Інтеграл Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана — Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення

Нехай маємо дві дійсні функції ${\displaystyle f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle P}$  — множину розбиттів відрізка ${\displaystyle [a,b]}$   ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b}$ Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття ${\displaystyle c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]}$; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

${\displaystyle \delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|}$.

Інтеграл Стілтьєса позначається так:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)}$

і за означенням він рівний границі:

${\displaystyle \lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))}$

У випадку, якщо ${\displaystyle g(x)=x}$  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$, тобто величина

${\displaystyle V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|,}$

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості

• Якщо функція g(x)  — диференційовна то має місце рівність:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dg=\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx}$ (у випадку існування останнього інтеграла).

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}+f_{2})\,dg=\int _{a}^{b}f_{1}\,dg+\int _{a}^{b}f_{2}\,dg}$.
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}cf\,dg=c\int _{a}^{b}f\,dg}$.
• Якщо ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}}$ тоді ${\displaystyle \int _{a}^{b}f_{1}\,dg\leq \int _{a}^{b}f_{2}\,dg}$.
• Якщо ${\displaystyle a<c<b}$ тоді ${\displaystyle \int _{a}^{c}f\,dg+\int _{c}^{b}f\,dg=\int _{a}^{b}f\,dg}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d(g_{1}+g_{2})=\int _{a}^{b}f\,dg_{1}+\int _{a}^{b}f\,dg_{2}}$.
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,d(cg)=c\int _{a}^{b}f\,dg}$

В усіх попередніх рівняннях ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ і вимагається існування інтегралів в правій частині.

• Інтегрування частинами:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x).}$

Застосування у теорії ймовірностей

Якщо ${\displaystyle g}$  — функція розподілу ймовірностей випадкової величини ${\displaystyle X}$, що має функцію щільності ймовірності відносно міри Лебега і ${\displaystyle f}$  — будь-яка функція, для якої математичне сподівання ${\displaystyle E\left[|f(x)|\right]}$ є скінченним, то густини ймовірності функція від ${\displaystyle X}$ є похідною від ${\displaystyle g}$, тобто

${\displaystyle E\left[|f(x)|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\mathrm {d} x}$.

Але ця формула не буде працювати, якщо ${\displaystyle X}$ не має функції щільності ймовірності відносно міри Лебега. Зокрема, вона не працює, якщо розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ дискретний (тобто вся ймовірність пояснюється точковими масами), а навіть, якщо функція кумулятивного розподілу ${\displaystyle g}$ є неперервною, вона не працює, якщо ${\displaystyle g}$ не буде абсолютно неперервною (знову ж таки, функція Кантора може слугувати прикладом цього збою). Але тотожність

${\displaystyle E\left[|f(x)|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} g(x)}$

справедлива, якщо ${\displaystyle g}$  — будь-яка функція розподілу ймовірностей на дійсній прямій, незалежно як погано вона визначена. Зокрема, не важливо як поводить себе функція розподілу ймовірностей ${\displaystyle g}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$, якщо момент ${\displaystyle E(X^{n})}$ існує, то він дорівнює

${\displaystyle E\left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\mathrm {d} g(x)}$.

Узагальнення

Важливим узагальненням є інтеграл Лебега — Стілтьєса, який узагальнює інтеграл Рімана — Стілтьєса аналогічно тому, як інтеграл Лебега узагальнює інтеграл Рімана. Якщо існує невласний інтеграл Рімана — Стілтьєса, то інтеграл Лебега не є більш строго загальним, ніж інтеграл Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Рімана — Стілтьєса також узагальнюється на випадок, коли або підінтегральна функція ${\displaystyle f}$, або інтегратор ${\displaystyle g}$ визначені в просторі Банаха. Якщо ${\displaystyle g\colon [a,b]\rightarrow X}$ набуває значень в просторі Банаха ${\displaystyle X}$, то природно припустити, що вона є функцією строго обмеженої варіації, тобто

${\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty }$

супремум розглядається по всіх скінченних розбиттях

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}=b}$

інтервалу ${\displaystyle [a,b]}$. Це узагальнення відіграє важливу роль у вивченні ^[en] за допомогою ^[en].

інтеграл Іто розширює інтеграл Рімана — Стілтьєса, щоб охопити підінтегральну функцію та інтегратор, що є випадковими процесами, а не простими функціями; див. також теорію випадкових процесів.

Узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса

Невеликим узагальненням є розгляд у наведених розділах визначення розбиття ${\displaystyle P}$, що уточнює інше розбиття ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$, тобто ${\displaystyle P}$ виникає з ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$ шляхом додавання точок, а не розбиттів з меншим околом. Зокрема, узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції ${\displaystyle f}$ відносно ${\displaystyle g}$ є число ${\displaystyle A}$ таке, що для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке розбиття ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$, що для кожного розбиття ${\displaystyle P}$, яке покращує ${\displaystyle P_{\varepsilon }}$,

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon }$

для будь-якого набору точок ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$. Це узагальнення проявляє властивості інтегралу Рімана — Стілтьєса як границі Мура — Сміта на спрямованій множині розбиттів інтервалу ${\displaystyle [a,b]}$.

Суми Дарбу

Інтеграл Рімана — Стілтьєса може бути конструктивно введений за допомогою відповідного узагальнення сум Дарбу. Для розбиття ${\displaystyle P}$ і неспадної функції ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle [a,b]}$ верхня сума Дарбу функції ${\displaystyle f}$ відносно ${\displaystyle g}$ має вигляд

${\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}[g(x_{i})-g(x_{i-1})]\sup _{x\in [x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$,

а нижня

${\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}[g(x_{i})-g(x_{i-1})]\inf _{x\in [x_{i-1};x_{i}]}f(x)}$.

Тоді узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції ${\displaystyle f}$ відносно ${\displaystyle g}$ існує, тоді і лише тоді, коли для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке розбиття ${\displaystyle P}$, що

${\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .}$

Крім того, функції ${\displaystyle f}$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом відносно ${\displaystyle g}$ (у класичному розумінні), якщо

${\displaystyle \lim _{{\text{діаметр}}(P)\to 0}{\big [}U(P,f,g)-L(P,f,g){\big ]}=0.}$

Приклади та особливі випадки

Диференційовність ${\displaystyle g(x)}$

Нехай функція ${\displaystyle g(x)}$ є неперервно-диференційованою на ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$, тоді справедлива рівність

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\mathrm {d} x,}$

де інтеграл у правій частині є стандартним інтегралом Рімана, якщо вважати, що ${\displaystyle f}$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом.

У загальному випадку, інтеграл Рімана дорівнює інтегралу Рімана — Стілтьєса, якщо функція ${\displaystyle g}$  — інтеграл Лебега від її похідної; в цьому випадку кажуть, що ${\displaystyle g}$ є абсолютно неперервною функцією. Можливі випадки, що функція ${\displaystyle g}$ має точки розриву першого роду або має нульову похідну майже скрізь і при цьому є неперервною і зростаючою (наприклад ${\displaystyle g}$ може бути функцією Кантора), тоді в будь-якому з таких випадків інтеграл Рімана — Стілтьєса не можна представити через співвідношення, що включають похідні функції ${\displaystyle g}$.

Випрямляч

Розглянемо функцію ${\displaystyle g(x)=\max {(0,x)}}$, що використовується при вивченні нейронних мереж, і яку називають випрямлячем. Тоді інтеграл Рімана — Стілтьєса можна обчислити як

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm {d} x,}$

де інтеграл у правій частині  — це стандартний інтеграл Рімана.

Інтеграл Рімана

Стандартний інтеграл Рімана  — це особливий випадок інтеграла Рімана — Стілтьєса з ${\displaystyle g(x)=x}$.

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Ріса про інтегральне представлення
• Функція розподілу ймовірностей

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)