наприклад: Числа, що можуть приймати значення 0 або 1: 1 0 1 0 0 1 1
Двійкова система числення є позиційною системою числення, база якої дорівнює двом. Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати у електричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.
Двійкове число можна представити як послідовність будь-яких об'єктів, які можуть знаходитися в одному з двох можливих станів. Наприклад:
- числа, що можуть приймати значення 0 або 1;
- позиції, на яких можуть стояти хрестики або нулики: х о х о о х х;
- вузли електричної схеми, які може бути, а може не бути зіструмлено;
- ділянки магнітної стрічки, які можуть бути, чи не бути намагніченими.
Зазвичай, для позначення двійкових чисел використовують нулі та одиниці. Перші персональні комп'ютери для відображення чисел мали ряд електричних лампочок (кожна з яких, зрозуміло, може або світитися, або бути вимкненою).
Переваги:
- для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами: є струм — немає струму; намагнічений — не намагнічений;
- представлення інформації за допомогою тільки двох станів надійно і завадостійко;
- можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;
- двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.
Недолік: швидке зростання числа розрядів, необхідних для запису чисел.
Лічба у двійковій системі
Рахувати у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. Скажімо, у десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і одиниця додається до старшого. Наприклад: 9 + 1 = 10, 44 + 7 = 51; Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох — розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду. Тобто: 1 + 1 = 10. Зверніть увагу, «10» у цьому записі — двійкове число, у десятковій системі це число записується як «2». А десяткове 9 + 1 = 10 у двійковій системі буде виглядати так: 1001 + 1 = 1010 (після додавання одиниці число в останньому розряді дорівнює двом, тож розряд обнуляється і одиниця додається до передостаннього (старшого) розряду).
Таблиця додавання
+ | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 10 (перенесення у старший розряд) |
Приклад додавання «стовпчиком» (1410 + 510 = 1910 або 11102 + 1012 = 100112):
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |
---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | |||
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Таблиця віднімання
- | 0 | 1 | |
---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | |
1 | 1 (позика зі старшого розряду) | 0 |
Таблиця множення
× | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Приклад множення «стовпчиком» (1410 * 510 = 7010 або 11102 * 1012 = 10001102):
× | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | |||||
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | ||||
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Приклади
Приклад 1. Обчислити кількість інформації в слові «Інформатика» за умови, що для кодування використовується 32-значна абетка.
Розв'язок. Обчислимо кількість інформації, що відповідає 1 символу при використанні 32-значного алфавіту : 32 = 2х, х = 5 біт. Слово «Інформатика» складається з 11 символів, отримуємо 11* 5 = 55 (біт).
Приклад 2. Растровий графічний файл містить чорно-біле зображення з 2 градаціями кольору (чорний і білий) розміром 800×600 точок. Визначте необхідний розмір цього файлу у байтах для кодування кольору точок (без урахування службової інформації про формат, авторство, способи стиснення тощо).
Розв'язок. Оскільки сказано, що зображення двокольорове, отже, для вказівки кольору однієї точки досить двох значень, що кодують білий або чорний колір. Два значення можуть бути закодовані одним бітом. Обсяг графічного файлу розраховується по формулі V=i×k, де i — глибина кольору, а k — кількість точок.
Тоді розмір графічного файлу дорівнює 800×600×1 біт = 480 000 бітів, враховуючи, що 8 бітів = 1 байт отримуємо 480 000 / 8 = 60 000 байтів. У реальності в графічних документах окрім опису кольору точок є присутньою ще і службово-додаткова інформація (про формат запису, авторські права, способи стиснення).
Конвертування десяткових чисел у двійкові і навпаки
Для перетворення з двійкової системи в десяткову використовують таку таблицю ступенів основи 2:
1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
---|
Починаючи з цифри 1 всі цифри множаться на два. Крапка, яка стоїть після 1, називається двійковою крапкою.
Конвертування двійкових чисел у десяткові
Припустимо, дано двійкове число 1100012. Для конвертування в десяткове запишіть його як суму за розрядами таким чином:
1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49
Теж саме але трохи по-іншому:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Можна записати у вигляді таблиці таким чином:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
+32 | +16 | +0 | +0 | +0 | +1 |
Пересувайтесь справа наліво. Під кожною двійковою одиницею напишіть її еквівалент у рядку нижче. Складіть отримані десяткові числа. Таким чином, двійкове число 1100012 рівнозначне десятковому 4910.
Конвертування дробових двійкових чисел у десяткові
Необхідно перевести число 1011010,1012 у десяткову систему. Запишемо число таким чином:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 90,625
Теж саме але трохи по-іншому:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Або за допомогою таблиці:
64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | , | 1 | 0 | 1 |
+64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | +0.5 | +0 | +0.125 |
Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему даним методом, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Методом Горнера зазвичай перекладають з двійкової в десяткову систему числення. Зворотна операція складна, тому що вимагає навичок додавання і множення в двійковій системі числення. Наприклад, двійкове число 10110112 переводиться в десяткову систему так:
0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91
Тобто в десятковій це число буде записано як 91.
Перетворнення дробової частини методом Горнера
Припустимо, нам потрібно перетворити число 21 на двійкове. Ви можете скористатися такою процедурою:
21 /2 = 10 з залишком 1
10 /2 = 5 без залишку 0
5 /2 = 2 з залишком 1
2 /2 = 1 без залишку 0
1 /2 = 0 з залишком 1
Отже, ми ділимо кожне частне на 2 і записуємо залишок на кінець двійкового запису. Продовжуємо поділ до тих пір, поки в частному не буде 0. Результат записуємо справа наліво. Тобто нижня цифра (1) буде самою лівою і т. д. В результаті отримуємо число 21 в двійковій запису: 10101.
Перетворення дробових десяткових чисел на двійкові
Якщо у вихідному числі є ціла частина, то вона перетвориться окремо від дробової. Переклад дробового числа з десяткової системи числення в двійкову здійснюється за таким алгоритмом:
- Дріб множиться на основу двійкової системи числення (2);
- В отриманому добутку виділяється ціла частина, яка приймається як старший розряд числа в двійковій системі числення;
- Алгоритм завершується, якщо дробова частина отриманого добутку дорівнює нулю або якщо досягнута необхідна точність обчислень. В іншому випадку обчислення тривають над дробовою частиною добутку.
Приклад: Потрібно перевести десяткове дробове число 206,116 в дробове двійкове число.
Переведення цілої частини дає 20610=110011102 за раніше описаним алгоритмом. Дробову частину 0,116 множимо на основу 2, заносячи цілі частини добутку у розряди після коми шуканого дробового двійкового числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
і т. д.
Таким чином 0,11610 ≈ 0,00011101102
Отримаємо: 206,11610 ≈ 11001110,0001110110
Використання
У цифрових пристроях
Двійкова система використовується в цифрових пристроях, оскільки є найбільш простою і відповідає вимогам:
- Що менше значень існує в системі, то простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: наявний струм (струм більше порогової величини) — відсутній струм (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т. д.
- Чим менша кількість станів у елемента, тим вища надійність і тим швидше пристрій може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стани через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора.
- Двійкова арифметика є досить простою. Простими є таблиці додавання і множення — основних дій над числами.
У цифровій електроніці одному двійковому розряду в двійковій системі числення відповідає (очевидно) один двійковий розряд двійкового регістра, тобто двійковий тригер з двома станами (0, 1).
У обчислювальній техніці широко використовується запис від'ємних двійкових чисел в доповняльному коді. Наприклад, число −510 може бути записано як −1012 але в 32-бітному комп'ютері зберігатиметься як 111111111111111111111111111110112.
В англійській системі числення
При вказівці лінійних розмірів в дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5¾″, 715/16″, 311/32″ і т.
Використання різних кодувань
У кодуванні ASCII на кожен символ відводиться 1 байт = 8 біт.
У кодуванні Unicode на кожен символ відводиться 2 байти = 16 біт.
Приклад 1. При кодуванні за допомогою Unicode знайти інформаційний обсяг фрази «Вчення — світло, а невчення — пітьма»!.
