Фо́рмула Га́усса — Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гаусса в цій області та кривої, яка обмежує область.
Формулювання
Нехай — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид із гладкою межею . Позначимо через гаусову кривину та через геодезичну кривину . Тоді
де — ейлерова характеристика .
Зокрема, якщо у межа відсутня, отримуємо спрощений вираз
Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гаусса — Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.
Пояснення позначень
Топологія областей інтегрування
Область обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:
Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах.
Кожна з цих компонент в свою чергу може бути топологічно складною.
Зокрема область може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:
В інших випадках межа області може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):
В цих випадках інтеграл по межі також розбивається на суму інтегралів по .
Кривини
Буквою під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гаусса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:
Геодезична кривина кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора , і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області .
Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора по натуральному параметру кривої:
Нормаль до вектора можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора , а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):
Коефіцієнт в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).
Злами на контурах
В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур . Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю ).
Якщо в точці зламу дотичний вектор розвертається на кут в сторону області (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:
В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі .
Для виводу формули (8) область , яка має злами на межі, треба апроксимувати областю , яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.
Ейлерова характеристика
Обмежену двовимірну область можна розбити лініями на кілька менших підобластей , гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою (вершини графу), кількість дуг буквою (ребра графу), а кількість підобластей буквою (грані), то наступне ціле число:
не залежить від способу розбивки області і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті можна знайти карту (систему координат ), яка відображає область Евклідової площини в .
Три етапи доведення теореми Гаусса — Бонне
На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.
Перший етап доведення
Обчислення характеристики Ейлера
Обчислимо характеристику Ейлера для простої області . Межа цієї області є контуром , гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки і , які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область , тому за формулою (9) маємо:
і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:
Вектори на контурі
Візьмемо точку на контурі . Позначимо буквою вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області . При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор та одиничний антисиметричний тензор :
При обході контуру, очевидно, вектори і повернуться на кут і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.
Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо . Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними.
Нехай вектори і збігаються з векторами і в початковій точці , але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут . Ці два вектора утворюють ортонормований базис:
Розкладемо одиничний дотичний вектор за базисом :
де — кут, на який повернутий вектор відносно вектора . На початку обходу .
В кінці обходу вектор повернеться на кут , а вектор на кут , тому:
Повороти векторів на контурі і геодезична кривина
Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:
тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:
Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:
Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:
Застосування формули Остроградського — Гаусса
В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області , а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі області , який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського — Гаусса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області та на її межі .
Вибір допоміжного векторного поля
Оскільки на контурі нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області :
Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле досить довільне.
Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:
Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру
На контурі розкладемо одиничний вектор по базису :
Тут вектори і ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру.
Кут між векторами є функцією від натурального параметра на контурі :
Оскільки при обході контуру вектор не змінює напрямку, а вектор повертається на кут то:
Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо .
Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої :
Тензорний диференціал вектора можна записати через коваріантну похідну:
Права ж частина формули (29) виражається через вектор:
який є одиничним вектором, повернутим на кут щодо вектора .
Одержання контурного інтеграла
Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:
в якому нас цікавить скалярна функція .
Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор і візьмемо інтеграл:
Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру.
Для застосування формули Остроградського — Гаусса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це ).
Фактичне застосування формули Остроградського — Гаусса
Домножимо рівняння (12) на , після цього знайдемо дотичний вектор :
і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:
Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором :
який підставляємо в рівняння (33):
Інтеграл являє собою потік вектора всередину контуру , враховуючи наш вибір напрямку нормалі . Застосовуючи формулу Остроградського — Гаусса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:
Завершення обчислень
Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:
Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:
Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника . Оскільки тензор антисиметричний, то:
Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гаусса K:
Тому вираз (41) спрощується:
а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гауссовій кривині:
Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.
Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):
Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:
в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.
Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора слідує:
Оскільки вектор також ортогональний до то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими :
Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:
вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.
Формулу (11) доведено.
Другий етап доведення
Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу в кожен криволінійний кут (див. малюнок).
Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гаусса — Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу в точку зламу .
Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику
Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гауссова кривина обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл
зберігає свій вигляд, просто область може мати злами на контурі.
З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі , згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках і :
При граничному переході ця величина прямує до кута між двома дотичними векторами в точці зламу :
а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах і прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.
Із формули (54) слідує формула (8) при , що і треба було довести.
Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на мн оговиді в околі точки , що метричний тензор в точці записується одиничною матрицею , а символи Крістофеля в цій точці дорівнюють нулю.
Дану систему координат можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.
Позначимо елемент довжини кривої на карті:
а буквою з тильдою — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:
Крапками позначено похідні по параметру .
Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі , один з яких береться по многовиду, а другий по карті:
але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі є постійний, а також, що дуга не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.
Дійсно, множник
прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат.
Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):
Третій етап доведення
Розіб'ємо топологічно складну область на скінченну кількість простих підобластей , до кожної з яких можна застосувати формулу (58).
Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)
де позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей ). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графу гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графу.
Зручно розглядати внутрішні кути при всіх вершинах графу. Тут перший індекс () нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі області .
