Аксіома Плейфера — це аксіома, яку можна використати замість п'ятого постулату Евкліда (аксіоми паралельності):
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelEzTDFCdmFXNTBYMkZ1WkY5c2FXNWxMbkJ1Wnk4eU1EQndlQzFRYjJsdWRGOWhibVJmYkdsdVpTNXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlJtTDFSM2IxOVFZWEpoYkd4bGJGOXNhVzVsY3k1emRtY3ZNakF3Y0hndFZIZHZYMUJoY21Gc2JHVnNYMnhwYm1WekxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Якщо дано пряму на площині і точку поза цією прямою, через точку можна провести щонайбільше одну пряму, паралельну даній прямій.
Аксіома Плейфера еквівалентна аксіомі паралельності Евкліда в контексті евклідової геометрії. Аксіому названо ім'ям шотландського математика . Фраза «щонайбільше одну», це все, що потрібно, оскільки з інших аксіом можна довести, що хоча б одна пряма існує. Твердження часто записують у вигляді, що «існує одна й лише одна паралельна». У «Началах» Евкліда дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються й інших описів паралельних прямих не використовується.
Аксіома використовується не тільки в евклідовій геометрії, але також і в афінній геометрії, в якій поняття паралельності є центральним. В умовах афінної геометрії потрібна сильніша форма аксіоми Плейфера (в якій «щонайбільше» замінено на «одна й лише одна»), оскільки аксіоми нейтральної геометрії не дають доведення існування. Версія Плейфера аксіоми стала настільки популярною, що про неї кажуть як про аксіому паралельності Евкліда, хоча вона не є евклідовою версією аксіоми. Із аксіом випливає, що бінарне відношення паралельності прямих є [en].
Історія
Прокл (410—485) ясно дає твердження аксіоми в коментарях до книги Евкліда I. 31 (Книга I, Твердження 31).
1785 року Вільям Ладлем висловив аксіому паралельності таким чином:
- Дві прямі, що перетинаються в точці, не можуть бути паралельними третій прямій.
Це короткий вислів евклідової паралельності запозичив Плейфер у своїй книзі Elements of Geometry (Елементи геометрії, 1795), яку часто передруковували. Він писав:
- Дві прямі, що перетинаються, не можуть бути обидві паралельні одній і тій самій третій прямій.
Плейфер дякував Ладлему та іншим за спрощення твердження Евкліда. Надалі точка перетину двох прямих вийшла на перше місце і заперечення двох паралельних перетворилося в єдиність паралельних, що проходять через дану точку.
1883 року Артур Кейлі, президент Британської Асоціації, у своєму зверненні до Асоціації висловив таку думку:
- З моєї точки зору дванадцята аксіома Евкліда у формі Плейфера не потребує доведення, а є частиною нашого уявлення про простір, фізичний простір нашого досвіду, яке є відбиває те, що лежить в основі нашого життєвого досвіду.
Коли Давид Гільберт написав свою книгу «Основи геометрії» (1899), подаючи новий набір аксіом евклідової геометрії, він використовував при обговоренні паралельних прямих аксіому у формі Плейфера, а не оригінальну версію Евкліда.
Зв'язок з п'ятим постулатом Евкліда
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlZrTDFCaGNtRnNiR1ZzWDNCdmMzUjFiR0YwWlY5bGJpNXpkbWN2TXpVd2NIZ3RVR0Z5WVd4c1pXeGZjRzl6ZEhWc1lYUmxYMlZ1TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Аксіома паралельності Евкліда стверджує:
Якщо відрізок перетинає дві прямі, утворюючи два внутрішніх кути з одного боку, що дають у сумі менше двох прямих кутів, то дві прямі, продовжені до нескінченності, перетинаються з того боку, де сума кутів менша від двох прямих кутів.
Складність цього твердження, порівняно з формулюванням Плейфера, ясно показує причину популярності аксіоми Плейфера під час обговорення аксіоми паралельності.
В контексті абсолютної геометрії два твердження еквівалентні, що означає, що одне твердження можна довести на підставі іншого за наявності інших аксіом геометрії. Твердження не є логічно еквівалентними (що означало б, що одне можна довести з іншого тільки за допомогою формальних логічних висновків), оскільки, наприклад, у сферичній моделі (еліптичної геометрії) одне твердження істинне, а інше — хибне. Логічно еквівалентне твердження істинне у всіх моделях, в яких воно інтерпретується.
Доведення нижче припускають, що всі аксіоми абсолютної (нейтральної) геометрії виконуються.
З п'ятого постулату Евкліда випливає аксіома Плейфера
Найпростіший спосіб показати це — використовувати теорему Евкліда (еквівалентна п'ятому постулату), яка стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Якщо дано пряму і точку P поза нею, будуємо пряму t, перпендикулярну до даної прямої, що проходить через точку P, а потім перпендикуляр до цього перпендикуляру через точку P. Ця пряма паралельна прямій
, оскільки вона не може перетнутися з прямою
і утворити трикутник, про що йдеться у твердженні 27 книги 1 у «Началах» Евкліда. Тепер видно, що ніякої іншої паралельної не існує. Якби n була другою паралельною прямою через точку P, то n утворила б із прямою t гострий кут (оскільки вона не перпендикулярна), а при припущенні істинності гіпотези про п'ятий постулат n перетиналося б з
.
З аксіоми Плейфера випливає п'ятий постулат Евкліда
Якщо з постулату Плейфера випливає, що перпендикуляр до перпендикуляра паралельний початковій прямий, прямі з побудови Евкліда повинні перетинатися. Слід довести, що вони будуть перетинатися з того боку, де сума кутів менша від двох прямих кутів, але це доведення істотно складніше.
Транзитивність паралельності
Твердження 30 Евкліда говорить: «Дві прямі, кожна з яких паралельна третій прямій, паралельні». Де Морган помітив, що це твердження логічно еквівалентне аксіомі Плейфера. Це зауваження повторив [ru] 1908 року. Аргументація де Моргана така: нехай X — множина різних пар перетинних прямих, а Y — множина різних пар прямих, паралельних одній спільній прямій. Якщо z є пара різних прямих, то твердження,
- Для всіх z, якщо z міститься в X, то z не міститься в Y,
є аксіомою Плейфера (в термінах де Моргана, Ніякий X не є Y) і їй логічно еквівалентне протиставлення,
- Для всіх z, якщо z лежить в Y то z не лежить в X,
є твердженням Евкліда I. 30 про транзитивність паралельності (Ніякий Y не є X).
2011 року імплікацію перефразовано в термінах бінарного відношення паралельності прямих: в афінній геометрії відношення вважається відношенням еквівалентності, що означає, що пряма приймається паралельної собі. Енді Лю написав: «Нехай P — точка, що не лежить на прямій 2. Припустимо, що як пряма 1, так і пряма 3 проходять через P та паралельні прямій 2. Згідно з транзитивністю вони паралельні одна одній, а тому не можуть мати спільної точки P. Звідси випливає, що це одна й та сама пряма, що є аксіомою Плейфера.»
Примітки
- Playfair, 1846, с. 29.
- точніше, в контексті абсолютної геометрії.
- . Архів оригіналу за 1 листопада 2010. Процитовано 21 січня 2021.
- Heath, 1956, с. Vol. 1, p. 190.
- наприклад, у [en] (1965) Linear Geometry, page 202, Addison-Wesley)
- Heath, 1956, с. Vol. 1, p. 220.
- Ludlam, 1785, с. 145.
- Playfair, 1846, с. 11.
- Playfair, 1846, с. 291.
- Frankland, 1910, с. 31.
- Гильберт, 1923.
- Eves, 1963, с. 385-7.
- Phillips, 1826, с. 3.
- Henderson, Taimiņa, 2005, с. 139.
- Цей аргумент дає більше, ніж потрібно для доведення результату. Існують доведення паралельності, які не використовують еквівалентності п'ятому постулату.
- Greenberg, 1974, с. 107.
- Доведення можна знайти в книзі Гіта (Heath, 1956)
- De Morgan, 1849.
- Heath, 1956, с. Vol. 1, p. 314.
- The College Mathematics Journal, 42(5):372
Література
- Augustus De Morgan. Supplementary Remarks on the first six Books of // Companion to the Almanac. — 1849. — 17 червня.
- William Ludlam. The Rudiments of Mathematics. — Cambridge, 1785. — С. 145.
- William Barrett Frankland. Theories of Parallelism: A Historic Critique. — Cambridge University Press, 1910. — С. 31.
- . Elements of Geometry. — W. E. Dean, 1846.
- David W. Henderson, Daina Taimiņa. Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History. — 3rd. — Upper Saddle River, NJ : Pearson Prentice Hall, 2005. — С. 139. — .
- George Phillips. Elements of Geometry (містить перші шість книг Евкліда). — 1826. — С. 3.
- Howard Eves. A Survey of Geometry (Volume One). — Boston : Allyn and Bacon, 1963.
- Marvin Jay Greenberg. Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History. — San Francisco : W.H. Freeman, 1974. — .
- Гильберт Д. Основания геометрии. — Петроград : «Сеятель», 1923. — (Библиотека современной математики)
- . The Thirteen Books of Euclid's Elements. — [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1908] 2nd. — New York : , 1956. (3 тома.: том. 1, том. 2, том. 3.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет