Теорема Веддерберна

Теорема Веддерберна — твердження в абстрактній алгебрі про те, що довільне скінченне асоціативне тіло з одиницею є комутативним, тобто є полем. Теорема названа на честь англійського математика Джозефа Веддерберна.

Доведення

Позначимо F скінченне асоціативне тіло з одиницею характеристики p, Z його центр, a q = p^f кількість елементів у Z. Якщо розмірність F як лінійного простору над Z рівна n то F має qⁿ елементів. Мультиплікативну групу F* ненульових елементів тіла F можна розбити на класи еквівалентності щодо такого відношення еквівалентності:

елементи x₁ і x₂ групи F* є спряженими, якщо існує такий елемент y групи F*, що x₂ = y⁻¹x₁y.

Для ${\displaystyle x\in F^{*}}$ позначимо N(x) централізатор елемента x (щодо множення), тобто множину елементів F, що комутують з x. N(x) є підтілом в F, що містить Z. Якщо ${\displaystyle \delta (x)}$ є розмірністю векторного простору N(x) над Z, то N(x) має ${\displaystyle q^{\delta (x)}}$ елементів. Число n ділиться на ${\displaystyle \delta (x)}$ і ${\displaystyle \delta (x)<n\;}$ для ${\displaystyle x\not \in Z}$.

Кількість елементів групи F* спряжених з x рівна (індексу групи) N(x)* в F*, або

${\displaystyle {\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}}}$,

тому: (*) ${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum \limits _{x}{\frac {q^{n}-1}{q^{\delta (x)}-1}}}$, де сума здійснюється по деякому набору представників класів еквівалентності нецентральних елементів з F*.

Припустимо n > 1 і нехай

${\displaystyle P(T)=\prod \limits _{\zeta }(T-\zeta )}$,

де множення здійснюється по всіх первісних коренях ${\displaystyle \zeta \;}$ n-того степеня з одиниці в полі комплексних чисел. Цей многочлен називається (многочленом поділу кола). Якщо число ${\displaystyle \delta }$ ділить n i не є рівним n, то многочлен P ділить як ${\displaystyle T^{n}-1}$ так і

${\displaystyle {\frac {T^{n}-1}{T^{\delta }-1}}}$.

З (*) отримуємо, що також P (q) | q — 1 і, як наслідок ${\displaystyle |P(q)|\leq q-1.}$ З іншої сторони кожен множник в добутку

${\displaystyle P(q)=\prod \limits _{\zeta }(q-\zeta )}$

має (абсолютне значення) більше від q — 1 і відповідно ${\displaystyle |P(q)|>q-1.}$

Тому n = 1 і F = Z, тобто F є полем.

Посилання

• Теорема Веддерберна на сайті PlanetMath (англ.)

Джерела

• Wedderburn. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, ss. 349-352, 1905. Amer. math. Soc.. 
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: (Proofs from the book). Springer, Berlin u. a. 1998, .
• Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — .(рос.)