Леона́рдо Піза́нський (італ. Leonardo Pisano, близько 1170 — близько 1250), відоміший як Фібоначчі (Fibonacci) — італійський математик 13 століття, автор математичних трактатів, завдяки яким Європа довідалася про вигадану індійцями позиційну систему числення, відому зараз як арабські цифри. Леонардо розглянув також ідею так званих чисел Фібоначчі і вважається одним з найвидатніших західних математиків Середньовіччя.
Леонардо Пізанський | |
---|---|
італ. Leonardo Pisano | |
Прижиттєвий портрет Фібоначчі роботи невідомого автора | |
Народився | близько 1170 Піза |
Помер | 1250 Піза |
Поховання | d[1] |
Країна | Пізанська республіка |
Національність | італієць |
Діяльність | математик, master of calculations |
Галузь | Математика |
Відомий завдяки: | числа Фібоначчі арабські цифри |
Батько | d[2] |
Фібоначчі у Вікісховищі |
Леонардо Пізанський найбільше відомий під прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci); про походження цього псевдоніму є різні версії. За однією з них, його батько Гільєрмо мав прізвисько Боначчі («Добромисний»), а сам Леонардо прозивався filius Bonacci («син добромисного»). За іншою, Fibonacci походить від фрази Figlio Buono Nato Ci, що в перекладі з італійської означає «хороший син народився». Леонардо Пізанський ніколи не називав себе «Фібоначчі». Перша відома нам згадка про «Леонардо Фібоначчі» (Lionardo Fibonacci) міститься в записах нотаріуса Священної Римської імперії Перізоло (Perizolo da Pisa, Notaro Imperiale) за 1506 рік.
Освіта
Життя і наукова кар'єра Леонардо тісно пов'язана з розвитком і культури. Дата його народження невідома — називаються варіанти 1170 і 1180 років.
Батько Фібоначчі у торгових справах часто бував у Алжирі, і Леонардо вивчав там математику у арабських учителів. Пізніше відвідав Єгипет, Сирію, Візантію, Сицилію. Леонардо вивчав праці математиків країн ісламу (таких як аль-Хорезмі і ); завдяки арабським перекладам він ознайомився також з досягненнями античних та індійських математиків. На основі засвоєних ним знань Фібоначчі написав ряд математичних трактатів, що являють собою видатне явище середньовічної західноєвропейської науки.
У часи Фібоначчі імператором Священної Римської імперії був Фрідріх II. Вихований у традиціях південної Італії Фрідріх ІІ був внутрішньо глибоко далекий від європейського християнського лицарства. Тому ціновані його дідом лицарські турніри Фрідріх ІІ зовсім не визнавав. Замість цього він культивував менш криваві математичні змагання, на яких супротивники обмінювалися не ударами, а задачами.
На одному з таких турнірів проявився талант Леонардо Фібоначчі. Цьому сприяла чудова освіта, яку отримав син купця Боначчі на Сході у арабських учителів.
Заступництво Фрідріха сприяло також випуску наукових трактатів Фібоначчі: «Книга абака», «Практика геометрії», «Книга квадратів».
За цими книгами, які перевершували за своїм рівнем арабські і середньовічні європейські твори, вивчали математику ледь не до часів Декарта (XVII століття).
У XIX столітті в Пізі був поставлений пам'ятник вченому.
Наукова діяльність
Значну частину засвоєних ним знань він виклав у своїй видатній «Книзі абака» (Liber abaci, 1202 ; до наших днів зберігся тільки доповнений рукопис 1228 року). Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці знайомилися з арабськими цифрами. Перші п'ять розділів книги присвячено арифметиці цілих чисел на основі десяткової системи числення. У VI і VII главі Леонардо викладає дії зі звичайними дробами. У VIII—X книгах викладені прийоми розв'язання задач комерційної арифметики з використанням пропорцій. У XI главі розглянуті задачі на змішування. У XII главі наводяться задачі на підсумовування рядів — арифметичної і геометричної прогресій, ряду квадратів і, вперше в історії математики, поворотного ряду, що у найпростішому випадку приводить до послідовності так званих чисел Фібоначчі. У XIII главі викладається і ряд інших задач, що зводяться до лінійних рівнянь. У XIV главі Леонардо на числових прикладах роз'яснює способи наближеного добування квадратного і кубічного коренів. Нарешті, в XV главі зібраний ряд завдань на застосування теореми Піфагора і велика кількість прикладів на квадратні рівняння.
«Практика геометрії» (Practica geometriae, 1220) містить різноманітні теореми, пов'язані з вимірювальним методом. Поряд з класичними результатами Фібоначчі наводить свої власні — наприклад, перше доведення того, що три медіани трикутника перетинаються в одній точці (Архімеду цей факт був відомий, але якщо його доведення й існувало, то до нас воно не дійшло).
У трактаті «Квітка» (Flos, 1225) Фібоначчі досліджував задачу, яка в сучасних позначеннях зводиться до знаходження коренів кубічного рівняння
- ,
запропоновану йому Іоанном Палермським на математичному змаганні при дворі імператора Фрідріха II. Сам Іоанн Палермський майже напевно запозичив це рівняння з трактату Омара Хаяма «Про докази задач алгебри», де воно наводиться як приклад одного з видів у класифікації кубічних рівнянь. Леонардо Пізанський досліджував це рівняння, показавши, що його корінь не може бути раціональним або ж мати вигляд однієї з квадратичних ірраціональностей, що зустрічаються в X книзі Начал Евкліда, а потім знайшов наближене значення кореня в шістдесяткових дробах, не вказуючи, проте, способу свого розв'язку.
«Книга квадратів» (Liber quadratorum, 1225), містить ряд задач на знаходження розв'язку невизначених квадратних рівнянь. В одному із завдань, також запропонованому Іоанном Палермським, потрібно було знайти раціональне квадратне число, яке, бувши збільшеним або зменшеним на 5, знову дає раціональні квадратні числа.
