Ромб (грец. ρομβος) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Ромб | |
---|---|
Два ромби | |
Вид | чотирикутник, паралелограм, дельтоїд |
Ребра і вершини | 4 |
Символ Шлефлі | { } + { } |
Діаграма Коксетера | |
[en] | діедральна (D2), [2], (*22), порядок 4 |
Площа | (половина добутку діагоналей) |
[en] | прямокутник |
Властивості | опуклий, ізотоксальний |
Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають квадратом.
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
Етимологія
Слово «ромб» походить від грец. ῥόμβος (ромбос), що означає щось, що обертається, утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (рембо), що означає «обертаюся довкола». Слово використовувалося Евклідом і Архімедом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих конусів зі спільною основою.
Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є поздовжнім перетином того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.
Ознаки ромба
Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:
- Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = CD = AD
- Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
- Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:
∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC - Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
- Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO - Якщо в паралелограм можна вписати коло.
Властивості ромба
Кожен ромб має дві діагоналі, що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила конгруентних трикутників, можна довести, що ромб є симетричним відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:
- Це паралелограм, діагоналі якого розділяють внутрішній кут.
- Протилежні кути ромба рівні.
- Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
- Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
- Сторони ромба попарно паралельні.
- Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
- В будь-який ромб можна вписати коло.
- Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
- Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC2 + BD2 = 4AB2
Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,
- протилежні сторони паралельні;
- прилеглі кути є суміжними;
- дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
- будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
- сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей (правило паралелограма).
Отож, якщо позначити сторону як a, а діагоналі як d1 і d2, то для кожного ромба
Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це дельтоїд.
Сторона ромба
Формули визначення довжини сторони ромба
1. Формула сторони ромба через площу і висоту:
2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:
3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:
4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:
5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):
6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:
7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:
8. Формула сторони ромба через периметр:
Діагоналі ромба
Діагональ ромба — це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.
Ромб має дві діагоналі — більшу d1, та меншу — d2
Формули визначення довжини діагоналі ромба
1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)
2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)
3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:
4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:
5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:
6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:
7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:
8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:
Периметр ромба
Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.
Формула периметра ромба через сторону ромба:
Площа ромба
Площа ромба — це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.
Формули визначення площі ромба
1. Формула площі ромба через сторону і висоту:
2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:
3. Формула площі ромба через сторону і радіус:
4. Формула площі ромба через дві діагоналі:
5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:
6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):
Коло, вписане у ромб
Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.
Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб
1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:
2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:
3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:
4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:
5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:
6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:
7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:
Рівняння
Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (x, y), що задовільняють рівняння
Вершини знаходитимуться в точках і Це є особливим випадком супереліпса із експонентою 1.
Див. також
Примітки
- ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
- ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
- . Архів оригіналу за 2 квітня 2015. Процитовано 23 лютого 2018.
Посилання
- Ромб // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 174. — .
- Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Romb znachennya Romb grec rombos ce paralelogram u yakogo vsi storoni rivni RombDva rombiVidchotirikutnik paralelogram deltoyidRebra i vershini4Simvol Shlefli Diagrama Koksetera en diedralna D2 2 22 poryadok 4PloshaS p q 2 displaystyle S frac p cdot q 2 polovina dobutku diagonalej en pryamokutnikVlastivostiopuklij izotoksalnij Romb storoni yakogo utvoryuyut pryamij kut nazivayut kvadratom Diagonali romba peretinayutsya pid pryamim kutom Diagonali romba ye bisektrisami jogo kutiv EtimologiyaSlovo romb pohodit vid grec ῥombos rombos sho oznachaye shos sho obertayetsya utvorene svoyeyu chergoyu vid diyeslova ῥembw rembo sho oznachaye obertayusya dovkola Slovo vikoristovuvalosya Evklidom i Arhimedom yaki vikoristovuvali termin ob yemnij sucilnij romb dlya dvoh kruglih konusiv zi spilnoyu osnovoyu Ta ploska figura yaku mi sogodni nazivayemo rombom ye pozdovzhnim peretinom togo sucilnogo romba sho prohodit kriz vershini kozhnogo z dvoh konusiv Oznaki rombaParalelogram ABCD bude rombom yaksho vikonuyetsya hocha b odna z takih umov Dvi jogo sumizhni storoni rivni zvidsi viplivaye sho vsi storoni rivni AV VS CD AD Jogo diagonali peretinayutsya pid pryamim kutom AC BD Odna iz diagonalej bisektrisa dilit kuti navpil BAC CAD abo BDA BDC Yaksho vsi visoti rivni BN DL BM DK Yaksho diagonali dilyat paralelogram na chotiri rivni pryamokutni trikutniki D ABO D BCO D CDO D ADO Yaksho v paralelogram mozhna vpisati kolo Vlastivosti rombaKozhen romb maye dvi diagonali sho z yednuyut pari protilezhnih vershin i maye dvi pari paralelnih storin Vikoristovuyuchi pravila kongruentnih trikutnikiv mozhna dovesti sho romb ye simetrichnim vidnosno kozhnoyi z jogo diagonalej Zvidsi viplivaye sho romb maye taki vlastivosti Ce paralelogram diagonali yakogo rozdilyayut vnutrishnij kut Protilezhni kuti romba rivni Diagonali romba peretinayutsya pid pryamim kutom tochka peretinu ye seredinoyu kozhnoyi diagonali Diagonali romba ye bisektrisami kutiv z yakih voni provedeni Storoni romba poparno paralelni Tochka peretinu diagonalej nazivayetsya centrom simetriyi romba V bud yakij romb mozhna vpisati kolo Centrom kola vpisanogo v romb ye tochka peretinu jogo diagonalej Suma kvadrativ diagonalej dorivnyuye kvadratu storoni pomnozhenomu na chotiri AC2 BD2 4AB2 Odniyeyu z osnovnih vlastivostej ye te sho romb ce paralelogram vnaslidok chogo romb maye usi ti vlastivosti sho j paralelogram Napriklad protilezhni storoni paralelni prilegli kuti ye sumizhnimi dvi diagonali podilyayut odna odnu navpil bud yaka pryama sho prohodit cherez centr podilyaye ploshu navpil suma kvadrativ storin dorivnyuye sumi kvadrativ diagonalej pravilo paralelograma Otozh yaksho poznachiti storonu yak a a diagonali yak d1 i d2 to dlya kozhnogo romba 4 a 2 d 1 2 d 2 2 displaystyle displaystyle 4a 2 d 1 2 d 2 2 Ne kozhen paralelogram ye rombom ale kozhen paralelogram u yakogo diagonali ye perpendikulyarnimi ye rombom V zagalnomu vipadku bud yakij chotirikutnik z perpendikulyarnimi diagonalyami odna z yakih ye liniyeyu simetriyi ce deltoyid Storona rombaRomb Formuli viznachennya dovzhini storoni romba Romb 1 Formula storoni romba cherez ploshu i visotu a S h displaystyle a frac S h 2 Formula storoni romba cherez ploshu i sinus kuta a S sin a displaystyle a frac sqrt S sqrt sin alpha a S sin b displaystyle a frac sqrt S sqrt sin beta 3 Formula storoni romba cherez ploshu i radius vpisanogo kola a S 2 r displaystyle a frac S 2r 4 Formula storoni romba cherez dvi diagonali a d 1 2 d 2 2 2 displaystyle a frac sqrt d 1 2 d 2 2 2 5 Formula storoni romba cherez diagonal i kosinus gostrogo kuta cos a abo kosinus tupogo kuta cos b a d 1 2 2 cos a displaystyle a frac d 1 sqrt 2 2 cos alpha a d 2 2 2 cos b displaystyle a frac d 2 sqrt 2 2 cos beta 6 Formula storoni romba cherez bilshu diagonal i polovinnij kut a d 1 2 cos a 2 displaystyle a frac d 1 2 cos frac alpha 2 a d 1 2 sin b 2 displaystyle a frac d 1 2 sin frac beta 2 7 Formula storoni romba cherez malu diagonal i polovinnij kut a d 2 2 cos b 2 displaystyle a frac d 2 2 cos frac beta 2 a d 2 2 sin a 2 displaystyle a frac d 2 2 sin frac alpha 2 8 Formula storoni romba cherez perimetr a P 4 displaystyle a frac P 4 Diagonali rombaRomb Diagonal romba ce vidrizok sho z yednuye dvi vershini protilezhnih kutiv