Абсорбуючий елемент

Абсорбуючий елемент (поглинаючий елемент чи анігілюючий елемент) бінарної операції — елемент, який є результатом операції, якщо приймає в ній участь.

В теорії напівгруп такий елемент називають нулем, оскільки, там немає нейтрального елемента, якого теж так називають.

Якщо ${\displaystyle (S,*)}$ — множина ${\displaystyle S}$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент ${\displaystyle z\in S}$ називається поглинаючим відносно цієї операції, якщо

${\displaystyle x*z=z*x=z,\quad \forall x\in S}$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий поглинаючий елемент ${\displaystyle z_{\mathrm {l} }}$, для якого

${\displaystyle z_{\mathrm {l} }*x=z_{\mathrm {l} },\quad \forall x\in S}$,

• правий поглинаючий елемент ${\displaystyle z_{\mathrm {r} }}$, для якого

${\displaystyle x*z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {r} },\quad \forall x\in S}$.

Якщо одночасно існують лівий та правий поглинаючі елементи, то вони співпадають, оскільки:

${\displaystyle z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {l} }\cdot z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {l} }}$.

Приклади

Об'єкти	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Числа	${\displaystyle \cdot }$ (множення)	0
Вектори	${\displaystyle +}$ (додавання векторів)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ нульовий вектор
Матриці	${\displaystyle \times }$ (множення матриць)	нульова матриця
Функції	${\displaystyle \circ }$ (композиція функцій)	тотожне відображення
Множини	${\displaystyle \cap }$ (перетин множин)	порожня множина
Множини	${\displaystyle \cup }$ (об'єднання множин)	${\displaystyle \varnothing }$ (універсальна множина)
	${\displaystyle \wedge }$ (кон'юнкція)	${\displaystyle \bot }$ (false)
Логічні змінні	${\displaystyle \lor }$ (диз'юнкція)	${\displaystyle \top }$ (true)

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)