Топологія відкритого розширення

Нехай (X,τ) — топологічний простір, ${\displaystyle p\notin X}$ і ${\displaystyle X^{*}\ =X\cup }$ {p}. Тоді топологія τ*={X*} ${\displaystyle \cup }$τ називається топологією відкритого розширення на X*.

Властивості

• Точковилучена топологія є відкритим розширенням дискретної топології.
• X* є компактним, зв'язним і ультразв'язним простором.
• X* є сепарабельним, задовольняє першу або другу аксіому зліченності тоді й лише тоді, коли Х сепарабельний, задовольняє першу або другу аксіому зліченності відповідно.
• X* є ${\displaystyle T_{0}}$-простором в тому й лише в тому разі, коли Х є ${\displaystyle T_{0}}$-простором. Х* не є простором ${\displaystyle T_{1}}$ і відповідно ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$-простором. Х* є ${\displaystyle T_{4}}$-простором. Х* є ${\displaystyle T_{5}}$-простором тоді й лише тоді, коли Х є ${\displaystyle T_{5}}$-простором.
• Відкрите розширення точковмісної топології є ${\displaystyle T_{0}}$ і ${\displaystyle T_{4}}$, але не ${\displaystyle T_{1}}$ і ${\displaystyle T_{5}}$-простором.

Див. також

• Точковмісна топологія
• Точковилучена топологія

Література

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446