Рішення. Підрахуємо число символів в заданій фразі, враховуючи букви, пропуски і розділові (тире, кому, знак оклику) знаки. Всього символів — 33. Вичислимо розмір фрази : 33 * 2 = 66 байт = 528 біт.
Приклад 2. Повідомлення містить 4096 символів. Розмір повідомлення при використанні рівномірного коду склав 1/512 Мбайт. Знайти потужність алфавіту, за допомогою якого записано це повідомлення.
Рішення. Потужність алфавіту — кількість символів в алфавіті. Переведемо інформаційний розмір повідомлення у біти.
Для кодування одного символу відводиться
Тоді потужність алфавіту по формулі Р. Хартлі рівна N = 2i= 24= 16.
Приклад 3. Скільки секунд буде потрібно модему, що передає повідомлення із швидкістю 28 800 біт/с для передачі 100 сторінок тексту в 30 рядків по 60 символів кожна в кодуванні ASCII.
Рішення. У кодуванні ASCII кожен символ займає 8 біт або 1 байт.
Тоді обсяг тексту дорівнює 100 ∙ 30 ∙ 60 ∙ 8 = 1 440 000 бітів.
Для його передачі по модему знадобиться 1 440 000/28 800 = 50 секунд
Подання кількості інформації через різні одиницями вимірювання
1 біт — мінімальна неділима одиниця інформації.
8 біт складають 1 байт, таким чином1 байт = 8 біт
1 Кбайт = 1024 = 210байт
1 Мбайт = 1024 = 210Кбайт = 220байт
1 Гбайт = 1024 = 210Мбайт = 220Кбайт = 230байт
1 Пбайт = 1024 = 210Гбайт = 220Мбайт = 230Кбайт = 240байт
Приклад 1. Перевести 376832 біт в Кбайт.
Рішення 376832 біт = 376832 / 8 = 47104 байт = 47104 / 1024 = 46 Кбайт
Приклад 2. Перевести 37 Кбайт 515 Байт 3 біт у біт.
Рішення 37 Кбайт 515 байт 3 біт = 37 ∙ 1024 + 515 байт 3 біт = 38403 байт 3 біт = 38403 ∙ 8 +3 = 307227 біт.
Узагальнення
Двійкова система числення є комбінацією двійкової системи кодування і показниковою ваговою функцією з основою рівною 2. Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому коді, а система числення при цьому може бути не двійковою, а з іншою основою. Приклад: двійково-десяткове кодування, в якому десяткові цифри записуються в двійковому вигляді, а система числення — десяткова.
Історія
- Повний набір з 8 триграм і 64 гексаграмм, аналог 3-бітних і 6-бітних чисел, був відомий в древньому Китаї в книги Змін. Порядок гексаграмм в книзі Змін, розташованих у відповідності зі значеннями відповідних двійкових цифр (від 0 до 63), і метод їх отримання був розроблений китайським вченим і філософом Шао Юн в XI столітті. Однак відсутні докази, які свідчать про те, що Шао Юн розумів правила двійкової арифметики, розташовуючи двосимвольні кортежі в лексикографічному порядку.
- Індійський математик (200 до н. е.) розробив математичні основи для опису поезії з використанням першого відомого застосування двійкової системи числення.
- Прообразом баз даних, що широко використовувалися в Центральних Андах (Перу, Болівія) у державних та громадських цілях в I—II тисячолітті н. е., була вузликова писемність Інків — кіпу, що складалася як з числових записів десяткової системи так і не числових записів у двійковій системі кодування.
- Набори, що є комбінаціями двійкових цифр, використовувалися африканцями в традиційних ворожіннях (таких як Іфа) поряд зі середньовічною геомантією.
- В 1854 англійський математик Джордж Буль опублікував знакову роботу, що описує алгебраїчні системи стосовно логіки, яка в даний час відома як булева алгебра або алгебра логіки. Його логічному численню судилося зіграти важливу роль у розробці сучасних цифрових електронних схем.