Другий індекс () нумерує кути при вершині .
Злам при вершині є доповненням до внутрішнього кута:
і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей :
Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59).
Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області :
В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра , які лежать на межі, від внутрішніх.
Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проєкції геодезичної кривини будуть протилежними:
A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:
Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:
де — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.
Для вершини на межі області маємо:
де також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині , а позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку .
Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:
і ми можемо записати для третього доданка:
Очевидно, що межа складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі кількість вершин і кількість ребер однакова. Маємо:
Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:
що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.
Історія
Окремий випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гауссом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик , який узагальнив формулу на випадок диска, обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Fo rmula Ga ussa Bonne pov yazuye Ejlerovu harakteristiku oblasti dvovimirnogo mnogovida z krivinoyu Gaussa v cij oblasti ta krivoyi yaka obmezhuye oblast FormulyuvannyaNehaj W displaystyle Omega kompaktnij dvovimirnij oriyentovanij rimaniv mnogovid iz gladkoyu mezheyu W displaystyle partial Omega Poznachimo cherez K displaystyle K gausovu krivinu W displaystyle Omega ta cherez k g displaystyle k g geodezichnu krivinu W displaystyle partial Omega Todi 1 W K d s L k g d s 2 p x W displaystyle 1 qquad iint Omega Kd sigma oint L k g ds 2 pi chi Omega de x W displaystyle chi Omega ejlerova harakteristika W displaystyle Omega Zokrema yaksho u W displaystyle Omega mezha vidsutnya otrimuyemo sproshenij viraz W K d s 2 p x W displaystyle int limits Omega K d sigma 2 pi chi Omega Yaksho poverhnya deformuyetsya to yiyi ejlerova harakteristika ne zminyuyetsya v toj chas yak gausova krivina mozhe zminyuvatisya v kozhnij tochci Prote zgidno z formuloyu Gaussa Bonne integral gausovoyi krivini zalishayetsya ne zminnim Poyasnennya poznachenTopologiya oblastej integruvannya Oblast W displaystyle Omega obmezhena Ale vona mozhe buti dovoli skladnoyu mati odnu abo kilka komponent zv yaznosti 2 W W 1 W 2 displaystyle 2 qquad Omega Omega 1 Omega 2 dots Ochevidno sho pri comu pershij integral v formuli 1 rozbivayetsya na sumu integraliv po komponentah Kozhna z cih komponent W i displaystyle Omega i v svoyu chergu mozhe buti topologichno skladnoyu Zokrema oblast W displaystyle Omega mozhe povnistyu pokrivati zamknutij mnogovid napriklad sferu tor i ne mati mezhi zovsim todi drugogo integrala v formuli 1 ne bude 3 W K d s 2 p x W displaystyle 3 qquad iint Omega Kd sigma 2 pi chi Omega V inshih vipadkah mezha L i displaystyle L i oblasti W i displaystyle Omega i mozhe skladatisya z odnogo konturu napriklad yaksho oblast gomeomorfna krugu abo bilshoyi kilkosti konturiv L i j displaystyle L ij napriklad yaksho oblast ye kilcem mizh dvoma koncentrichnimi kolami 4 L i j L i j displaystyle 4 qquad L i sum j L ij V cih vipadkah integral po mezhi L displaystyle L takozh rozbivayetsya na sumu integraliv po L i j displaystyle L ij Krivini Bukvoyu K displaystyle K pid pershim integralom 1 poznacheno krivinoyu Gaussa drugogo stepenya yaka dlya dvovimirnogo mnogovida dorivnyuye polovini skalyarnoyi krivini 5 K K 2 R 2 displaystyle 5 qquad K K 2 R over 2 Geodezichna krivina k g displaystyle mathbf k g krivoyi vzagali kazhuchi ye vektorom ortogonalnim do odinichnogo dotichnogo vektora t d r d s displaystyle boldsymbol tau d mathbf r over ds i yakij lezhit u mnogovidi Ale v formuli 1 cherez k g displaystyle k g poznacheno skalyarnu velichinu proyekciyu vektora geodezichnoyi krivini na napryam normali napryamlenoyi vseredinu oblasti W displaystyle Omega Zapishemo visheskazane matematichno Komponenti vektora geodezichnoyi krivini obchislyuyutsya cherez tenzornu pohidnu odinichnogo dotichnogo vektora t i displaystyle tau i po naturalnomu parametru krivoyi 6 k g i D t i D s d t i d s G j k i t j t k displaystyle 6 qquad k g i D tau i over Ds d tau i over ds Gamma jk i tau j tau k Normal do vektora t i displaystyle tau i mozhna utvoriti diyeyu odinichnogo antisimetrichnogo tenzora e i j displaystyle varepsilon ij a tomu pri nalezhnomu vibori napryamku obhodu konturu 7 k g i k g e i j t j displaystyle 7 qquad k g i k g varepsilon ij tau j Koeficiyent k g displaystyle k g v pravij chastini formuli 7 toj samij yakij stoyit pid drugim integralom v formuli 1 Zlami na konturah V poperednomu pidpunkti mi rozglyadali gladkij kontur L displaystyle L Ale nevazhko vikoristovuyuchi granichnij perehid uzagalniti formulu 1 dlya kuskovo gladkoyi mezhi yaka skladayetsya z gladkih dug sho shodyatsya pid deyakim kutom mizh soboyu divitsya napriklad stattyu Yaksho v tochci zlamu P i displaystyle P i dotichnij vektor t displaystyle boldsymbol tau rozvertayetsya na kut ϕ i displaystyle phi i v storonu oblasti W displaystyle Omega mozhe buti dodatne chi vid yemne chislo to formula 1 uzagalnyuyetsya do takoyi 8 W K d s L k g d s i ϕ i 2 p x W displaystyle 8 qquad iint Omega Kd sigma oint L k g ds sum i phi i 2 pi chi Omega V cij formuli drugij integral beretsya po gladkih dilyankah dug mezhi L displaystyle L Dlya vivodu formuli 8 oblast W displaystyle Omega yaka maye zlami na mezhi treba aproksimuvati oblastyu W displaystyle tilde Omega yaka maye zgladzheni kuti Potim radius zakruglennya na kutah spryamovuyemo do nulya Ejlerova harakteristika Obmezhenu dvovimirnu oblast W displaystyle Omega mozhna rozbiti liniyami na kilka menshih pidoblastej W 1 W 2 displaystyle Omega 1 Omega 2 dots gomeomorfnih krugu Liniyi v svoyu chergu mozhna podiliti tochkami na dugi gomeomorfni vidrizku Yaksho poznachiti kilkist tochok bukvoyu B displaystyle B vershini grafu kilkist dug bukvoyu P displaystyle P rebra grafu a kilkist pidoblastej bukvoyu G displaystyle Gamma grani to nastupne cile chislo 9 x B P G displaystyle 9 qquad chi B P Gamma ne zalezhit vid sposobu rozbivki oblasti W displaystyle Omega i nazivayetsya harakteristikoyu Ejlera Dlya kozhnoyi pidoblasti W k displaystyle Omega k mozhna znajti kartu sistemu koordinat u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 yaka vidobrazhaye oblast Evklidovoyi ploshini v W k displaystyle Omega k Tri etapi dovedennya teoremi Gaussa BonneNa pershomu etapi dovodimo teoremu dlya prostoyi oblasti gomeomorfnoyi krugu z gladkoyu graniceyu Na drugomu etapi granichnim perehodom poshiryuyemo teoremu na prostu oblast z kutami Na tretomu topologichnomu etapi ob yednuyemo ta skleyuyemo prosti oblasti v dovilnu oblast i pokazuyemo sho pri operaciyah ob yednannya ta sklejki formula 1 zalishayetsya spravedlivoyu Pershij etap dovedennyaObchislennya harakteristiki Ejlera Obchislimo harakteristiku Ejlera dlya prostoyi oblasti W displaystyle Omega Mezha ciyeyi oblasti ye konturom L displaystyle L gomeomorfnim kolu Postavimo na comu konturi dvi tochki P displaystyle P i Q displaystyle Q yaki rozbivayut nash kontur na dvi dugi gomeomorfni vidrizku Mayemo dvi vershini dva rebra i odnu gran samu oblast W displaystyle Omega tomu za formuloyu 9 mayemo 10 x B P G 2 2 1 1 displaystyle 10 qquad chi B P Gamma 2 2 1 1 i nam treba dovesti nastupnu formulu dlya cogo vipadku 11 W K d s L k g d s 2 p displaystyle 11 qquad iint Omega Kd sigma oint L k g ds 2 pi Vektori na konturi Paralelnij obhid kontura vektorom v Vizmemo tochku P displaystyle P na konturi L displaystyle L Poznachimo bukvoyu n displaystyle mathbf n vektor normali do konturu napryamlenij vseredinu oblasti W displaystyle Omega Pri nalezhnomu vibori napryamku obhodu konturu komponenti cogo vektora virazhayutsya cherez dotichnij vektor t i displaystyle tau i ta odinichnij antisimetrichnij tenzor e i j displaystyle varepsilon ij 12 n i e i j t j displaystyle 12 qquad n i varepsilon ij tau j Pri obhodi konturu ochevidno vektori n displaystyle mathbf n i t displaystyle boldsymbol tau povernutsya na kut 2 p displaystyle 2 pi i zbizhatsya z pochatkovimi znachennyami cih vektoriv Shob prostezhiti yak zdijsnyuyetsya cej povorot rozglyanemo Yak vidomo pri paralelnomu perenesenni dvoh vektoriv zberigayutsya dovzhini vektoriv i kut mizh nimi Nehaj vektori v displaystyle mathbf v i w displaystyle mathbf w zbigayutsya z vektorami t displaystyle boldsymbol tau i n displaystyle mathbf n v pochatkovij tochci P displaystyle P ale potim pri obhodi konturu perenosyatsya paralelno i pislya obhodu viyavlyayutsya povernutimi na deyakij kut D a displaystyle Delta alpha Ci dva vektora utvoryuyut ortonormovanij bazis 13 v 2 w 2 1 v w 0 displaystyle 13 qquad mathbf v 2 mathbf w 2 1 qquad mathbf v cdot mathbf w 0 14 w i e i j v j displaystyle 14 qquad w i varepsilon ij v j Rozklademo odinichnij dotichnij vektor t displaystyle boldsymbol tau za bazisom v w displaystyle mathbf v mathbf w 15 t v cos f w sin f displaystyle 15 qquad boldsymbol tau mathbf v cos varphi mathbf w sin varphi de f displaystyle varphi kut na yakij povernutij vektor t displaystyle boldsymbol tau vidnosno vektora v displaystyle mathbf v Na pochatku obhodu f f 0 0 displaystyle varphi varphi 0 0 V kinci obhodu vektor t displaystyle boldsymbol tau povernetsya na kut 2 p displaystyle 2 pi a vektor v displaystyle mathbf v na kut D a displaystyle Delta alpha tomu 16 f 1 2 p D a displaystyle 16 qquad varphi 1 2 pi Delta alpha Povoroti vektoriv na konturi i geodezichna krivina Mayemo taki tenzorni diferenciali vektoriv vzdovzh konturu 17 D t i d t i G j k i t j d u k k g i d s displaystyle 17 qquad D tau i d tau i Gamma jk i tau j du k k g i ds 18 D v i d v i G j k i v j d u k 0 displaystyle 18 qquad Dv i dv i Gamma jk i v j du k 0 19 D w i d w i G j k i w j d u k 0 displaystyle 19 qquad Dw i dw i Gamma jk i w j du k 0 tomu pri diferenciyuvanni rivnosti 15 oderzhuyemo 20 k g i d s v i sin f d f w i cos f d f displaystyle 20 qquad k g i ds v i sin varphi d varphi w i cos varphi d varphi e i j w j sin f v j cos f d f e i j t j d f displaystyle varepsilon ij w j sin varphi v j cos varphi d varphi varepsilon ij tau j d varphi Porivnyuyuchi formuli 20 i 7 znahodimo 21 k g d s d f displaystyle 21 qquad k g ds d varphi 22 L k g d s f 0 f 1 d f 2 p D a displaystyle 22 qquad oint L k g ds int varphi 0 varphi 1 d varphi 2 pi Delta alpha Porivnyuyuchi formuli 22 i 11 oderzhuyemo taku formulu yaku nam lishayetsya dovesti 23 W K d s D a displaystyle 23 qquad iint Omega Kd sigma Delta alpha Zastosuvannya formuli Ostrogradskogo Gaussa V livij chastini formuli 23 stoyit integral po dvovimirnij oblasti W displaystyle Omega a v pravij povorot vektora pri paralelnomu perenesenni dovkola mezhi L displaystyle L oblasti W displaystyle Omega yakij prirodno bude viraziti cherez konturnij integral Ci dva integrala integral po dvovimirnij oblasti i integral po mezhi ciyeyi oblasti mozhna pov yazati cherez zastosuvannya formuli Ostrogradskogo Gaussa Ale dlya cogo nam znadobitsya dopomizhne vektorne pole yake viznachene i diferencijovne skriz vseredini oblasti W displaystyle Omega ta na yiyi mezhi L displaystyle L Vibir dopomizhnogo vektornogo polya Oskilki na konturi L displaystyle L nas mozhut cikaviti lishe kuti mizh vektorami a ne yihni dovzhini to docilno vibrati dopomizhne vektorne pole a displaystyle mathbf a odinichnoyi dovzhini prichomu ne lishe na konturi a i skriz vseredini oblasti W displaystyle Omega 24 a 2 g i j a i a j g 11 a 1 2 2 g 12 a 1 a 2 g 22 a 2 2 1 displaystyle 24 qquad mathbf a 2 g ij a i a j g 11 a 1 2 2g 12 a 1 a 2 g 22 a 2 2 1 Ochevidno sho umova 24 razom z neperervnistyu polya a displaystyle mathbf a nakladaye deyaki obmezhennya ce pole ne mozhe mati vseredini W displaystyle Omega tochok zavihrennya abo tochok iz yakih vektori rozhodyatsya abo navpaki shodyatsya v rizni boki V usomu inshomu pole a displaystyle mathbf a dosit dovilne Napriklad hoch i neobov yazkovo mozhna vzyati vektor