Порядкові числа

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Представлення порядкових чисел до ω^ω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

Означення

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина ${\displaystyle \alpha }$ називається ординалом, якщо вона (транзитивна) (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності ${\displaystyle \in }$.

Властивості

• ${\displaystyle \varnothing }$ — ординал. Його також позначають як 0.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — ординал, то кожен елемент ${\displaystyle \alpha }$ — ординал.
• Якщо ${\displaystyle \alpha }$ — ординал, то ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$ — ординал. Його позначають як ${\displaystyle \alpha +1}$.
• Не для кожного ординала ${\displaystyle \alpha }$ існує ординал ${\displaystyle \beta }$ такий, що ${\displaystyle \alpha =\beta +1}$. Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають ^[en], решту — неграничними. (Утім, ${\displaystyle \varnothing }$ зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.)
• Скінченні ординали (як і скінченні кардинали) збігаються з натуральними числами (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі ℕ₀ = {0, 1, 2, …}, тобто включаючи нуль).
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал ${\displaystyle \omega }$ та найменший нескінченний кардинал ${\displaystyle \aleph _{0}}$.
• Існує тільки один зліченний кардинал ${\displaystyle \aleph _{0}}$, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів ${\displaystyle \omega _{1}=}$ {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом ${\displaystyle \omega _{1}}$, якому відповідає кардинал ${\displaystyle \aleph _{1}}$.
• Довільна множина ${\displaystyle x}$ ординалів цілком упорядкована відношенням ${\displaystyle \in }$, при цьому ${\displaystyle \bigcap x}$ — найменший елемент довільної множини ординалів, ${\displaystyle \bigcup x}$ — ординал, не менший за довільний ординал ${\displaystyle x}$.
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є .

Арифметика ординалів

1. Додавання не комутативне, зокрема: ${\displaystyle 1+\omega }$ не дорівнює ${\displaystyle \omega +1}$, тому, що ${\displaystyle 1+\omega =\omega }$.
2. Додавання асоціативне: ${\displaystyle \alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma }$.

Див. також

• Кардинальне число

Література

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.