Числа Фібоначчі
У «Книзі абака» Фібоначчі описав послідовність, названу його іменем — послідовність Фібоначчі. Ця послідовність була відома ще в Стародавній Індії, задовго до Фібоначчі. Свою нинішню назву числа Фібоначчі отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел. Послідовність Фібоначчі визначається як ряд чисел, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …
Відношення двох сусідніх чисел у послідовності Фібоначі прямує до золотого перетину, числа, відомого ще в античності.
У викладі Фібоначчі ця задача формулювалася як задача про число кроликів, які народжуються і виростають за алгоритмом: кожен маленький кролик на наступному кроці виростає у великого кроля, а кожен великий кріль народжує маленького. Як наслідок виникає послідовність:
- к: K
- Кк: КкК: КкККк: КкККкКкК
і так далі. Загальна кількість кроликів і складає послідовність Фібоначчі.
Задачі Фібоначчі
Залишаючись прихильником математичних турнірів, основну роль у своїх книгах Фібоначчі віддає задачам, їх розв'язкам і коментарям. Задачі на турніри складали як сам Фібоначчі, так і його суперник, придворний філософ Фрідріха II Йоган Палермський Задачі Фібоначчі, або їх аналоги, надалі використовувались у різних підручниках з математики протягом декількох століть. Їх можна зустріти в «Сума арифметики, геометрії, дробів, пропорцій і пропорційності» Л. Пачіолі (1494), в «Приємних і цікавих задачах» Клода Гаспара Баше де Мезір'яка (1612), в «Арифметиці» Леонтія Магніцького (1703), в «Алгебрі» Л.Ейлера (1768). Приклади задач наведено нижче.
Задачі про гирі
Завдання про вибір найкращої системи гир для зважування на важільних терезах вперше була сформульована саме Фібоначчі. Леонардо Пізанський пропонує два варіанти завдання:
- Простий варіант: потрібно знайти п'ять гир, за допомогою яких можна знайти вагу меншу ніж 30, при цьому гирі можна класти лише на одну чашу терезів (Відповідь: 1, 2, 4, 8, 16). Розв'язок будується в двійковій системі числення.
- Складний варіант: потрібно знайти найменше число гир, за допомогою якого можна зважити вагу меншу від заданої (Відповідь: 1, 3, 9, 27, 81,…). Розв'язок будується в системі числення з основою три, і в загальному випадку є послідовність A009244 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Задача про птахів і вежі
Дві пташки одночасно злітають з вершин двох веж, що знаходяться на відстані 50 метрів. Висота однієї вежі становить 30 метрів, а другої 40 метрів. При польоті з однаковою швидкістю пташки долітають одночасно до фонтану, що розташований на лінії, проведеній через дві вежі (на рівні поверхні ґрунту). На якій відстані від основи веж знаходиться фонтан?
Задача про купця з Пізи
Пізанський купець під час торговельної подорожі до Венеції подвоїв там свій стартовий капітал, а за тим витратив 12 динарів. Потім подався до Флоренції, де знову подвоїв число своїх динарів і витратив 12. Після повернення до Пізи черговий раз подвоїв свій статок, витратив 12 динарів і … залишився без копійки. Скільки динарів він мав на початку?
Задача про трьох чоловіків і знайдений гаманець
Три чоловіки знайшли гаманець із 23 динарами. Перший каже другому: «Якщо я додам ці гроші до своїх, то буду мати суму, що буде удвічі більшою від тієї, що є у тебе». Другий аналогічно звернувся до третього: «Якщо я зараз візьму ці гроші собі, буду мати суму утричі більшу від твоєї». На кінець третій каже до першого: «Якщо я додам ці гроші до своїх, то буду мати суму учетверо більшу, ніж у тебе». Скільки динарів мав кожен з них?
Загадка пана з Палермо
Три придворних слуги мали свою частку в певній сумі грошей у касі: доля першого становила половину, другого — третину, а третього — шосту частину. Кожен з учасників взяв зі спільної каси гроші не зовсім чесно так, що каса залишилась порожньою. Далі перший з них повернув половину того, що взяв, другий — третину, а третій — шосту частину. Отриману суму було розділено на три однакові частини і роздано кожному з трьох слуг. Виявилось, що кожен з них мав точно стільки, скільки йому належало. Скільки коштів було у касі спочатку, яку суму взяв кожен з учасників?
Задача про спадщину
Чоловік, що помирав покликав своїх синів і сказав найстаршому: «Візьми одного динара з моїх статків і сьому частину від того, що залишиться». Другому сину каже: «Візьми собі два динари і сьому частину того, що залишиться». До третього: «Візьми три динари і сьому частину того, що залишиться» і так далі — кожному наступному синові записував на один динар більше від попереднього і сьому частину залишку. Після поділу статків виявилось, що всі сини отримали порівну. Скільки було синів і яким був спадок?
Задачі з теорії чисел
- Знайти число, яке поділяється на 7 і дає в залишку одиницю при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6;
- Знайти число, добуток якого на сім дає залишки 1, 2, 3, 4, 5 при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, відповідно;
- Знайти квадратне число, яке при збільшенні або зменшенні на 5 давало б квадратне число.
Праці
- " Книга абака « (Liber abaci), написана в 1202 році, але дійшла до нас у своєму другому варіанті, що сягає 1228 р.
- „Практика геометрії“ (Practica geometriae) (1220)
- „Книга квадратів“ (Liber quadratorum) (1225)
- „Квітка“ (Flos, 1225)
Статуя Леонардо
У Пізі, в монастирі історичного кладовища, є статуя Леонардо, з написом: Ampere Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII. Зображення є продуктом художньої уяви, оскільки ні портрету Леонардо, ні детального опису його зовнішності, зробленого його сучасниками, не збереглося. Статуя була встановлена з ініціативи двох членів тимчасового уряду колишнього великого герцогства Тоскана, Козімо Рідолфі та Беттіно Рікасолі, які домоглися утвердження указу про фінансування статуї 23 вересня 1859. Роботу над статуєю доручили флорентійському скульптору , і він закінчив завдання у 1863 році. Статуя була поміщена в Пізі на Кампо-Санто, де знаходиться могила Леонардо.