napryamlenij vzdovzh odnogo z koordinatnih vektoriv Kovariantni koordinati cogo vektora 25 a 1 1 g 11 a 2 0 displaystyle 25 qquad a 1 1 over sqrt g 11 qquad a 2 0 Obchislennya povorotu vektora pri paralelnomu perenesenni po konturu Vektor a vseredini kontura Na konturi L displaystyle L rozklademo odinichnij vektor a displaystyle mathbf a po bazisu v w displaystyle mathbf v mathbf w 26 a i v i cos a w i sin a displaystyle 26 qquad a i v i cos alpha w i sin alpha Tut vektori v displaystyle mathbf v i w displaystyle mathbf w ti zh sami sho i ranishe v cij statti zdijsnyuyut paralelnij obhid konturu Kut a displaystyle alpha mizh vektorami v a displaystyle widehat mathbf v mathbf a ye funkciyeyu vid naturalnogo parametra s displaystyle s na konturi L displaystyle L 27 a a s a 0 a 0 a s max a 1 displaystyle 27 qquad alpha alpha s qquad alpha 0 alpha 0 alpha s text max alpha 1 Oskilki pri obhodi konturu vektor a displaystyle mathbf a ne zminyuye napryamku a vektor v displaystyle mathbf v povertayetsya na kut D a displaystyle Delta alpha to 28 D a a 1 a 0 displaystyle 28 qquad Delta alpha alpha 1 alpha 0 Znak minus v cij formuli vinik vnaslidok togo sho povertayetsya sam bazis vidnosno yakogo mi miryayemo a displaystyle alpha Prodiferenciyuyemo formulu 26 vzdovzh krivoyi L displaystyle L 29 D a i v i sin a w i cos a d a displaystyle 29 qquad Da i v i sin alpha w i cos alpha d alpha Tenzornij diferencial vektora a displaystyle mathbf a mozhna zapisati cherez kovariantnu pohidnu 30 D a i d a i G j k i a j d u k k a i G j k i a j d u k k a i t k d s displaystyle 30 qquad Da i da i Gamma jk i a j du k left partial k a i Gamma jk i a j right du k nabla k a i tau k ds Prava zh chastina formuli 29 virazhayetsya cherez vektor 31 b i e i j a j e i j v j cos a w j sin a w i cos a v i sin a displaystyle 31 qquad b i varepsilon ij a j varepsilon ij left v j cos alpha w j sin alpha right w i cos alpha v i sin alpha yakij ye odinichnim vektorom povernutim na kut p 2 displaystyle pi over 2 shodo vektora a displaystyle mathbf a Oderzhannya konturnogo integrala Pidstavivshi 30 i 31 v formulu 29 mi oderzhimo vektorne rivnyannya 32 k a i t k d s b i d a displaystyle 32 qquad nabla k a i tau k ds b i d alpha v yakomu nas cikavit skalyarna funkciya a a s displaystyle alpha alpha s Pomnozhimo 32 skalyarno na odinichnij vektor b i displaystyle b i i vizmemo integral 33 0 s max b i k a i t k d s 0 s max d a a 1 a 0 D a displaystyle 33 qquad int 0 s text max b i nabla k a i tau k ds int 0 s text max d alpha alpha 1 alpha 0 Delta alpha Integral v livij chastini ciyeyi rivnosti faktichno ye integralom po konturu Dlya zastosuvannya formuli Ostrogradskogo Gaussa nam potribno shob pidintegralnij viraz buv skalyarnim dobutkom deyakogo vektora q displaystyle mathbf q na vektor zovnishnoyi normali v nashih starih poznachennyah ce n i e i j t j displaystyle n i varepsilon ij tau j Faktichne zastosuvannya formuli Ostrogradskogo Gaussa Domnozhimo rivnyannya 12 na e i k displaystyle varepsilon ik pislya cogo znajdemo dotichnij vektor t k displaystyle tau k 34 e i k n i e i k e i j t j d j k t j t k displaystyle 34 qquad varepsilon ik n i left varepsilon ik varepsilon ij right tau j delta j k tau j tau k i pidstaviti jogo v pidintegralnij viraz formuli 33 odnochasno perejmenovuyuchi indeksi 35 b i k a i t k e i k b l k a l n i displaystyle 35 qquad b i nabla k a i tau k left varepsilon ik b l nabla k a l right n i Viraz u duzhkah v pravij chastini cogo rivnyannya i bude tim vektorom q displaystyle mathbf q 36 q i e i k b l k a l displaystyle 36 qquad q i varepsilon ik b l nabla k a l yakij pidstavlyayemo v rivnyannya 33 37 L q n d s D a displaystyle 37 qquad oint L mathbf q cdot mathbf n ds Delta alpha Integral yavlyaye soboyu potik vektora q displaystyle mathbf q vseredinu konturu L displaystyle L vrahovuyuchi nash vibir napryamku normali n displaystyle mathbf n Zastosovuyuchi formulu Ostrogradskogo Gaussa i vrahovuyuchi znak mayemo integral vid divergenciyi 38 W q d s D a displaystyle 38 qquad iint Omega boldsymbol nabla cdot mathbf q d sigma Delta alpha Zavershennya obchislen Porivnyuyuchi formuli 38 i 23 mi bachimo sho dlya zavershennya pershogo etapu nam dosit pereviriti rivnist pidintegralnih viraziv cih formul 39 K q i q i displaystyle 39 qquad K boldsymbol nabla cdot mathbf q nabla i q i Divergenciya vektora 36 rozkladayetsya na dva dodanka 40 j q j j e j k b i k a i e j k j b i k a i b i e j k j k a i displaystyle 40 qquad nabla j q j nabla j left varepsilon jk b i nabla k a i right varepsilon jk left nabla j b i right left nabla k a i right b i varepsilon jk nabla j nabla k a i Rozpochnemo z drugogo dodanku a she krashe z chastini cogo dodanku okrim mnozhnika b i displaystyle b i Oskilki tenzor e j k displaystyle varepsilon jk antisimetrichnij to 41 e j k j k a i 1 2 e j k j k k j a i 1 2 e j k R s j k i a s 1 2 e j k R j k i s a s displaystyle 41 qquad varepsilon jk nabla j nabla k a i 1 over 2 varepsilon jk left nabla j nabla k nabla k nabla j right a i 1 over 2 varepsilon jk R sjk i a s 1 over 2 varepsilon jk R jk is a s Tenzor Rimana dlya dvovimirnogo mnogovida mozhna viraziti cherez krivinu Gaussa K 42 R j k i s K d j i d k s d k i d j s displaystyle 42 qquad R jk is K left delta j i delta k s delta k i delta j s right Tomu viraz 41 sproshuyetsya 43 e j k j k a i K 2 e j k d j i d k s d k i d j s a s K 2 2 e i s a s K b i displaystyle 43 qquad varepsilon jk nabla j nabla k a i K over 2 varepsilon jk left delta j i delta k s delta k i delta j s right a s K over 2 2 varepsilon is a s Kb i a otzhe drugij dodanok formuli 40 prosto dorivnyuye Gaussovij krivini 44 b i e j k j k a i K b i b i K displaystyle 44 qquad b i varepsilon jk nabla j nabla k a i Kb i b i K Zalishayetsya pokazati sho pershij dodanok formuli 40 dorivnyuye nulyu 45 e j k j b i k a i 0 displaystyle 45 qquad varepsilon jk left nabla j b i right left nabla k a i right 0 Ce pryamo sliduye z togo faktu sho pohidni odinichnogo dvovimirnogo vektora faktorizuyutsya rozkladayutsya na mnozhniki 46 j b i l j a i k a i m k b i displaystyle 46 qquad nabla j b i lambda j a i qquad nabla k a i mu k b i Dijsno pidstavlyayuchi 46 v 45 oderzhimo viraz 47 e j k l j m k a i b i displaystyle 47 qquad left varepsilon jk lambda j mu k right left a i b i right v yakomu skalyarnij dobutok vektoriv v drugih duzhkah dorivnyuye nulyu Nareshti pokazhemo spravedlivist rozkladu 46 Iz odinichnosti vektora a displaystyle mathbf a sliduye 48 a i k a i g i j a j k a i 1 2 k g i j a j a i 1 2 k 1 0 displaystyle 48 qquad a i nabla k a i g ij a j nabla k a i 1 over 2 nabla k left g ij a j a i right 1 over 2 nabla k 1 0 Oskilki vektor b displaystyle mathbf b takozh ortogonalnij do a displaystyle mathbf a to mayemo nastupnu odnoridnu sistemu dvoh linijnih rivnyan z dvoma nevidomimi a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 49 k a 1 a 1 k a 2 a 2 0 b 1 a 1 b 2 a 2 0 displaystyle 49 qquad begin cases nabla k a 1 a 1 nabla k a 2 a 2 0 b 1 a 1 b 2 a 2 0 end cases Cya sistema maye nenulovij rozv yazok tomu matricya yiyi koeficiyentiv 50 k a 1 k a 2 b 1 b 2 displaystyle 50 qquad begin bmatrix nabla k a 1 amp nabla k a 2 b 1 amp b 2 end bmatrix virodzhena i ryadki ciyeyi matrici proporcijni Tobto mi mayemo druge rivnyannya 46 Pershe rivnyannya oderzhuyetsya analogichno Formulu 11 dovedeno Drugij etap dovedennyaRozglyanemo prostu oblast z kuskovo gladkoyu mezheyu Mi mozhemo zgladiti vsi kuti vpisuyuchi gladku dugu A B displaystyle AB v kozhen krivolinijnij kut P displaystyle P div malyunok Zakruglennya krivolinijnogo kuta Oderzhuyemo oblast z gladkoyu mezheyu do yakoyi mozhna zastosuvati teoremu Gaussa Bonne dovedenu na pershomu etapi Sprobuyemo zdijsniti granichnij perehid formuli 11 styaguyuchi dugu A B displaystyle AB v tochku zlamu P displaystyle P Pershij integral formuli 11 dlya zgladzhenoyi i nezgladzhenoyi krivih vidriznyayetsya na velichinu integrala po krivolinijnomu trikutniku A B P displaystyle ABP 51 A B P K d s displaystyle 51 qquad iint triangle ABP Kd sigma Oskilki plosha cogo trikutnika pryamuye do nulya a Gaussova krivina K displaystyle K obmezhena to i velichina 51 pryamuye do nulya Otzhe pri granichnomu perehodi pershij integral 52 W K d s displaystyle 52 qquad iint Omega Kd sigma zberigaye svij viglyad prosto oblast W displaystyle Omega mozhe mati zlami na konturi Z drugim konturnim integralom skladnishe Rozglyanemo spochatku vipadok ploskogo mnogovida evklidovu ploshinu V comu razi paralelne perenesennya ne zalezhit vid shlyahu i tomu mozhna govoriti pro kut mizh vektorami sho znahodyatsya v riznih tochkah Integruvannya geodezichnoyi krivini po duzi A B displaystyle AB zgidno z formuloyu 22 daye kut mizh dotichnimi v tochkah A displaystyle A i B displaystyle B 53 A B k g d s ϕ A ϕ B displaystyle 53 qquad int smile AB k g ds phi A phi B Pri granichnomu perehodi cya velichina pryamuye do kuta ϕ displaystyle phi mizh dvoma dotichnimi vektorami v tochci zlamu P displaystyle P 54 A B k g d s ϕ displaystyle 54 qquad qquad int smile AB k g ds to phi a integrali po vikinutih pri zgladzhuvanni dugah A P displaystyle AP i P B displaystyle PB pryamuyut do nulya oskilki geodezichna krivina cih dug zalishayetsya obmezhenoyu a yihnya dovzhina zmenshuyetsya do nulya Iz formuli 54 sliduye formula 8 pri x W 1 displaystyle chi Omega 1 sho i treba bulo dovesti Nam she zalishayetsya dovesti sho formula 54 maye misce i v zagalnomu vipadku vikrivlenogo mnogovida Viberemo sistemu koordinat na mn ogovidi v okoli tochki P displaystyle P sho metrichnij tenzor g i j displaystyle g ij v tochci P displaystyle P zapisuyetsya odinichnoyu matriceyu d i j displaystyle delta ij a simvoli Kristofelya G i j s displaystyle Gamma ij s v cij tochci dorivnyuyut nulyu Danu sistemu koordinat u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 mozhna rozglyadati yak difeomorfne vidobrazhennya mizh oblastyu mnogovidu ta oblastyu ploshini kartoyu v yakij cya sistema koordinat ye dekartovoyu Poznachimo d t displaystyle dt element dovzhini krivoyi na karti d t u 1 2 u 2 2 displaystyle qquad dt sqrt u 1 2 u 2 2 a bukvoyu z tildoyu k g displaystyle tilde k g geodezichnu krivinu krivoyi na karti Todi 55 k g e i j t i k j e i j d u i d s d 2 u j d s 2 G k l j d u k d s d u l d s displaystyle 55 qquad k g varepsilon ij tau i k j varepsilon ij du i over ds left d 2 u j over ds 2 Gamma kl j du k over ds du l over ds right 56 k g d t e i j u i u j d t displaystyle 56 qquad tilde k g dt hat varepsilon ij dot u i ddot u j dt 57 k g d s g s 2 e i j u i u j G k l j u k u l d t displaystyle 57 qquad k g ds sqrt g over dot s 2 hat varepsilon ij dot u i left ddot u j Gamma kl j dot u k dot u l right dt Krapkami poznacheno pohidni po parametru t displaystyle t Iz dvoh ostannih formul uzhe mozhna zrobiti visnovok pro odnakovist z tochnistyu do neskinchenno malih dodankiv dvoh integraliv vid geodezichnoyi krivini po duzi A B displaystyle AB odin z yakih beretsya po mnogovidu a drugij po karti A B k g d s A B k g d t displaystyle qquad int smile AB k g ds simeq int smile AB tilde k g dt ale dlya cogo potribni dva dodatkovih pripushennya shob unemozhliviti nadmirnu dovzhinu dugi A B displaystyle AB za rahunok oscilyacij abo zakruchuvan u spiral A same pripustimo sho znak geodezichnoyi na duzi A B displaystyle AB ye postijnij a takozh sho duga A B displaystyle AB ne maye inshih spilnih tochok z krivolinijnim kutom okrim svoyih kinciv Dijsno mnozhnik g s 2 g g 11 cos 2 a 2 g 12 cos a sin a g 22 sin 2 a 1 displaystyle qquad sqrt g over dot s 2 sqrt g over g 11 cos 2 alpha 2g 12 cos alpha sin alpha g 22 sin 2 alpha to 1 pryamuye do odinici a simvoli Kristofelya do nulya vnaslidok specialnogo viboru sistemi koordinat Otzhe i v zagalnomu vipadku spravedliva granicya 54 a tomu dlya prostoyi oblasti dovedeno variant formuli 8 58 W K d s L k g d s i ϕ i 2 p displaystyle 58 qquad iint Omega Kd sigma oint L k g ds sum i phi i 2 pi Tretij etap dovedennyaRozib yemo topologichno skladnu oblast W displaystyle Omega na skinchennu kilkist prostih pidoblastej W i displaystyle Omega i do kozhnoyi z yakih mozhna zastosuvati formulu 58 Rozbivka na prosti pidoblasti Harakteristika Ejlera obchislyuyetsya za formuloyu 9 x B P G displaystyle qquad chi B P Gamma de B P G displaystyle B P Gamma poznachayut kilkosti vershin reber ta granej pidoblastej W i displaystyle Omega i Dlya prostoti dovedennya budemo vvazhati vsi rebra oderzhanogo grafu gladkimi krivimi a vsi zlami na konturah vidbuvayutsya pri vershinah grafu Zruchno rozglyadati vnutrishni kuti a i j displaystyle alpha ij pri vsih vershinah grafu Tut pershij indeks i displaystyle i numeruye vsi vershini yak vnutrishni tak i ti sho lezhat na mezhi W displaystyle partial Omega oblasti W displaystyle Omega Drugij indeks j displaystyle j numeruye kuti pri vershini A i displaystyle A i Zlam ϕ i j displaystyle phi ij pri vershini ye dopovnennyam do vnutrishnogo kuta ϕ i j p a i j displaystyle phi ij pi alpha ij i mi mozhemo znajti sumu formul 58 dlya vsih pidoblastej W i displaystyle Omega i 59 2 p G W i W i K d s L i L i k g d s A i j p a i j displaystyle 59 qquad 2 pi Gamma sum Omega i iint Omega i Kd sigma sum L i int L i k g ds sum A i sum j pi alpha ij Rozberemosya z kozhnim iz troh dodankiv u pravij chastini formuli 59 Pershij dodanok ochevidno dorivnyuye integralu po cilij oblasti W displaystyle Omega 60 W K d s W i W i K d s displaystyle 60 qquad iint Omega Kd sigma sum Omega i iint Omega i Kd sigma V drugomu dodanku treba rozriznyati zovnishni rebra L i W displaystyle L i in partial Omega yaki lezhat na mezhi vid vnutrishnih Integruvannya po vnutrishnomu rebru vidbuvayetsya dvichi pri rozglyadi dvoh sumizhnih pidoblastej sho rozdilyayutsya danim rebrom Prichomu proyekciyi geodezichnoyi krivini budut protilezhnimi k g k g n k g n k g displaystyle qquad k g mathbf k g cdot mathbf n mathbf k g cdot mathbf n k g A otzhe vsi integrali po vnutrishnih rebrah vzayemno kompensuyutsya i v sumi 59 lishayutsya tilki integrali po zovnishnih rebrah 61 L i L i k g d s L i W L i k g d s displaystyle 61 qquad sum L i int L i k g ds sum L i in partial Omega int L i k g ds Perejdemo do rozglyadu tretogo dodanka formuli 59 Dlya kozhnoyi vnutrishnoyi vershini mayemo 62 j p a i j p r i 2 p displaystyle 62 qquad sum j pi alpha ij pi rho i 2 pi de r i displaystyle rho i kilkist kinciv vnutrishnih reber sho shodyatsya v cij vershini Dlya vershini na mezhi oblasti W displaystyle Omega mayemo 63 j p a i j p r i p A i p r i ϕ i displaystyle 63 qquad sum j pi alpha ij pi rho i pi hat A i pi rho i phi i de r i displaystyle rho i takozh yak i v poperednij formuli poznachaye kilkist kinciv vnutrishnih reber sho shodyatsya u vershini A i displaystyle A i a ϕ i displaystyle phi i poznachaye kut na yakij povertayetsya dotichnij do liniyi mezhi vektor pri perehodi cherez tochku A i displaystyle A i Oskilki kozhne rebro maye dva kincya to suma vsih cih kinciv dorivnyuye podvoyenij kilkosti vnutrishnih reber 64 i r i 2 P int displaystyle 64 qquad sum i rho i 2P mbox int i mi mozhemo zapisati dlya tretogo dodanka 65 A i j p a i j 2 p P int B int A i W ϕ i displaystyle 65 qquad sum A i sum j pi alpha ij 2 pi left P mbox int B mbox int right sum A i in partial Omega phi i Ochevidno sho mezha W displaystyle partial Omega skladayetsya z dekilkoh konturiv gomeomeorfnih kolu Na kozhnomu takomu konturi a otzhe i na vsij mezhi W displaystyle partial Omega kilkist vershin B W displaystyle B partial Omega i kilkist reber P W displaystyle P partial Omega odnakova Mayemo 66 P int B int P int P W B int B W P B displaystyle 66 qquad P mbox int B mbox int left P mbox int P partial Omega right left B mbox int B partial Omega right P B Pidstavimo formuli 60 61 65 i 66 v 59 Oderzhuyemo 67 2 p G W K d s L i W L i k g d s A i W ϕ i 2 p P B displaystyle 67 qquad 2 pi Gamma iint Omega Kd sigma sum L i in partial Omega int L i k g ds sum A i in partial Omega phi i 2 pi P B sho ye ekvivalentom formuli 8 Teoremu povnistyu dovedeno IstoriyaOkremij vipadok ciyeyi formuli dlya geodezichnih trikutnikiv buv otrimanij Gaussom prote vin ne opublikuvav yiyi V 1848 roci yiyi opublikuvav francuzkij matematik yakij uzagalniv formulu na vipadok diska obmezhenogo dovilnoyu krivoyu U suchasnomu formulyuvanni formula vpershe z yavlyayetsya u Vilgelma Blyashke