- В 1937 Клод Шеннон представив до захисту кандидатську дисертацію Символічний аналіз релейних і перемикальних схем в MIT, в якій булеву алгебру і двійкову арифметику було застосовно до електронних реле і перемикачів. На дисертації Шеннона по суті заснована вся сучасна цифрова техніка.
Примітки
- Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN
- W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995,
- Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — Нью-Йорк : Барнс & Noble, 1996. — С. 80.
- . Архів оригіналу за 29 липня 2015. Процитовано 24 червня 2015.
Посилання
- Система числення двійкова // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Двійкова система числення — найпростіше пояснення на YouTube (рос.) — візуальне пояснення роботи позиційних систем числення взагалі і двійковій системі зокрема
Див. також
- Бінарний
- Система числення
- Позиційні системи числення
- Вісімкова система числення
- Десяткова система числення
- Шістнадцяткова система числення
- Бінарний код
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dvijkova sistema chislennya ce pozicijna sistema chislennya baza yakoyi dorivnyuye dvom ta vikoristovuye dlya zapisu chisel tilki dva simvoli zazvichaj 0 nul ta 1 odinicyu Chisla predstavleni v cij sistemi chasto nazivayut dvijkovimi abo binarnimi chislami Dlya zapisu chisla u dvijkovij sistemi chislennya vikoristovuyetsya predstavlennya cogo chisla za dopomogoyu stepeniv chisla 2 Zavdyaki tomu sho taku sistemu dovoli prosto vikoristovuvati v elektrichnih shemah dvijkova sistema otrimala shiroke rozpovsyudzhennya u sviti obchislyuvalnih pristroyiv PredstavlennyaDvijkove chislo mozhna predstaviti yak poslidovnist bud yakih ob yektiv yaki mozhut znahoditisya v odnomu z dvoh mozhlivih staniv Napriklad Chisla sho mozhut prijmati znachennya 0 abo 1 1 0 1 0 0 1 1 Dvijkova sistema chislennya ye pozicijnoyu sistemoyu chislennya baza yakoyi dorivnyuye dvom Zavdyaki tomu sho taku sistemu dovoli prosto vikoristovuvati u elektrichnih shemah dvijkova sistema otrimala shiroke rozpovsyudzhennya u sviti obchislyuvalnih pristroyiv Dvijkove chislo mozhna predstaviti yak poslidovnist bud yakih ob yektiv yaki mozhut znahoditisya v odnomu z dvoh mozhlivih staniv Napriklad chisla sho mozhut prijmati znachennya 0 abo 1 poziciyi na yakih mozhut stoyati hrestiki abo nuliki h o h o o h h vuzli elektrichnoyi shemi yaki mozhe buti a mozhe ne buti zistrumleno dilyanki magnitnoyi strichki yaki mozhut buti chi ne buti namagnichenimi Zazvichaj dlya poznachennya dvijkovih chisel vikoristovuyut nuli ta odinici Pershi personalni komp yuteri dlya vidobrazhennya chisel mali ryad elektrichnih lampochok kozhna z yakih zrozumilo mozhe abo svititisya abo buti vimknenoyu Perevagi dlya yiyi realizaciyi potribni tehnichni pristroyi z dvoma stijkimi stanami ye strum nemaye strumu namagnichenij ne namagnichenij predstavlennya informaciyi za dopomogoyu tilki dvoh staniv nadijno i zavadostijko mozhlive zastosuvannya aparatu bulevoyi algebri dlya vikonannya logichnih peretvoren informaciyi dvijkova arifmetika nabagato prostisha za desyatkovu Nedolik shvidke