У 1926 році, коли при владі в Італії перебували фашисти, влада вирішила перенести пам'ятник Леонардо та дві статуї інших відомих громадян міста Пізи з безлюдних місць на кладовищі й поставити в громадських місцях, де їх було б добре видно. Статуя Леонардо була поміщена в південній частині Понте ді Меццо. Під час Другої світової війни, у 1944 році, місто було зруйноване у битві за Пізу, а статуя потрапила на склад. У 1950 вона була знову відновлена і тимчасово розміщена у парку Джардіно Скотто біля східного входу до старого міста. Тільки в 1990-х адміністрація Пізи ухвалила рішення відновити статую і помістити її назад на своє колишнє місце в Кампо-Санто.
Пам'ять
Іменем Фібоначчі названо астероїд 6765 Фібоначчі.
Принцип, закладений у процедурі отримання послідовності Фібоначчі, широко використовується в математиці й програмуванні. Дивіться, наприклад, статтю Купа Фібоначчі.
У математиці відома тотожність Брамагупти — Фібоначчі, яку отримав індійський математик Брамагупта, і описав у „Книзі квадратів“ Леонардо Пізанський.
Фібоначчі познайомив Європу із позиційною системою числення, однак існує (система числення Фібоначчі), в основі якої лежить послідовність Фібоначчі.
Примітки
- Find a Grave — 1996.
- Pas L. v. Genealogics.org — 2003.
- . Архів оригіналу за 5 лютого 2010. Процитовано 26 березня 2010.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title () - Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. Brooks Cole, 1990: (6th ed.), p 261.
- Дроздюк А. В.; Дроздюк Д. В. (2010). Фибоначчи, его числа и кролики (Пер. з англ) . Торонто: Choven. с. 20. ISBN .
- Drozdyuk, Andriy; Drozdyuk, Denys. (2010). Fibonacci, his numbers and his rabbits (Engl.) . Toronto: Choven Pub. с. 18. ISBN .
{{}}
: Перевірте значення|isbn=
: недійсний символ () - Сучасною мовою «лінійна рекурентна послідовність»
- Метод знаходження коренів рівняння, близький до методу січних.
- Яглом И. М. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики. // Квант, 1984. № 7. С. 15-17.
- Карпушина Н. «Liber abaci» Леонардо Фибоначчи // Математика в школе, № 4, 2008.
- Horadam A. F. Eight hundred years young
- А. П. Стахов. Две знаменитые задачи Фибоначчи http://www.goldenmuseum.com/1001TwoProblems_rus.html [ 16 грудня 2010 у Wayback Machine.]
- Леонардо Пизано Фибоначчи http://www.xfibo.ru/fibonachi/leonardo-pisano-fibonacci.htm [ 8 квітня 2014 у Wayback Machine.]
Видання і переклади праць
- Baldassare Boncompagni, Tre scritti inediti di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano, Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1854 (Онлайн на сайті Google Books), 2-ге видання: Opuscoli di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano, Seconda edizione, Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1856 (Онлайн на сайті Google Books; Онлайн на сайті Göttinger Digitalisierungszentrum)
- Baldassare Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, Roma: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche; vol. I: Il liber abbaci pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C. I, 2616, Badia Fiorentina, no. 73 (1857); vol. II: Practica Geometriae et Opuscoli (1862) (Онлайн обидва томи на сайті Göttinger Digitalisierungszentrum; Оцифрований текст Том 1 та Том 2. Онлайн на сайті Münchener Digitalisierungszentrum)
- Paul Ver Eecke, Léonard de Pise, Le livre des nombres carrées. Traduit pour la première fois du latin médiéval en français, avec une introduction et des notes. Brügge: Desclée, De Brouwer, 1952 (французький переклад з вступною статею та примітками).
- Gino Arrighi, La pratica di geometria volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dino, cittadino pisano, dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Pisa: Domus Galilaeana, 1966 (= Testimonianze di storia della scienza, 3)
- Lucia Salomone, È chasi della terza parte del XV capitolo del Liber Abaci nella trascelta a cura di maestro Benedetto: secondo la lezione del codice L.IV.21 (sec. XV) dell Biblioteca Comunale di Siena. Siena: Servizio Editoriale dell'Università, 1984 (= Quaderni del Centro Studi della Matematica Medioevale, 10)
- Laurence E. Sigler, Leonardo Pisano Fibonacci, The book of squares: an annotated translation into modern English, Boston/London: Academic Press, 1987, (англійський переклад).
- Jean-Pierre Levet, Léonard de Pise, Des chiffres hindous aux racines cubiques: extraits du Liber abaci, introduction, traduction et brefs commentaires mathématiques et philologiques, Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d'histoire des mathématiques et d’épistémologie)
- Jean-Pierre Levet, Léonard de Pise, Divisions et portions, perles et animaux, Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d'histoire des mathématiques et d’épistémologie)
- Laurence E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, New York: Springer, 2002, , Heinz Lüneburg, Рецензія на англійське видання (нім.)
- Barnabas Hughes, Fibonacci's De Practica Geometrie, New York: Springer, 2008, (англійський переклад з коментарем без латинського оригіналу)
Література
- Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. Москва, Изд-во „Наука“, 1961 г.
- Стахов А. П. Введение в алгоритмическую теорию измерения». Москва, Изд-во «Советское Радио», 1977 г.
- Стахов А. П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Изд-во «Знание», серия «Математика и кибернетика», вып.6, 1979 г.
- Стахов А. П. Коды золотой пропорции. Москва, Изд-во «Радио и Связь», 1984 г.
- Сороко Э. М. Структурная гармония систем. Минск «Наука и техника», 1984 г.
- Цветков В. Д. Ряды Фибоначчи и оптимальная организация сердечной деятельности млекопитающих. Пущино, Научная центральная библиотека АН СССР, 1984 г.
- Стахов А. П., Лихтциндер Б. Я., Орлович Ю. П., Сторожук Ю. А. Кодирование данных в информационно-регистрирующих системах", Киев, Изд-во «Техника», 1985 г.
- Померанцева Н. А. Эстетические основы искусства Древнего Египта. Москва, Изд-во «Искусство», 1985 г.
- Grzedzielski, Jan. Energetyczno-geometryczny kod przygody. Warszava,1986.
- Система, Симметрия, Гармония. Под. редакцией В. С. Тюхтина и Ю. А. Урманцева. Москва, Изд-во «Мысль»,1988 г. (глава "Высшие симметрии, преобразования и инварианты в биологических объектах — автор С. В. Петухов).
- Ковалев Ф. В. Золотое сечение в живописи. Киев, Изд-во «Вища школа», 1989 г.
- Стахов А. П. Помехоустойчивые коды: Компьютер Фибоначчи. Москва, Изд-во «Знание», серия «Радиоэлектроника и связь», вып.6, 1989 г.
- Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. Москва, Изд-во «Стройиздат», 1990 г.
- Васютинский Н. А. Золотая пропорция. Москва, Изд-во «Молодая Гвардия», 1990 г.
- Коробко В. И., Примак Г. Н. Золотая пропорция и человек. Ставрополь, Изд-во «Кавказская библиотека», 1992 г.
- Суббота А. Г. «Золотое сечение» («Sectio Aurea») в медицине. Санкт-Петербург, Изд-во «Стройлеспечать», 1996 г.
- Stakhov A.P. «Computer Arithmetic based on Fibonacci Numbers and Golden Section: New Information and Arithmetic Computer Foundations», Toronto, «SKILLSET-Training», 1997 (manuscript).
- Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. Пущино, Пущинский научный центр, Институт теоретической и экспериментальной биофизики, 1997 г.
- Коробко В. И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. Москва, Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1998 г.
- Stakhov A.P., Massingue V., Sluchenkova A.A. «Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography», Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г.
- Лужецький В. А. Високонадійні математичні Фібоначчі-процесори. УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2000 г.
- Leonardo Fibonacci: matematica e società nel Mediterraneo nel secolo XIII, Pisa: Istituti editoriali e poligrafici internazionali, 2005, , Sondernummern des Bollettino di storia delle scienze matematiche, anno 23, num. 2 (Dez. 2003), anno 24, num. 1 (Juni 2004)
- Heinz Lüneburg: Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag, 1999,
- Heinz Lüneburg: Leonardo Pisanos Liber abbaci. In: Der Mathematik-Unterricht 42,3 (1996), S. 31-42
- Marcello Morelli / Marco Tangheroni (Hrsg.): Leonardo Fibonacci: il tempo, le opere, l'eredita scientifica. Pisa: Pacini, 1994
- M. Mucillo: Art. Fibonacci, Leonardo, in: Dizionario Biografico degli Italiani, Bd. XL (Rom: Istituto della Enciclopedia Italiana, 1991): Online-Version
- Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Berlin [et al.]: Springer, 1990, S. 96-104,
- Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, II: Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668. 2. Aufl. 1900, Repr. New York / Stuttgart 1965 (= Bibliotheca mathematica Teubneriana, 7)
- Édouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 (1877), S. 129—193, S. 239—293
- Francesco Bonaini: Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, nuovamente trovata. Pisa: Nistri, 1858
- Baldassare Boncompagni: Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo. Rom: Tipografia delle Belle Arti, 1854 (Digitalisat bei Google Books; Онлайн)
- Baldassare Boncompagni: Della vita e delle opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. In: Atti dell‘Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei 5 (1852), S. 5-91, S. 208—246
Посилання
У Вікіджерелах є Leonardo Fibonacci |
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Фібоначчі |
- Уривки з Liber abbaci (Università di Pisa, Area della ricerca linguistica, Testi di Pisa)
- Charles Burnett: Leonard of Pisa (Fibonacci) and Arabic Arithmetic, 14 січня 2005.
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Leonardo Pisano Fibonacci в архіві MacTutor (англ.)
Див. також
- Книга абака
- Сад Архімеда (музей математики), Флоренція
- Музейний туризм
- Список об'єктів, названих на честь Фібоначчі
Це незавершена стаття про особу. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Leona rdo Piza nskij ital Leonardo Pisano blizko 1170 blizko 1250 vidomishij yak Fibonachchi Fibonacci italijskij matematik 13 stolittya avtor matematichnih traktativ zavdyaki yakim Yevropa dovidalasya pro vigadanu indijcyami pozicijnu sistemu chislennya vidomu zaraz yak arabski cifri Leonardo rozglyanuv takozh ideyu tak zvanih chisel Fibonachchi i vvazhayetsya odnim z najvidatnishih zahidnih matematikiv Serednovichchya Leonardo Pizanskijital Leonardo PisanoPrizhittyevij portret Fibonachchi roboti nevidomogo avtora Prizhittyevij portret Fibonachchi roboti nevidomogo avtoraNarodivsyablizko 1170 PizaPomer1250 1250 PizaPohovannyad 1 Krayina Pizanska respublikaNacionalnistitaliyecDiyalnistmatematik master of calculationsGaluzMatematikaVidomij zavdyaki chisla Fibonachchi arabski cifriBatkod 2 Fibonachchi u Vikishovishi Leonardo Pizanskij najbilshe vidomij pid prizviskom Fibonachchi Fibonacci pro pohodzhennya cogo psevdonimu ye rizni versiyi Za odniyeyu z nih jogo batko Gilyermo mav prizvisko Bonachchi Dobromisnij a sam Leonardo prozivavsya filius Bonacci sin dobromisnogo Za inshoyu Fibonacci pohodit vid frazi Figlio Buono Nato Ci sho v perekladi z italijskoyi oznachaye horoshij sin narodivsya Leonardo Pizanskij nikoli ne nazivav sebe Fibonachchi Persha vidoma nam zgadka pro Leonardo Fibonachchi Lionardo Fibonacci mistitsya v zapisah notariusa Svyashennoyi Rimskoyi imperiyi Perizolo Perizolo da Pisa Notaro Imperiale za 1506 rik OsvitaZhittya i naukova kar yera Leonardo tisno pov yazana z rozvitkom i kulturi Data jogo narodzhennya nevidoma nazivayutsya varianti 1170 i 1180 rokiv Batko Fibonachchi u torgovih spravah chasto buvav u Alzhiri i Leonardo vivchav tam matematiku u arabskih uchiteliv Piznishe vidvidav Yegipet Siriyu Vizantiyu Siciliyu Leonardo vivchav praci matematikiv krayin islamu takih yak al Horezmi i zavdyaki arabskim perekladam vin oznajomivsya takozh z dosyagnennyami antichnih ta indijskih matematikiv Na osnovi zasvoyenih nim znan Fibonachchi napisav ryad matematichnih traktativ sho yavlyayut soboyu vidatne yavishe serednovichnoyi zahidnoyevropejskoyi nauki U chasi Fibonachchi imperatorom Svyashennoyi Rimskoyi imperiyi buv Fridrih II Vihovanij u tradiciyah pivdennoyi Italiyi Fridrih II buv vnutrishno gliboko dalekij vid yevropejskogo hristiyanskogo licarstva Tomu cinovani jogo didom licarski turniri Fridrih II zovsim ne viznavav Zamist cogo vin kultivuvav mensh krivavi matematichni zmagannya na yakih suprotivniki obminyuvalisya ne udarami a zadachami Na odnomu z takih turniriv proyavivsya talant Leonardo Fibonachchi Comu spriyala chudova osvita yaku otrimav sin kupcya Bonachchi na Shodi u arabskih uchiteliv Zastupnictvo Fridriha spriyalo takozh vipusku naukovih traktativ Fibonachchi Kniga abaka Praktika geometriyi Kniga kvadrativ Za cimi knigami yaki perevershuvali za svoyim rivnem arabski i serednovichni yevropejski tvori vivchali matematiku led ne do chasiv Dekarta XVII stolittya U XIX stolitti v Pizi buv postavlenij pam yatnik vchenomu Naukova diyalnistStorinka z Liber abaci Znachnu chastinu zasvoyenih nim znan vin viklav u svoyij vidatnij Knizi abaka Liber abaci 1202 do nashih dniv zberigsya tilki dopovnenij rukopis 1228 roku Cya kniga mistit majzhe vsi arifmetichni j algebrayichni vidomosti togo chasu vikladeni z vinyatkovoyu povnotoyu i glibinoyu Vona vidigrala znachnu rol u rozvitku matematiki v Zahidnij Yevropi protyagom kilkoh nastupnih stolit Same za ciyeyu knigoyu yevropejci znajomilisya z arabskimi ciframi Pershi p yat rozdiliv knigi prisvyacheno arifmetici cilih chisel na osnovi desyatkovoyi sistemi chislennya U VI i VII glavi Leonardo vikladaye diyi zi zvichajnimi drobami U VIII X knigah vikladeni prijomi rozv yazannya zadach komercijnoyi arifmetiki z vikoristannyam proporcij U XI glavi rozglyanuti zadachi na zmishuvannya U XII glavi navodyatsya zadachi na pidsumovuvannya ryadiv arifmetichnoyi i geometrichnoyi progresij ryadu kvadrativ i vpershe v istoriyi matematiki povorotnogo ryadu sho u najprostishomu vipadku privodit do poslidovnosti tak zvanih chisel Fibonachchi U XIII glavi vikladayetsya i ryad inshih zadach sho zvodyatsya do linijnih rivnyan U XIV glavi Leonardo na chislovih prikladah roz yasnyuye sposobi nablizhenogo dobuvannya kvadratnogo i kubichnogo koreniv Nareshti v XV glavi zibranij ryad zavdan na zastosuvannya teoremi Pifagora i velika kilkist prikladiv na kvadratni rivnyannya Praktika geometriyi Practica geometriae 1220 mistit riznomanitni teoremi pov yazani z vimiryuvalnim metodom Poryad z klasichnimi rezultatami Fibonachchi navodit svoyi vlasni napriklad pershe dovedennya togo sho tri mediani trikutnika peretinayutsya v odnij tochci Arhimedu cej fakt buv vidomij ale yaksho jogo dovedennya j isnuvalo to do nas vono ne dijshlo U traktati Kvitka Flos 1225 Fibonachchi doslidzhuvav zadachu yaka v suchasnih poznachennyah zvoditsya do znahodzhennya koreniv kubichnogo rivnyannya x 3 2 x 2 10 x 20 displaystyle x 3 2x 2 10x 20 zaproponovanu jomu Ioannom Palermskim na matematichnomu zmaganni pri dvori imperatora Fridriha II Sam Ioann Palermskij majzhe napevno zapozichiv ce rivnyannya z traktatu Omara Hayama Pro dokazi zadach algebri de vono navoditsya yak priklad odnogo z vidiv u klasifikaciyi kubichnih rivnyan Leonardo Pizanskij doslidzhuvav ce rivnyannya pokazavshi sho jogo korin ne mozhe buti racionalnim abo zh mati viglyad odniyeyi z kvadratichnih irracionalnostej sho zustrichayutsya v X knizi Nachal Evklida a potim znajshov nablizhene znachennya korenya v shistdesyatkovih drobah ne vkazuyuchi prote sposobu svogo rozv yazku Kniga kvadrativ Liber quadratorum 1225 mistit ryad zadach na znahodzhennya rozv yazku neviznachenih kvadratnih rivnyan V odnomu iz zavdan takozh zaproponovanomu Ioannom Palermskim potribno bulo znajti racionalne kvadratne chislo yake buvshi zbilshenim abo zmenshenim na 5 znovu daye racionalni kvadratni chisla Chisla FibonachchiDokladnishe Poslidovnist Fibonachchi U Knizi abaka Fibonachchi opisav poslidovnist nazvanu jogo imenem poslidovnist Fibonachchi Cya poslidovnist bula vidoma she v Starodavnij Indiyi zadovgo do Fibonachchi Svoyu ninishnyu nazvu chisla Fibonachchi otrimali zavdyaki doslidzhennyu vlastivostej cih chisel Poslidovnist Fibonachchi viznachayetsya yak ryad chisel v yakomu kozhne nastupne chislo dorivnyuye sumi dvoh poperednih 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 Vidnoshennya dvoh susidnih chisel u poslidovnosti Fibonachi pryamuye do zolotogo peretinu chisla vidomogo she v antichnosti U vikladi Fibonachchi cya zadacha formulyuvalasya yak zadacha pro chislo krolikiv yaki narodzhuyutsya i virostayut za algoritmom kozhen malenkij krolik na nastupnomu kroci virostaye u velikogo krolya a kozhen velikij kril narodzhuye malenkogo Yak naslidok vinikaye poslidovnist k K Kk KkK KkKKk KkKKkKkK i tak dali Zagalna kilkist krolikiv i skladaye poslidovnist Fibonachchi Zadachi FibonachchiZalishayuchis prihilnikom matematichnih turniriv osnovnu rol u svoyih knigah Fibonachchi viddaye zadacham yih rozv yazkam i komentaryam Zadachi na turniri skladali yak sam Fibonachchi tak i jogo supernik pridvornij filosof Fridriha II Jogan Palermskij Zadachi Fibonachchi abo yih analogi nadali vikoristovuvalis u riznih pidruchnikah z matematiki protyagom dekilkoh stolit Yih mozhna zustriti v Suma arifmetiki geometriyi drobiv proporcij i proporcijnosti L Pachioli 1494 v Priyemnih i cikavih zadachah Kloda Gaspara Bashe de Mezir yaka 1612 v Arifmetici Leontiya Magnickogo 1703 v Algebri L Ejlera 1768 Prikladi zadach navedeno nizhche Zadachi pro giri Zavdannya pro vibir najkrashoyi sistemi gir dlya zvazhuvannya na vazhilnih terezah vpershe bula sformulovana same Fibonachchi Leonardo Pizanskij proponuye dva varianti zavdannya Prostij variant potribno znajti p yat gir za dopomogoyu yakih mozhna znajti vagu menshu nizh 30 pri comu giri mozhna klasti lishe na odnu chashu tereziv Vidpovid 1 2 4 8 16 Rozv yazok buduyetsya v dvijkovij sistemi chislennya Skladnij variant potribno znajti najmenshe chislo gir za dopomogoyu yakogo mozhna zvazhiti vagu menshu vid zadanoyi Vidpovid 1 3 9 27 81 Rozv yazok buduyetsya v sistemi chislennya z osnovoyu tri i v zagalnomu vipadku ye poslidovnist A009244 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Zadacha pro ptahiv i vezhi Dvi ptashki odnochasno zlitayut z vershin dvoh vezh sho znahodyatsya na vidstani 50 metriv Visota odniyeyi vezhi stanovit 30 metriv a drugoyi 40 metriv Pri poloti z odnakovoyu shvidkistyu ptashki dolitayut odnochasno do fontanu sho roztashovanij na liniyi provedenij cherez dvi vezhi na rivni poverhni gruntu Na yakij vidstani vid osnovi vezh znahoditsya fontan Zadacha pro kupcya z Pizi Pizanskij kupec pid chas torgovelnoyi podorozhi do Veneciyi podvoyiv tam svij startovij kapital a za tim vitrativ 12 dinariv Potim podavsya do Florenciyi de znovu podvoyiv chislo svoyih dinariv i vitrativ 12 Pislya povernennya do Pizi chergovij raz podvoyiv svij statok vitrativ 12 dinariv i zalishivsya bez kopijki Skilki dinariv vin mav na pochatku Zadacha pro troh cholovikiv i znajdenij gamanec Tri choloviki znajshli gamanec iz 23 dinarami Pershij kazhe drugomu Yaksho ya dodam ci groshi do svoyih to budu mati sumu sho bude udvichi bilshoyu vid tiyeyi sho ye u tebe Drugij analogichno zvernuvsya do tretogo Yaksho ya zaraz vizmu ci groshi sobi budu mati sumu utrichi bilshu vid tvoyeyi Na kinec tretij kazhe do pershogo Yaksho ya dodam ci groshi do svoyih to budu mati sumu uchetvero bilshu nizh u tebe Skilki dinariv mav kozhen z nih Zagadka pana z Palermo Tri pridvornih slugi mali svoyu chastku v pevnij sumi groshej u kasi dolya pershogo stanovila polovinu drugogo tretinu a tretogo shostu chastinu Kozhen z uchasnikiv vzyav zi spilnoyi kasi groshi ne zovsim chesno tak sho kasa zalishilas porozhnoyu Dali pershij z nih povernuv polovinu togo sho vzyav drugij tretinu a tretij shostu chastinu Otrimanu sumu bulo rozdileno na tri odnakovi chastini i rozdano kozhnomu z troh slug Viyavilos sho kozhen z nih mav tochno stilki skilki jomu nalezhalo Skilki koshtiv bulo u kasi spochatku yaku sumu vzyav kozhen z uchasnikiv Zadacha pro spadshinu Cholovik sho pomirav poklikav svoyih siniv i skazav najstarshomu Vizmi odnogo dinara z moyih statkiv i somu chastinu vid togo sho zalishitsya Drugomu sinu kazhe Vizmi sobi dva dinari i somu chastinu togo sho zalishitsya Do tretogo Vizmi tri dinari i somu chastinu togo sho zalishitsya i tak dali kozhnomu nastupnomu sinovi zapisuvav na odin dinar bilshe vid poperednogo i somu chastinu zalishku Pislya podilu statkiv viyavilos sho vsi sini otrimali porivnu Skilki bulo siniv i yakim buv spadok Zadachi z teoriyi chisel Znajti chislo yake podilyayetsya na 7 i daye v zalishku odinicyu pri dilenni na 2 3 4 5 i 6 Znajti chislo dobutok yakogo na sim daye zalishki 1 2 3 4 5 pri dilenni na 2 3 4 5 6 vidpovidno Znajti kvadratne chislo yake pri zbilshenni abo zmenshenni na 5 davalo b kvadratne chislo Praci Kniga abaka Liber abaci napisana v 1202 roci ale dijshla do nas u svoyemu drugomu varianti sho syagaye 1228 r Praktika geometriyi Practica geometriae 1220 Kniga kvadrativ Liber quadratorum 1225 Kvitka Flos 1225 Statuya LeonardoPam yatnik Leonardo z Pizi Fibonachchi zroblenij u 1863 roci na kladovishi Pizi U Pizi v monastiri istorichnogo kladovisha ye statuya Leonardo z napisom Ampere Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII Zobrazhennya ye produktom hudozhnoyi uyavi oskilki ni portretu Leonardo ni detalnogo opisu jogo zovnishnosti zroblenogo jogo suchasnikami ne zbereglosya Statuya bula vstanovlena z iniciativi dvoh chleniv timchasovogo uryadu kolishnogo velikogo gercogstva Toskana Kozimo Ridolfi ta Bettino Rikasoli yaki domoglisya utverdzhennya ukazu pro finansuvannya statuyi 23 veresnya 1859 Robotu nad statuyeyu doruchili florentijskomu skulptoru i vin zakinchiv zavdannya u 1863 roci Statuya bula pomishena v Pizi na Kampo Santo de znahoditsya mogila Leonardo U 1926 roci koli pri vladi v Italiyi perebuvali fashisti vlada virishila perenesti pam yatnik Leonardo ta dvi statuyi inshih vidomih gromadyan mista Pizi z bezlyudnih misc na kladovishi j postaviti v gromadskih miscyah de yih bulo b dobre vidno Statuya Leonardo bula pomishena v pivdennij chastini Ponte di Mecco Pid chas Drugoyi svitovoyi vijni u 1944 roci misto bulo zrujnovane u bitvi za Pizu a statuya potrapila na sklad U 1950 vona bula znovu vidnovlena i timchasovo rozmishena u parku Dzhardino Skotto bilya shidnogo vhodu do starogo mista Tilki v 1990 h administraciya Pizi uhvalila rishennya vidnoviti statuyu i pomistiti yiyi nazad na svoye kolishnye misce v Kampo Santo Pam yatImenem Fibonachchi nazvano asteroyid 6765 Fibonachchi Princip zakladenij u proceduri otrimannya poslidovnosti Fibonachchi shiroko vikoristovuyetsya v matematici j programuvanni Divitsya napriklad stattyu Kupa Fibonachchi U matematici vidoma totozhnist Bramagupti Fibonachchi yaku otrimav indijskij matematik Bramagupta i opisav u Knizi kvadrativ Leonardo Pizanskij Fibonachchi poznajomiv Yevropu iz pozicijnoyu sistemoyu chislennya odnak isnuye sistema chislennya Fibonachchi v osnovi yakoyi lezhit poslidovnist Fibonachchi PrimitkiFind a Grave 1996 d Track Q63056 Pas L v Genealogics org 2003 d Track Q19847329d Track Q19847326 Arhiv originalu za 5 lyutogo 2010 Procitovano 26 bereznya 2010 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Obslugovuvannya CS1 Storinki z tekstom archived copy yak znachennya parametru title posilannya Howard Eves An Introduction to the History of Mathematics Brooks Cole 1990 ISBN 0 03 029558 0 6th ed p 261 Drozdyuk A V Drozdyuk D V 2010 Fibonachchi ego chisla i kroliki Per z angl Toronto Choven s 20 ISBN 978 0 9866300 0 2 Drozdyuk Andriy Drozdyuk Denys 2010 Fibonacci his numbers and his rabbits Engl Toronto Choven Pub s 18 ISBN 978 0 9866300 1 9 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Perevirte znachennya isbn nedijsnij simvol dovidka k 1 n k 2 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum k 1 n k 2 frac n n 1 2n 1 6 Suchasnoyu movoyu linijna rekurentna poslidovnist Metod znahodzhennya koreniv rivnyannya blizkij do metodu sichnih Yaglom I M Italyanskij kupec Leonardo Fibonachchi i ego kroliki Kvant 1984 7 S 15 17 Karpushina N Liber abaci Leonardo Fibonachchi Matematika v shkole 4 2008 Horadam A F Eight hundred years young A P Stahov Dve znamenitye zadachi Fibonachchi http www goldenmuseum com 1001TwoProblems rus html 16 grudnya 2010 u Wayback Machine Leonardo Pizano Fibonachchi http www xfibo ru fibonachi leonardo pisano fibonacci htm 8 kvitnya 2014 u Wayback Machine Vidannya i perekladi pracBaldassare Boncompagni Tre scritti inediti di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano Florenz Tipografia Galileiana di M Cellini e C 1854 Onlajn na sajti Google Books 2 ge vidannya Opuscoli di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano Seconda edizione Florenz Tipografia Galileiana di M Cellini e C 1856 Onlajn na sajti Google Books Onlajn na sajti Gottinger Digitalisierungszentrum Baldassare Boncompagni Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo Roma Tipografia delle scienze matematiche e fisiche vol I Il liber abbaci pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C I 2616 Badia Fiorentina no 73 1857 vol II Practica Geometriae et Opuscoli 1862 Onlajn obidva tomi na sajti Gottinger Digitalisierungszentrum Ocifrovanij tekst Tom 1 ta Tom 2 Onlajn na sajti Munchener Digitalisierungszentrum Paul Ver Eecke Leonard de Pise Le livre des nombres carrees Traduit pour la premiere fois du latin medieval en francais avec une introduction et des notes Brugge Desclee De Brouwer 1952 francuzkij pereklad z vstupnoyu stateyu ta primitkami Gino Arrighi La pratica di geometria volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dino cittadino pisano dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze Pisa Domus Galilaeana 1966 Testimonianze di storia della scienza 3 Lucia Salomone E chasi della terza parte del XV capitolo del Liber Abaci nella trascelta a cura di maestro Benedetto secondo la lezione del codice L IV 21 sec XV dell Biblioteca Comunale di Siena Siena Servizio Editoriale dell Universita 1984 Quaderni del Centro Studi della Matematica Medioevale 10 Laurence E Sigler Leonardo Pisano Fibonacci The book of squares an annotated translation into modern English Boston London Academic Press 1987 ISBN 0 12 643130 2 anglijskij pereklad Jean Pierre Levet Leonard de Pise Des chiffres hindous aux racines cubiques extraits du Liber abaci introduction traduction et brefs commentaires mathematiques et philologiques Poitiers IREM 1997 Cahiers d histoire des mathematiques et d epistemologie Jean Pierre Levet Leonard de Pise Divisions et portions perles et animaux Poitiers IREM 1997 Cahiers d histoire des mathematiques et d epistemologie Laurence E Sigler Fibonacci s Liber Abaci A Translation into Modern English of Leonardo Pisano s Book of Calculation New York Springer 2002 ISBN 0 387 95419 8 Heinz Luneburg Recenziya na anglijske vidannya nim Barnabas Hughes Fibonacci s De Practica Geometrie New York Springer 2008 ISBN 978 0 387 72930 5 anglijskij pereklad z komentarem bez latinskogo originalu LiteraturaVorobev N N Chisla Fibonachchi Moskva Izd vo Nauka 1961 g Stahov A P Vvedenie v algoritmicheskuyu teoriyu izmereniya Moskva Izd vo Sovetskoe Radio 1977 g Stahov A P Algoritmicheskaya teoriya izmereniya Moskva Izd vo Znanie seriya Matematika i kibernetika vyp 6 1979 g Stahov A P Kody zolotoj proporcii Moskva Izd vo Radio i Svyaz 1984 g Soroko E M Strukturnaya garmoniya sistem Minsk Nauka i tehnika 1984 g Cvetkov V D Ryady Fibonachchi i optimalnaya organizaciya serdechnoj deyatelnosti mlekopitayushih Pushino Nauchnaya centralnaya biblioteka AN SSSR 1984 g Stahov A P Lihtcinder B Ya Orlovich Yu P Storozhuk Yu A Kodirovanie dannyh v informacionno registriruyushih sistemah Kiev Izd vo Tehnika 1985 g Pomeranceva N A Esteticheskie osnovy iskusstva Drevnego Egipta Moskva Izd vo Iskusstvo 1985 g Grzedzielski Jan Energetyczno geometryczny kod przygody Warszava 1986 Sistema Simmetriya Garmoniya Pod redakciej V S Tyuhtina i Yu A Urmanceva Moskva Izd vo Mysl 1988 g glava Vysshie simmetrii preobrazovaniya i invarianty v biologicheskih obektah avtor S V Petuhov Kovalev F V Zolotoe sechenie v zhivopisi Kiev Izd vo Visha shkola 1989 g Stahov A P Pomehoustojchivye kody Kompyuter Fibonachchi Moskva Izd vo Znanie seriya Radioelektronika i svyaz vyp 6 1989 g Shevelev I Sh Marutaev M A Shmelev I P Zolotoe sechenie Tri vzglyada na prirodu garmonii Moskva Izd vo Strojizdat 1990 g Vasyutinskij N A Zolotaya proporciya Moskva Izd vo Molodaya Gvardiya 1990 g Korobko V I Primak G N Zolotaya proporciya i chelovek Stavropol Izd vo Kavkazskaya biblioteka 1992 g Subbota A G Zolotoe sechenie Sectio Aurea v medicine Sankt Peterburg Izd vo Strojlespechat 1996 g Stakhov A P Computer Arithmetic based on Fibonacci Numbers and Golden Section New Information and Arithmetic Computer Foundations Toronto SKILLSET Training 1997 manuscript Cvetkov V D Serdce zolotoe sechenie i simmetriya Pushino Pushinskij nauchnyj centr Institut teoreticheskoj i eksperimentalnoj biofiziki 1997 g Korobko V I Zolotaya proporciya i problemy garmonii sistem Moskva Izd vo Associacii stroitelnyh vuzov 1998 g Stakhov A P Massingue V Sluchenkova A A Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography Harkov Izd vo Osnova Harkovskogo universiteta 1999 g Luzheckij V A Visokonadijni matematichni Fibonachchi procesori UNIVERSUM Vinnicya 2000 g Leonardo Fibonacci matematica e societa nel Mediterraneo nel secolo XIII Pisa Istituti editoriali e poligrafici internazionali 2005 ISBN 88 8147 374 7 Sondernummern des Bollettino di storia delle scienze matematiche anno 23 num 2 Dez 2003 anno 24 num 1 Juni 2004 Heinz Luneburg Liber Abbaci oder Lesevergnugen eines Mathematikers 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Mannheim et al BI Wissenschaftsverlag 1999 ISBN 3 411 15462 4 Heinz Luneburg Leonardo Pisanos Liber abbaci In Der Mathematik Unterricht 42 3 1996 S 31 42 Marcello Morelli Marco Tangheroni Hrsg Leonardo Fibonacci il tempo le opere l eredita scientifica Pisa Pacini 1994 M Mucillo Art Fibonacci Leonardo in Dizionario Biografico degli Italiani Bd XL Rom Istituto della Enciclopedia Italiana 1991 Online Version Helmuth Gericke Mathematik im Abendland Von den romischen Feldmessern bis zu Descartes Berlin et al Springer 1990 S 96 104 ISBN 3 540 51206 3 Moritz Cantor Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik II Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668 2 Aufl 1900 Repr New York Stuttgart 1965 Bibliotheca mathematica Teubneriana 7 Edouard Lucas Recherches sur plusieurs ouvrages de Leonard de Pise et sur diverses questions d arithmetique superieure In Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 1877 S 129 193 S 239 293 Francesco Bonaini Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci nuovamente trovata Pisa Nistri 1858 Baldassare Boncompagni Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo Rom Tipografia delle Belle Arti 1854 Digitalisat bei Google Books Onlajn Baldassare Boncompagni Della vita e delle opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo In Atti dell Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei 5 1852 S 5 91 S 208 246PosilannyaU Vikidzherelah ye Leonardo Fibonacci Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Fibonachchi Urivki z Liber abbaci Universita di Pisa Area della ricerca linguistica Testi di Pisa Charles Burnett Leonard of Pisa Fibonacci and Arabic Arithmetic 14 sichnya 2005 Dzhon Dzh O Konnor ta Edmund F Robertson Leonardo Pisano Fibonacci v arhivi MacTutor angl Div takozhKniga abaka Sad Arhimeda muzej matematiki Florenciya Muzejnij turizm Spisok ob yektiv nazvanih na chest Fibonachchi Ce nezavershena stattya pro osobu Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi