В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) — ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі — нульовий і сам M.
Приклади
- якщо
— кільце цілих чисел то простими
-модулями, є абелеві групи простого порядку;
- якщо R — тіло, то простими R-модулями є одновимірні векторні простори над R;
- якщо D — тіло, V — лівий векторний простір над D, R = EndDV — кільце лінійних перетворень простору V (або щільне підкільце цього кільця), то правий R-модуль є простим;
- якщо G — група, k — поле, то незвідні представлення групи G над k — прості модулі над груповою алгеброю kG.
Властивості
- Прості модулі можна еквівалентно визначити як модулі (довжина) яких рівна 1.
- Довільний простий модуль є циклічним, тобто породженим одним елементом або M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R} для деякого елемента x, що належить M.
- Правий R-модуль М є простим тоді і тільки тоді, коли він ізоморфний R/I, де I — деякий максимальний правий ідеал в R.
- Якщо А, В — прості R-модулі,
, то або f=0, або f — ізоморфізм (звідки випливає, що кільце ендоморфізмів простих модулів є тілом).
- Якщо ж R — алгебра над алгебраїчно замкнутим полем k; А, В — прості R-модулі то (лема Шура):
Поняття простого модуля є одним з основних в теорії кілець і теорії представлення груп. З його допомогою визначаються композиційний ряд і (цоколь модуля), (радикали Джекобсона) модуля і кільця, (напівпростий модуль). Прості модулі використовуються у визначенні ряду важливих класів кілець: класично напівпростих кілець, примітивних кілець.
Див. також
- (Довжина модуля)
- (Напівпростий модуль)
- Проста група
- (Просте кільце)
Джерела
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
- Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет