Мрія першокурсника

Мрією першокурсника (англ. Freshman's dream) часто називають помилку ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$, де ${\displaystyle n}$ є дійсним числом (зазвичай додатним цілим, більшим за ${\displaystyle 1}$). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли ${\displaystyle n=2}$, легко побачити чому це не так: ${\displaystyle (x+y)^{2}}$ можна обчислити як ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$ використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень ${\displaystyle n}$, правильний результат задається біномом Ньютона.

Ілюстрація мрії першокурсника у двох вимірах. Кожен бік квадрата завдовжки X+Y. Площа квадрата це сума площ жовтої області (=X²), зеленої області (=Y²) і білих областей (=2×X×Y).

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа ${\displaystyle p}$, якщо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ це члени комутативне кільце характеристики ${\displaystyle p}$, тоді ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки ${\displaystyle p}$ ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

Приклади

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$, але ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ зазвичай не дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$. Наприклад, ${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$, що не дорівнює ${\displaystyle 3+4=7}$. У цьому прикладі, помилка сталась із показником ${\displaystyle n=1/2}$.

Проста характеристика

${\displaystyle (x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}}$, ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle p}$ — просте

Використаємо біном Ньютона:

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\underbrace {\sum _{k=1}^{p-1}{p \choose k}x^{k}y^{p-k}} _{\equiv 0{\pmod {p}}}}$

З іншого боку, ${\displaystyle {p \choose k}}$ ділиться на ${\displaystyle p}$ для ${\displaystyle 1\leq k\leq p-1}$, отже

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$.

${\displaystyle \Box \!\,}$

Таким чином, з характеристикою ${\displaystyle p}$ мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня ${\displaystyle p}$ породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

Див. також

• Тест простоти

Примітки