romba Romb maye dvi diagonali bilshu d1 ta menshu d2 Formuli viznachennya dovzhini diagonali romba Romb 1 Formuli bilshoyi diagonali romba cherez storonu i kosinus gostrogo kuta cosa abo kosinus tupogo kuta cosb d 1 a 2 2 cos a displaystyle d 1 a sqrt 2 2 cos alpha d 1 a 2 2 cos b displaystyle d 1 a sqrt 2 2 cos beta 2 Formuli menshoyi diagonali romba cherez storonu i kosinus gostrogo kuta cosa abo kosinus tupogo kuta cosb d 2 a 2 2 cos b displaystyle d 2 a sqrt 2 2 cos beta d 2 a 2 2 cos a displaystyle d 2 a sqrt 2 2 cos alpha 3 Formuli bilshoyi diagonali romba cherez storonu i polovinnij kut d 1 2 a cos a 2 displaystyle d 1 2a cdot cos alpha 2 d 1 2 a sin b 2 displaystyle d 1 2a cdot sin beta 2 4 Formuli menshoyi diagonali romba cherez storonu i polovinnij kut d 2 2 a sin a 2 displaystyle d 2 2a cdot sin alpha 2 d 2 2 a cos b 2 displaystyle d 2 2a cdot cos beta 2 5 Formuli diagonalej romba cherez storonu i drugu diagonal d 1 4 a 2 d 2 2 displaystyle d 1 sqrt 4a 2 d 2 2 d 2 4 a 2 d 1 2 displaystyle d 2 sqrt 4a 2 d 1 2 6 Formuli diagonalej cherez tangens gostrogo tga abo tupogo tgb kuta i drugu diagonal d 1 d 2 tan b 2 displaystyle d 1 d 2 cdot tan beta 2 d 2 d 1 tan a 2 displaystyle d 2 d 1 cdot tan alpha 2 7 Formuli diagonalej cherez ploshu i drugu diagonal d 1 2 S d 2 displaystyle d 1 frac 2S d 2 d 2 2 S d 1 displaystyle d 2 frac 2S d 1 8 Formuli diagonalej cherez sinus polovinnogo kuta i radius vpisanogo kola d 1 2 r sin a 2 displaystyle d 1 frac 2r sin alpha 2 d 2 2 r sin b 2 displaystyle d 2 frac 2r sin beta 2 Perimetr rombaPerimetrom romba nazivayetsya suma dovzhin vsih storin romba Formula perimetra romba cherez storonu romba P 4 a displaystyle P 4 cdot a Plosha rombaRomb Kozhen kut yakij vidmichenij chornoyu tochkoyu ye pryamim kutom Visota h ye perpendikulyarom mizh dvoma protilezhnimi storonami yaka dorivnyuye diametru vpisanogo kola Diagonali z dovzhinoyu vidmichenimi chervonimi punktirnimi vidrizkami Plosha romba ce prostir obmezhenij storonami romba tobto v mezhah perimetra romba Formuli viznachennya ploshi romba 1 Formula ploshi romba cherez storonu i visotu S a h displaystyle S a cdot h 2 Formula ploshi romba cherez storonu i sinus bud yakogo kuta S a 2 sin a a 2 sin b displaystyle S a 2 cdot sin alpha a 2 cdot sin beta 3 Formula ploshi romba cherez storonu i radius S 2 a r displaystyle S 2a cdot r 4 Formula ploshi romba cherez dvi diagonali S d 1 d 2 2 displaystyle S frac d 1 cdot d 2 2 5 Formula ploshi romba cherez sinus kuta i radius vpisanogo kola S 4 r 2 sin a displaystyle S frac 4 cdot r 2 sin alpha 6 Formuli ploshi cherez bilshu diagonal i tangens gostrogo kuta tga abo malu diagonal i tangens tupogo kuta tgb S 1 2 d 1 2 tan a 2 displaystyle S frac 1 2 d 1 2 cdot tan frac alpha 2 S 1 2 d 2 2 tan b 2 displaystyle S frac 1 2 d 2 2 cdot tan frac beta 2 Kolo vpisane u rombKolo vpisane u romb Kolom vpisanim u romb nazivayetsya kolo sho dotikayetsya do vsih storin romba ta maye centr na peretini diagonalej romba Formuli viznachennya radiusa kola vpisanogo v romb 1 Formula radiusa kola vpisanogo v romb cherez visotu romba r h 2 displaystyle r frac h 2 2 Formula radiusa kola vpisanogo v romb cherez ploshu ta storonu romba r S 2 a displaystyle r frac S 2a 3 Formula radiusa kola vpisanogo v romb cherez ploshu ta sinus kuta r S sin a 2 displaystyle r frac sqrt S cdot sin alpha 2 4 Formuli radiusa kola vpisanogo v romb cherez storonu i sinus bud yakogo kuta r a sin a 2 displaystyle r frac a cdot sin alpha 2 r a sin b 2 displaystyle r frac a cdot sin beta 2 5 Formuli radiusa kola vpisanogo v romb cherez diagonal ta sinus kuta r d 1 sin a 2 2 displaystyle r frac d 1 cdot sin alpha 2 2 r d 2 sin b 2 2 displaystyle r frac d 2 cdot sin beta 2 2 6 Formula radiusa kola vpisanogo v romb cherez dvi diagonali r d 1 d 2 2 d 1 2 d 2 2 displaystyle r frac d 1 cdot d 2 2 sqrt d 1 2 d 2 2 7 Formula radiusa kola vpisanogo v romb cherez dvi diagonali ta storonu r d 1 d 2 4 a displaystyle r frac d 1 cdot d 2 4a RivnyannyaStoroni romba centr yakogo sumisheno z centrom koordinat iz diagonalyami sho roztashovani na osyah budut skladatisya iz tochok x y sho zadovilnyayut rivnyannya x a y b 1 displaystyle left frac x a right left frac y b right 1 Vershini znahoditimutsya v tochkah a 0 displaystyle pm a 0 i 0 b displaystyle 0 pm b Ce ye osoblivim vipadkom superelipsa iz eksponentoyu 1 Div takozhRomboyid Pryamokutnij deltoyidPrimitkiῥombos Henry George Liddell Robert Scott A Greek English Lexicon on Perseus rembw Henry George Liddell Robert Scott A Greek English Lexicon on Perseus Arhiv originalu za 2 kvitnya 2015 Procitovano 23 lyutogo 2018 PosilannyaRomb Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 174 ISBN 978 966 7407 83 4 Romb Formuli oznaki ta vlastivosti romba