zrostannya chisla rozryadiv neobhidnih dlya zapisu chisel Lichba u dvijkovij sistemiRahuvati u dvijkovij sistemi ne skladnishe nizh u bud yakij inshij Skazhimo u desyatkovij sistemi koli chislo u potochnomu rozryadi syagaye desyati to rozryad obnulyayetsya i odinicya dodayetsya do starshogo Napriklad 9 1 10 44 7 51 Analogichnim chinom u dvijkovij sistemi koli chislo v rozryadi syagaye dvoh rozryad obnulyayetsya i odinicya dodayetsya do starshogo rozryadu Tobto 1 1 10 Zvernit uvagu 10 u comu zapisi dvijkove chislo u desyatkovij sistemi ce chislo zapisuyetsya yak 2 A desyatkove 9 1 10 u dvijkovij sistemi bude viglyadati tak 1001 1 1010 pislya dodavannya odinici chislo v ostannomu rozryadi dorivnyuye dvom tozh rozryad obnulyayetsya i odinicya dodayetsya do peredostannogo starshogo rozryadu Tablicya dodavannya 0 10 0 11 1 10 perenesennya u starshij rozryad Priklad dodavannya stovpchikom 1410 510 1910 abo 11102 1012 100112 1 1 1 01 0 11 0 0 1 1Tablicya vidnimannya 0 10 0 11 1 pozika zi starshogo rozryadu 0Tablicya mnozhennya 0 10 0 01 0 1 Priklad mnozhennya stovpchikom 1410 510 7010 abo 11102 1012 10001102 1 1 1 01 0 1 1 1 1 01 1 1 01 0 0 0 1 1 0Prikladi Priklad 1 Obchisliti kilkist informaciyi v slovi Informatika za umovi sho dlya koduvannya vikoristovuyetsya 32 znachna abetka Rozv yazok Obchislimo kilkist informaciyi sho vidpovidaye 1 simvolu pri vikoristanni 32 znachnogo alfavitu 32 2h h 5 bit Slovo Informatika skladayetsya z 11 simvoliv otrimuyemo 11 5 55 bit Priklad 2 Rastrovij grafichnij fajl mistit chorno bile zobrazhennya z 2 gradaciyami koloru chornij i bilij rozmirom 800 600 tochok Viznachte neobhidnij rozmir cogo fajlu u bajtah dlya koduvannya koloru tochok bez urahuvannya sluzhbovoyi informaciyi pro format avtorstvo sposobi stisnennya tosho Rozv yazok Oskilki skazano sho zobrazhennya dvokolorove otzhe dlya vkazivki koloru odniyeyi tochki dosit dvoh znachen sho koduyut bilij abo chornij kolir Dva znachennya mozhut buti zakodovani odnim bitom Obsyag grafichnogo fajlu rozrahovuyetsya po formuli V i k de i glibina koloru a k kilkist tochok Todi rozmir grafichnogo fajlu dorivnyuye 800 600 1 bit 480 000 bitiv vrahovuyuchi sho 8 bitiv 1 bajt otrimuyemo 480 000 8 60 000 bajtiv U realnosti v grafichnih dokumentah okrim opisu koloru tochok ye prisutnoyu she i sluzhbovo dodatkova informaciya pro format zapisu avtorski prava sposobi stisnennya Konvertuvannya desyatkovih chisel u dvijkovi i navpakiDlya peretvorennya z dvijkovoyi sistemi v desyatkovu vikoristovuyut taku tablicyu stupeniv osnovi 2 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Pochinayuchi z cifri 1 vsi cifri mnozhatsya na dva Krapka yaka stoyit pislya 1 nazivayetsya dvijkovoyu krapkoyu Konvertuvannya dvijkovih chisel u desyatkovi Pripustimo dano dvijkove chislo 1100012 Dlya konvertuvannya v desyatkove zapishit jogo yak sumu za rozryadami takim chinom 1 25 1 24 0 23 0 22 0 21 1 20 49 Tezh same ale trohi po inshomu 1 32 1 16 0 8 0 4 0 2 1 1 49 Mozhna zapisati u viglyadi tablici takim chinom 512 256 128 64 32 16 8 4 2 11 1 0 0 0 1 32 16 0 0 0 1 Peresuvajtes sprava nalivo Pid kozhnoyu