Характеристика (алгебра)

В математиці, характеристикою кільця ${\displaystyle R}$, позначається ${\displaystyle \operatorname {char} R}$, називається найменше ціле додатне ${\displaystyle n}$, для якого виконується:

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ доданків}}}=0}$

Тобто сума ${\displaystyle n}$ мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо такого ${\displaystyle n}$ не існує, тоді ${\displaystyle R}$ називається кільцем характеристики ${\displaystyle 0}$.

Приклади

• Характеристики кільця цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, поля раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, поля комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ рівні нулю.
• Характеристика кільця лишків ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ рівна ${\displaystyle n}$.
• Характеристика скінченного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$, де ${\displaystyle p}$ — просте число, ${\displaystyle m}$ — додатне ціле число, рівна ${\displaystyle p}$.

Властивості

• Якщо кільце ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle n}$ — просте число. Отже, характеристика будь-якого поля ${\displaystyle K}$ є або ${\displaystyle 0}$, або просте число ${\displaystyle p}$. У першому випадку поле ${\displaystyle K}$ містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, у другому випадку поле ${\displaystyle K}$ містить як підполе поле ізоморфне ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. У обох випадках це підполе називається простим полем (що міститься в ${\displaystyle K}$).
• Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля є ненульовою, не випливає, що поле є скінченним. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ і замикання, алгебри поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.
• Якщо ${\displaystyle R}$ — комутативне кільце простої характеристики ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}$ для всіх ${\displaystyle a,b\in R}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Див. також

• Мрія першокурсника

Література

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.