Циклічний запис (англ. cycle notation) — це угода щодо запису переставок у виразах циклів, що їх складають. Також називають коловий запис (англ. circular notation), а переставку — колова (циклічна) переставка (англ. cyclic (circular) permutation).
Визначення
Нехай буде скінченна множина, і
будуть різними елементами в . Вираз
позначає σ чиїми діями є
Для кожного індексу i,
де означає
.
Існує різних виразів для того самого циклу; всі наступні представляють один цикл:
1-елементний цикл на кшталт (3) — це тотожна переставка. Тотожну переставку також можна записати як порожній цикл, "()".
Переставка як добуток циклів
Нехай буде переставкою в
, і нехай
будуть орбітами з кількістю елементів більшою ніж 1. Розглянемо елемент
,
, нехай
позначає потужність
,
=
. Також, виберемо
, і визначимо
Тепер ми можемо виразити як добуток неперетинних циклів, as a product of disjoint cycles, а саме
Зауважимо, що звична домовленість в циклічному записі визначає множення зліва направо (на відміну від композиції функцій, яка зазвичай виконується справа наліво). Наприклад, добуток дорівнює
, але ні
.
Приклад
Використаємо 24-елементну симетричну групу на виражену через використання циклічного запису, і груповану відповідно до класів спряженості:
Див. також
Примітки
- Fraleigh 2002:89; Hungerford 1997:230
- Dehn 1930:19
- Hungerford 1997:231
- Johnson 2003:691
Посилання
- Циклічний запис на PlanetMath.(англ.)
- Dehn, Edgar (1960) [1930], Algebraic Equations, Dover.
- Fraleigh, John (2003), A first course in abstract algebra (вид. 7th), Addison Wesley, с. 88–90, ISBN .
- Hungerford, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: An Introduction, Brooks/Cole, ISBN .
- Johnson, James L. (2003), Probability and Statistics for Computer Science, Wiley Interscience, ISBN .