Ідемпотентний елемент

Ідемпотентний елемент (лат. idem — такий самий, potens — сильний) — в математиці, елемент ${\displaystyle \ e}$ півгрупи чи кільця, що є рівним своєму квадрату: ${\displaystyle \ e^{2}=e}$.

Пов'язані визначення

• Два ідемпотентних елементи кільця ${\displaystyle \ u}$ та ${\displaystyle \ v}$ називаються ортогональними, якщо ${\displaystyle \ uv=vu=0.}$

Властивості

• Якщо два ідемпотентні елементи є ортогональними, то їх сума теж буде ідемпотентним елементом.

Приклади

• В моноїді (${\displaystyle \mathbb {N} }$, ×) натуральних чисел з множенням, тільки 0 та 1 є ідемпотентними елементами: 0 × 0 = 0 та 1 × 1 = 1.
• В магмі (M, •), єдиними ідемпотентними елементами можуть бути (якщо існують): нейтральний елемент e та абсорбуючий елемент z  : e • e = e, z • z = z.
• В групі (G, •), нейтральний елемент e є єдиним ідемпотентним елементом. Дійсно, досить помножити рівності ${\displaystyle x\cdot x=x=x\cdot e}$ зліва на ${\displaystyle x^{-1}}$.

Див. також

• Ідемпотентність

Література

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)