dvijkovoyu odiniceyu napishit yiyi ekvivalent u ryadku nizhche Skladit otrimani desyatkovi chisla Takim chinom dvijkove chislo 1100012 rivnoznachne desyatkovomu 4910 Konvertuvannya drobovih dvijkovih chisel u desyatkovi Neobhidno perevesti chislo 1011010 1012 u desyatkovu sistemu Zapishemo chislo takim chinom 1 26 0 25 1 24 1 23 0 22 1 21 0 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3 90 625 Tezh same ale trohi po inshomu 1 64 0 32 1 16 1 8 0 4 1 2 0 1 1 0 5 0 0 25 1 0 125 90 625 Abo za dopomogoyu tablici 64 32 16 8 4 2 1 0 5 0 25 0 1251 0 1 1 0 1 0 1 0 1 64 0 16 8 0 2 0 0 5 0 0 125 Dlya togo shob peretvoryuvati chisla z dvijkovoyi v desyatkovu sistemu danim metodom treba pidsumuvati cifri zliva napravo mnozhachi ranishe otrimanij rezultat na osnovu sistemi v danomu vipadku 2 Metodom Gornera zazvichaj perekladayut z dvijkovoyi v desyatkovu sistemu chislennya Zvorotna operaciya skladna tomu sho vimagaye navichok dodavannya i mnozhennya v dvijkovij sistemi chislennya Napriklad dvijkove chislo 10110112 perevoditsya v desyatkovu sistemu tak 0 2 1 1 1 2 0 2 2 2 1 5 5 2 1 11 11 2 0 22 22 2 1 45 45 2 1 91 Tobto v desyatkovij ce chislo bude zapisano yak 91 Peretvornennya drobovoyi chastini metodom Gornera Pripustimo nam potribno peretvoriti chislo 21 na dvijkove Vi mozhete skoristatisya takoyu proceduroyu 21 2 10 z zalishkom 1 10 2 5 bez zalishku 0 5 2 2 z zalishkom 1 2 2 1 bez zalishku 0 1 2 0 z zalishkom 1 Otzhe mi dilimo kozhne chastne na 2 i zapisuyemo zalishok na kinec dvijkovogo zapisu Prodovzhuyemo podil do tih pir poki v chastnomu ne bude 0 Rezultat zapisuyemo sprava nalivo Tobto nizhnya cifra 1 bude samoyu livoyu i t d V rezultati otrimuyemo chislo 21 v dvijkovij zapisu 10101 Peretvorennya drobovih desyatkovih chisel na dvijkovi Yaksho u vihidnomu chisli ye cila chastina to vona peretvoritsya okremo vid drobovoyi Pereklad drobovogo chisla z desyatkovoyi sistemi chislennya v dvijkovu zdijsnyuyetsya za takim algoritmom Drib mnozhitsya na osnovu dvijkovoyi sistemi chislennya 2 V otrimanomu dobutku vidilyayetsya cila chastina yaka prijmayetsya yak starshij rozryad chisla v dvijkovij sistemi chislennya Algoritm zavershuyetsya yaksho drobova chastina otrimanogo dobutku dorivnyuye nulyu abo yaksho dosyagnuta neobhidna tochnist obchislen V inshomu vipadku obchislennya trivayut nad drobovoyu chastinoyu dobutku Priklad Potribno perevesti desyatkove drobove chislo 206 116 v drobove dvijkove chislo Perevedennya ciloyi chastini daye 20610 110011102 za ranishe opisanim algoritmom Drobovu chastinu 0 116 mnozhimo na osnovu 2 zanosyachi cili chastini dobutku u rozryadi pislya komi shukanogo drobovogo dvijkovogo chisla 0 116 2 0 232 0 232 2 0 464 0 464 2 0 928 0 928 2 1 856 0 856 2 1 712 0 712 2 1 424 0 424 2 0 848 0 848 2 1 696 0 696 2 1 392 0 392 2 0 784 i t d Takim chinom 0 11610 0 00011101102 Otrimayemo 206 11610 11001110 0001110110VikoristannyaU cifrovih pristroyah Dvijkova sistema vikoristovuyetsya v cifrovih pristroyah oskilki ye najbilsh prostoyu i vidpovidaye vimogam Sho menshe znachen isnuye v sistemi to prostishe vigotoviti okremi elementi yaki operuyut cimi znachennyami Zokrema dvi cifri dvijkovoyi sistemi chislennya mozhut buti legko predstavleni bagatma fizichnimi yavishami nayavnij strum strum bilshe porogovoyi velichini vidsutnij strum strum menshe porogovoyi velichini indukciya magnitnogo polya bilshe porogovoyi velichini chi ni indukciya magnitnogo polya menshe porogovoyi velichini i t d Chim mensha kilkist staniv u elementa tim visha nadijnist i tim shvidshe pristrij mozhe pracyuvati Napriklad shob zakoduvati tri stani cherez velichinu naprugi strumu abo indukciyi magnitnogo polya potribno vvesti dva granichnih znachennya i dva komparatora Dvijkova arifmetika ye dosit prostoyu Prostimi ye tablici dodavannya i mnozhennya osnovnih dij nad chislami U cifrovij elektronici odnomu dvijkovomu rozryadu v dvijkovij sistemi chislennya vidpovidaye ochevidno odin dvijkovij rozryad dvijkovogo registra tobto dvijkovij triger z dvoma stanami 0 1 U obchislyuvalnij tehnici shiroko vikoristovuyetsya zapis vid yemnih dvijkovih chisel v dopovnyalnomu kodi Napriklad chislo 510 mozhe buti zapisano yak 1012 ale v 32 bitnomu komp yuteri zberigatimetsya yak 111111111111111111111111111110112 V anglijskij sistemi chislennya Pri vkazivci linijnih rozmiriv v dyujmah za tradiciyeyu vikoristovuyut dvijkovi drobi a ne desyatkovi napriklad 5 715 16 311 32 i t Vikoristannya riznih koduvan U koduvanni ASCII na kozhen simvol vidvoditsya 1 bajt 8 bit U koduvanni Unicode na kozhen simvol vidvoditsya 2 bajti 16 bit Priklad 1 Pri koduvanni za dopomogoyu Unicode znajti informacijnij obsyag frazi Vchennya svitlo a nevchennya pitma Rishennya Pidrahuyemo chislo simvoliv v zadanij frazi vrahovuyuchi bukvi propuski i rozdilovi tire komu znak okliku znaki Vsogo simvoliv 33 Vichislimo rozmir frazi 33 2 66 bajt 528 bit Priklad 2 Povidomlennya mistit 4096 simvoliv Rozmir povidomlennya pri vikoristanni rivnomirnogo kodu sklav 1 512 Mbajt Znajti potuzhnist alfavitu za dopomogoyu yakogo zapisano ce povidomlennya Rishennya Potuzhnist alfavitu kilkist simvoliv v alfaviti Perevedemo informacijnij rozmir povidomlennya u biti 1 512 1 512 1024 1024 8 16384 displaystyle 1 512 1 512 1024 1024 8 16384 Dlya koduvannya odnogo simvolu vidvoditsya i 16384 4096 4 displaystyle iota 16384 4096 4 Todi potuzhnist alfavitu po formuli R Hartli rivna N 2i 24 16 Priklad 3 Skilki sekund bude potribno modemu sho peredaye povidomlennya iz shvidkistyu 28 800 bit s dlya peredachi 100 storinok tekstu v 30 ryadkiv po 60 simvoliv kozhna v koduvanni ASCII Rishennya U koduvanni ASCII kozhen simvol zajmaye 8 bit abo 1 bajt Todi obsyag tekstu dorivnyuye 100 30 60 8 1 440 000 bitiv Dlya jogo peredachi po modemu znadobitsya 1 440 000 28 800 50 sekund Podannya kilkosti informaciyi cherez rizni odinicyami vimiryuvannya 1 bit minimalna nedilima odinicya informaciyi 8 bit skladayut 1 bajt takim chinom1 bajt 8 bit 1 Kbajt 1024 210bajt 1 Mbajt 1024 210Kbajt 220bajt 1 Gbajt 1024 210Mbajt 220Kbajt 230bajt 1 Pbajt 1024 210Gbajt 220Mbajt 230Kbajt 240bajt Priklad 1 Perevesti 376832 bit v Kbajt Rishennya 376832 bit 376832 8 47104 bajt 47104 1024 46 Kbajt Priklad 2 Perevesti 37 Kbajt 515 Bajt 3 bit u bit Rishennya 37 Kbajt 515 bajt 3 bit 37 1024 515 bajt 3 bit 38403 bajt 3 bit 38403 8 3 307227 bit UzagalnennyaDvijkova sistema chislennya ye kombinaciyeyu dvijkovoyi sistemi koduvannya i pokaznikovoyu vagovoyu funkciyeyu z osnovoyu rivnoyu 2 Slid zaznachiti sho chislo mozhe buti zapisano v dvijkovomu kodi a sistema chislennya pri comu mozhe buti ne dvijkovoyu a z inshoyu osnovoyu Priklad dvijkovo desyatkove koduvannya v yakomu desyatkovi cifri zapisuyutsya v dvijkovomu viglyadi a sistema chislennya desyatkova IstoriyaPovnij nabir z 8 trigram i 64 geksagramm analog 3 bitnih i 6 bitnih chisel buv vidomij v drevnomu Kitayi v knigi Zmin Poryadok geksagramm v knizi Zmin roztashovanih u vidpovidnosti zi znachennyami vidpovidnih dvijkovih cifr vid 0 do 63 i metod yih otrimannya buv rozroblenij kitajskim vchenim i filosofom Shao Yun v XI stolitti Odnak vidsutni dokazi yaki svidchat pro te sho Shao Yun rozumiv pravila dvijkovoyi arifmetiki roztashovuyuchi dvosimvolni kortezhi v leksikografichnomu poryadku Indijskij matematik 200 do n e rozrobiv matematichni osnovi dlya opisu poeziyi z vikoristannyam pershogo vidomogo zastosuvannya dvijkovoyi sistemi chislennya Proobrazom baz danih sho shiroko vikoristovuvalisya v Centralnih Andah Peru Boliviya u derzhavnih ta gromadskih cilyah v I II tisyacholitti n e bula vuzlikova pisemnist Inkiv kipu sho skladalasya yak z chislovih zapisiv desyatkovoyi sistemi tak i ne chislovih zapisiv u dvijkovij sistemi koduvannya Nabori sho ye kombinaciyami dvijkovih cifr vikoristovuvalisya afrikancyami v tradicijnih vorozhinnyah takih yak Ifa poryad zi serednovichnoyu geomantiyeyu V 1854 anglijskij matematik Dzhordzh Bul opublikuvav znakovu robotu sho opisuye algebrayichni sistemi stosovno logiki yaka v danij chas vidoma yak buleva algebra abo algebra logiki Jogo logichnomu chislennyu sudilosya zigrati vazhlivu rol u rozrobci suchasnih cifrovih elektronnih shem V 1937 Klod Shennon predstaviv do zahistu kandidatsku disertaciyu Simvolichnij analiz relejnih i peremikalnih shem v MIT v yakij bulevu algebru i dvijkovu arifmetiku bulo zastosovno do elektronnih rele i peremikachiv Na disertaciyi Shennona po suti zasnovana vsya suchasna cifrova tehnika PrimitkiSanchez Julio Canton Maria P 2007 Microcontroller programming the microchip PIC Boca Raton Florida CRC Press s 37 ISBN 0 8493 7189 9 W S Anglin and J Lambek The Heritage of Thales Springer 1995 ISBN 0 387 94544 X Ordish George Hyams Edward The last of the Incas the rise and fall of an American empire Nyu Jork Barns amp Noble 1996 S 80 Arhiv originalu za 29 lipnya 2015 Procitovano 24 chervnya 2015 PosilannyaSistema chislennya dvijkova Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Dvijkova sistema chislennya najprostishe poyasnennya na YouTube ros vizualne poyasnennya roboti pozicijnih sistem chislennya vzagali i dvijkovij sistemi zokremaDiv takozhBinarnij Sistema chislennya Pozicijni sistemi chislennya Visimkova sistema chislennya Desyatkova sistema chislennya Shistnadcyatkova sistema chislennya Binarnij kod Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi