Диференціальна алгебра

Диференціальними кільцями, полями і алгебрами називаються кільця, поля і алгебри, з заданим на них диференціюванням — унарною операцією, що задовольняє правилу добутку. Природний приклад диференціального поля — поле раціональних функцій однієї комплексної змінної ${\displaystyle C(t)}$, операції диференціювання відповідає диференціювання по ${\displaystyle t}$.

Диференціальні кільця

Диференціальне кільце — кільце R, на якому заданий ендоморфізм (диференціювання)

${\displaystyle \partial \colon R\to R}$

що задовольняє правило

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})}$

для будь-яких ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$. В некомутативному кільці правило ${\displaystyle d(xy)=xdy+ydx}$ може не виконуватися. У безіндексній формі запису, якщо ${\displaystyle M\colon R\times R\to R}$ — множення в кільці, то правило добутку прийме вигляд

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ),}$

де ${\displaystyle f\otimes g}$ - відображення пари ${\displaystyle (x,y)}$ у пару ${\displaystyle (f(x),g(y))}$.

Властивості

• Якщо x₁, x₂, … ,x_n ∈ A тоді виконується:

${\displaystyle \partial (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}\partial (x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}.\,}$

• У випадку комутативного кільця з попереднього випливає ${\displaystyle \partial (x^{n})=nx^{n-1}\partial x}$
• Для довільного елемента a, що має двосторонній обернений елемент a^-1 справедлива рівність:

${\displaystyle \partial (a^{-1})=a^{-1}\partial aa^{-1}}$. Для комутативного випадку вона перепишеться у звичнішому виді: ${\displaystyle \partial (a^{-1})=a^{-2}\partial a}$.

• Якщо кільце має одиницю то ${\displaystyle \partial 1=0}$.
• Нехай ${\displaystyle \partial ^{2}a=\partial (\partial a),}$ ${\displaystyle \partial ^{3}a=\partial (\partial ^{2}a),}$ і т. д. Тоді:

${\displaystyle \partial ^{n}(ab)=\sum _{i=0}^{n}C_{n}^{i}\partial ^{n-i}a\partial ^{i}b}$

• Ідеал I кільця R називається диференціальним, якщо з ${\displaystyle a\in I}$ випливає ${\displaystyle \partial a\in I}$. За допомогою диференціального кільця можна задати диференціювання на відповідному фактор-кільцю. Гомоморфізм ${\displaystyle h\colon R\to R^{'}}$ називається диференціальним, якщо для довільного ${\displaystyle r\in R}$ виконується рівність ${\displaystyle h(\partial r)=\partial ^{'}(hr)}$, де ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial ^{'}}$ — диференціювання відповідно в кільцях R і R^'.

Ядро довільного диференціального гомоморфізму є диференціальний ідеал. Він є диференціально ізоморфним до фактор-кільця по даному ідеалу.

Дані властивості справедливі і для диференціальних полів та алгебр.

Диференціальні поля

Диференціальне поле — поле K, з операцією диференціювання. Диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца у формі

${\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

оскільки множення в полі комутативне. Диференціювання також повинне бути дистрибутивно щодо додавання:

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

Полем констант диференціального поля ${\displaystyle K}$ називається ${\displaystyle k=\{u\in K|\partial (u)=0\}}$.

Диференціальні алгебри

Диференціальною алгеброю над полем K називається K-алгебра A, в якій диференціювання комутують з полем. Тобто для будь-яких ${\displaystyle k\in K}$ і ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle \ \partial (kx)=k\partial x}$

У безіндексній формі запису, якщо ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ - морфізм кілець, що визначає множення на скаляри в алгебрі, то

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )}$

Як і в решті випадків, диференціювання повинне задовольняти правилу Лейбніца щодо множення в алгебрі і бути лінійним щодо додавання. Тобто для будь-яких ${\displaystyle a,b\in K}$ і ${\displaystyle x,y\in A}$:

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

і

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y}$

Диференціювання в алгебрі Лі

Диференціювання алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — лінійне відображення ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$, що задовольняє правилу Лейбніца:

${\displaystyle \ D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]}$

Для будь-якого ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},~\operatorname {ad} (a)}$ — диференціювання на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, що виходить з тотожності Якобі. Будь-яке таке диференціювання називається внутрішнім.

Приклади

Якщо ${\displaystyle A}$ — алгебра з одиницею, то ${\displaystyle \partial (1)=0}$, оскільки ${\displaystyle \partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)}$. Наприклад, в диференціальних полях характеристики 0 раціональні елементи утворюють підполе в полі констант.

Будь-яке поле можна розглядати як поле констант.

У полі ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ існує природна структура диференціального поля, що визначається рівністю ${\displaystyle \partial (t)=1}$: з аксіом поля і диференціювання випливає, що це буде диференціювання по ${\displaystyle t}$. Наприклад, з комутативності множення і правила Лейбніца випливає, що

${\displaystyle \partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)}$

У диференціальному полі ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ немає розв'язку диференціального рівняння ${\displaystyle \partial (u)=u}$, але можна розширити його до поля, що містить функцію ${\displaystyle e^{t}}$, що має розв'язок цього рівняння.

Диференціальне поле, що має розв'язок для будь-якої системи диференціальних рівнянь, називається . Такі поля існують, хоча вони і не виникають природним чином в алгебрі або геометрії. Будь-яке диференціальне поле (обмеженої потужності) вкладається в більше диференціально замкнуте поле. Диференціальні поля вивчаються в диференціальної теорії Галуа.

Природні приклади диференціювань — часткові похідні, похідні Лі, і комутатор щодо заданого елементу алгебри. Всі ці приклади тісно пов'язані з загальною ідеєю диференціювання.

Кільце псевдодиференціальних операторів

Диференціальні кільця і диференціальна алгебра часто вивчаються за допомогою кільця псевдодиференціальних операторів над ними:

${\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}$

Множення в цьому кільці визначається як

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}$

Тут ${\displaystyle {m \choose k}}$ — біноміальний коефіцієнт. Відзначимо тотожність

${\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}$

наступне

${\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}$

і

${\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}$

Градуйоване диференціювання

Нехай ${\displaystyle A}$ — градуйована алгебра ${\displaystyle D}$ — однорідне лінійне відображення ${\displaystyle d=\left|D\right|}$. ${\displaystyle D}$ називається однорідною похідною, якщо ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)}$, ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ при дії на однорідні елементи ${\displaystyle A}$. Градуированная похідна — це сума однорідних похідних з однаковим ${\displaystyle \epsilon }$.

Якщо ${\displaystyle \epsilon =1}$, визначення збігається із звичайним диференціюванням.

Якщо ${\displaystyle \epsilon =-1}$, то ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$, для непарних ${\displaystyle \left|D\right|}$. Такі ендоморфізми називаються антипохідними.

Приклади антипохідних — зовнішня і внутрішня похідна диференціальних форм.

Градуйовані похідні (тобто ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуйованих алгебри) часто називаються суперпохідними.

Література

• Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру ИЛ, 1959 84 p.
• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994