Область цілісності — поняття абстрактної алгебри: комутативне кільце з , в якому і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова виключає з розгляду тривіальне кільце .
Еквівалентне визначення: область цілісності — комутативне кільце, в якому нульовий ідеал є (простим).
Приклади
- Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел
.
- Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
- Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце
многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце
многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
- Множина дійсних чисел виду
є підкільцем поля
, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду
, де
і
цілі.
- Нехай
— зв'язна відкрита підмножина комплексної площини
. Тоді кільце
всіх голоморфних функцій
буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
- Якщо
— комутативне кільце, а
— ідеал в
, то фактор-кільце
цілісне тоді і тільки тоді, коли
— простий ідеал.
- Кільце p-адичних цілих чисел.
- Фактор-кільце
де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа
(де
і
не є рівними
чи
). Тоді
і
, але
.
- Коли ціле число
є квадратом цілого числа тобто
, кільце
не є областю цілісності. У цьому випадку
у
і образи многочленів
у фактор-кільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
- Кільце матриць розмірності
над довільним ненульовим кільцем для
не є областю цілісності.
- Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції
- не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток
є нульовою функцією.
- Тензорний добуток
не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти
і
добуток яких
.
Подільність, прості незвідні елементи
Нехай і
— елементи цілісного кільця
. Говорять, що «
ділить
» або «
— дільник
» (і пишуть
), якщо і тільки якщо існує елемент
такий, що
.
Подільність транзитивна: якщо ділить
і
ділить
, то
ділить
. Якщо
ділить
і
, то
ділить також їх суму
і різниця
.
Для кільця з одиницею елементи
, які ділять
, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи
і
називаються асоційованими, якщо
ділить
і
ділить
.
і
асоційовані тоді і тільки тоді, коли
, де
— оборотний елемент.
Ненульовий елемент , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
Ненульовий необоротний елемент називається простим, якщо з того, що
, слідує
або
. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці
, проте враховує і негативні прості числа. Якщо
— (простий елемент) кільця, то породжуваний ним (головний ідеал)
буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.
Властивості
- Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
- Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
- Якщо
— область цілісності, то кільце многочленів і кільце (формальних степеневих рядів) над
також будуть областями цілісності.
- Якщо
— комутативне кільце з одиницею і
— деякий ідеал
, то кільце
є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал
є (простим).
- У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо
, то з рівності
випливає
. Навпаки, якщо для кожного елемента
рівності
випливає
то комутативне кільце є областю цілісності.
- Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його (спектр) є незвідним топологічним простором.
- Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
- (Тензорний добуток) цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
- Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
- Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
- Область цілісності
є рівною перетину локалізацій
по всіх максимальних ідеалах
- Оскільки
для всіх максимальних ідеалів
, то також
- Навпаки нехай
але
Множина
є власним ідеалом у
(оскільки
). Тому
міститься у деякому максимальному ідеалі
. За умовою
тобто можна записати
Але тоді
і тому має бути
Одержане протиріччя завершує доведення.
Варіації і узагальнення
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
Література
- Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
- Іншими мовами
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. .
- Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag,
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons,
- Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет