Теорія функціонала густини (в англомовній літературі часто використовується скорочення DFT) — метод чисельних квантово-механічних обчислень, що застосовується в фізиці, хімії та матеріалознавстві для моделювання електронної структури (здебільшого основного стану) багатоелектронних систем атомів, молекул та конденсованих фаз речовини. У цьому методі властивості багатоелекронної системи визначаються функціоналом, який залежить тільки від просторово-неоднорідної електронної густини. Метод належить до найпопулярніших в обчислювальній фізиці та квантовій хімії.
Метод функціонала густини набув популярності в фізиці твердого тіла в 1970-х, Однак він вважався недостатньо точним для квантової хімії до 1990-х, доки теоретичні наближення не були вдосконалені використанням модельних потенціалів для обмінної взаємодії та електронних кореляцій. Обчислювальне навантаження невелике в порівнянні з традиційними методами, такими як метод Гартрі-Фока та його сучасних модифікацій.
Попри покращення метод досі має складнощі з описом міжмолекулярної взаємодії (що важливо для хімічних реакцій), особливо сил Ван дер Ваальса, збуджень із переносом заряду, перехідних станів, глобальних поверхонь потенціалу, взаємодії з домішками та інших сильно корельованих систем, в розрахунках ширини забороненої зони, описі феромагнетизму в напівпровідниках. Неповне врахування дисперсійної взаємодії негативно впливає на розрахунки систем, в яких міжмолекулярна взаємодія має вирішальне значення (наприклад, взаємодії між атомами інертних газів), чи тоді, коли дисперсія конкурує з іншими ефектами (наприклад, в біологічних молекулах). Розробляються нові варіанти методу, що намагаються обійти цю проблему через зміни в функціоналі або додаванням нових членів.
Загальний огляд
Теорія функціонала густини бере початок з підходу Томаса-Фермі до розрахунку багатоелектронних атомів. Міцні підмурки методу заклали дві теореми Гоенберга-Кона. Початково ці теореми стосувалися лише невироджених основних станів без магнітного поля, але пізніше ці обмеження були зняті.
Перша теорема Гоенберга-Кона стверджує, що властивості основного стану багатоелектронної системи однозначно визначаються електронною густиною, що залежить лише від трьох просторових координат. Завдяки їй задача багатьох тіл з 3N просторовими координатами спрощується до задачі з трьома просторовими координатами через використання функціонала від густини електронів. Цю теорему можна узагальнити з врахуванням часу і отримати залежну від часу теорію функціонала густини (TDDFT), за допомогою якої можна описувати збуджені стани.
Друга теорема Гоенберга-Кона стверджує визначає енергетичний функціонал системи й доказує, що правильний основний стан мінімізує цей функціонал.
У формулюванні Кон-Шема (KS DFT) теорія зводить нерозв'язну задачу багатьох електронів, що взаємодіють між собою, і можуть знаходитися в зовнішньому потенціалі, до задачі незалежних електронів, що рухаються в ефективному потенціалі. Ефективний потенціал враховує як зовнішній потенціал, так і потенціал кулонівської взаємодії між електронами, а також поправки зв'язані з обмінною взаємодією та кореляціями. Моделювання двох останніх типів взаємодії в KS DFT — складна задача. Найпростіше наближення — наближення локальної густини (LDA), яке витягає обмінну взаємодію та енергію кореляцій з розрахунків однорідного електронного газу, які можна провести в моделі Томаса-Фермі. Без врахування взаємодії між частинками розрахунки відносно прості, для них хвильову функцію можна задати у формі детермінанта Слейтера молекулярних орбіталей. Функціонал кінетичної енергії для таких систем відомий точно. Невідомими залишаються внески обміну та кореляцій. Вони задаються модельно.
Інший підхід, менш популярній ніж KS DFT, але, можливо, ближчий до початкового духу теорем Гоенберга-Кона, — безорбітальна теорія функціональної густини (OFDFT), у якій наближений функціонал використовується також для кінетичної енергії системи незалежних електронів.
Формулювання
Як звично в розрахунках багатоелектронних систем ядра молекул чи кластерів вважаються фіксованими (наближення Борна-Оппенгеймера). Вони генерують статичний потенціал V, в якому рухаються електрони. Стаціонарні стани описуються хвильовою функцією , що повинна задовольняти стаціонарне рівняння Шредінгера
де — кількість електронів, — гамільтоніан, — повна енергія, — кінетична енергія, — зовнішній потенціал, що задається позитивно зарядженими ядрами, — потенціал міжелектронної взаємодії. Оператори та називають універсальними, тому що вони однакові для будь-якої системи електронів, тоді як залежить від системи. Цю складну систему не можна розділити на простіші одноелектронні через міжелектронну взаємодію .
Розроблено багато методів розв'язування рівняння Шредінгера для багатотільних систем, основою яких є задання хвильової функції у вигляді детермінанта Слейтера. Найпростішим із них є метод Гартрі-Фока, складніші зазвичай називають пост-Гарті-Фоківськими методами. Складність цих методів у тому, що вони вимагають дуже великих обсягів обчислень, а тому їх практично неможливо застосовувати до великих, складних систем.
DFT пропонує привабливу альтернативу, зводячи задачу багатьох тіл з до одночастинкової задачі без . Основним параметром DFT є густина електронів , задана для нормалізованої хвильової функції формулою
Це співвідношення можна обернути, тобто для будь-якої густини електронів в основному стані, загалом можливо знайти відповідну хвильову функцію основного стану . Іншими словами, є єдиною.
а отже. для основного стану очікуване значення спостережуваної величини також є функціоналом
Зокрема, енергія основного стану є функціоналом від
де внесок зовнішнього потенціалу можна записати безпосередньо через густину електронів в основному стані
Узагальнюючи, внесок зовнішнього потенціалу записується безпосередньо через електронну густину ,
Функціонали та називають універсальними, тоді як є неуніверсальним, оскільки він залежить від системи. Задавши систему, тобто , потрібно мінімізувати функціонал
щодо . Успішна мінімізація функціонала енергії дає густину електронів в основному стані, а через неї інші спостережувані змінні.
Варіаційну задачу мінімізації функціонала енергії можна розв'язати, використовуючи метод невизначних множників Лагранжа Спочатку, розглядається функціонал енергії без врахування електрон-електронної взаємодії
де позначає оператор кінетичної енергії, а — ефективний зовнішній потенціал, в якому частинки рухаються так, що .
Отже, можна розв'язувати рівняння Кон-Шема для цієї допоміжної системи незалежних частинок,
що визначає орбіталі , які в свою чергу визначають густину для вихідної задачі багатьох тіл
Детальніше одночастинковий потенціал записується як:
де другий член називають членом Гартрі. Він описує кулонівське відштовхування між електронами, а останній член називається обмінно-кореляційним потенціалом. Тут містить у собі всі багаточастинкові взаємодії. Оскільки член Гартрі та залежать від , яка залежить , що в свою чергу залежить від , розв'язування рівняння Кон-Шема треба розв'язувати самоузгоджено (тобто ітеративно). Зазвичай починають зі здогадки щодо , тоді розраховують відповідний і розв'язують рівняння Кона-Шема щодо . На цій основі розраховують нову густину й починають спочатку. Цю процедуру повторяють, доки не збіжиться. Наближення незалежних частинок називають . DFT є альтернативним підходом до нього.
Зауваження
1: Однозначна відповідність електронної густини та одночастинкового потенціалу не дуже гладка. Вона містить різного роду неаналітичні структури. містить сингулярності, розриви та розгалуження. Це може накладати обмеження на сподівання задання обмінно-кореляційного функціонала аналітично.
2: Можливо узагальнити ідеї, закладені в DFT, на функцію Гріна замість електронної густини . Це називають (або подібними до нього). Записується це як . Однак, аналізують не на мінімуми, а на екстремуми. Це може створити додаткові теоретичні та практичні складності.
3: Однозначної відповідності між одночастинковою матрицею густини та одночастинковим потенціалом . (Усі власні значення дорівнюють одиниці). Іншими словами, це підхід завершується чимось на кшталт методу Гартрі-Фока (або гібридним підходом).
Релятивістська теорія
Ті ж теореми можна доказати у випадку релятивістських електронів, отримуючи узагальнення DFT. На відміну від нерелятивістської теорії деякі результати можна отримати точно.
Нехай електрон у воднеподібному атомі описується рівнянням Дірака. Гамільтоніан для електрона у кулонівському потенціалі має вигляд (в атомних одиницях):
- ,
де кулонівський потенціал точкового ядра, — оператор імпульсу для електрона, , та — електричний заряд електрона, маса електрона та швидкість світла, відповідно, а та — матриці Дірака :
- ,
- .
Для знаходження власних функцій і відповідних енергій використовується рівняння:
- ,
де є чотирикомпонентною хвильовою функцією, а — відповідне власне значення енергії. В статті показано що застосування теореми віріалу до власної функції дає наступну формулу для власної енергії зв'язаного стану:
- .
Аналогічно, застосування теореми віріалу до рівняння на визначення власних функцій для квадратичного Гамільтоніана дає:
- .
Зрозуміло, що ці формули є різновидом функціонала густини. Першу з них можна узагальнити на систему з багатьох електронів.
Наближення для обмінно-кореляційного потенціалу
Основним джерелом труднощів DFT є те, що точне значення фукціоналів для обмінної взаємодії та електронних кореляцій відомі тільки для газу вільних електронів. Однак існують наближення, що дозволяють провести розрахунки певних фізичних систем із задовільною точністю. У фізиці найбільш використовують наближення локальної густини (LDA), в якому функціонал залежить лише від густини в тій точці простору, де його обчислюють:
Очевидним узагальненням є наближення локальної спінової густини, в якому густина електронів з різними проєкціями спіну розглядається окремо:
Доволі точні формули для густини обмінно-кореляційної енергії були отримані квантово механічним методом Монте-Карло в моделі желе.
LDA побудована на припущенні, що електронна густина всюди однакова. Тому це наближення зазвичай завищує обмінно-кореляційну енергію. Щоб виправити цей недолік, для врахування неоднорідності реальної густини електронів її розкладають з врахуванням градієнту. Таке наближення називають узагальним градієнтним (GGA). Воно має форму
Використання GGA дозволило отримати непогані результати в розрахунках геометрії молекул та енергії їхніх основних станів. Потенційно ще точнішими є мета-GGA функціонали, що включають другі похідні від електронної густини. Функціоналами цього типу є, наприклад TPSS та .
Стадність задання обмінної частини енергії можна полегшити, використовуючи результати точних розрахунків методом Гартрі-Фока Функціонали цього типу називають гібридними.
Узагальнення з врахуванням магнітного поля
Описаний формалізм DFT не працює до різного ступеня за присутності векторного потенціалу, тобто магнітного поля. У такій ситуації втрачається однозначна відповідність між електронною густиною в основному стані та хвильовою функцією. Узагальнення на випадок магнітного поля привели до двох різних теорій: функціонала густини струму (CDFT) та теорії густини магнітного поля (BDFT). В обох теоріях обмінно-кореляційний член треба переписати з врахуванням не тільки електронної густини. В сучасному формулюванні, розробленому та Расолтом, функціонали залежать як від електронної густини так і від густини парамагнітного струму. В теорії густини магнітного поля Солсбері, Грейса та Гарріса функціонали залежать від електронної густини та магнітного поля, а їхня форма може залежати від конфігурації магнітного поля. Обидві теорії мають складнощі з виходом за рамки еквівалентних LDA наближень, які неважко було б використовувати в розрахунках.
Новий підхід Пана та Сахні узагальнив теорему Гоенберга-Кона на змінні магнітні поля, використавши як основні змінні густину електронів та густину електронного струму.
Застосування
Теорія функціонала густини знаходить дедалі більше застосування в хімії та матеріалознавстві, де вона дозволяє інтерпретувати й передбачати поведінку складних систем на атомному рівні. Зокрема, обчислювальні методи DFT застосовують для вивчення систем синтезу. В таких системах експериментальні дослідження часто наштовхуються на розбіжності в результатах та на нерівноважність. Приклади обчислень методом DFT включають дослідження впливу домішок на фазові перетворення в оксидах, поведінки напівмагнітних напіпровідників у магнітному полі та дослідження магнітних й електронних властивостей сегнетоелектриків.
Було показано також що DFT дає непогані результати в передбаченні чутливості деяких наноструктур до забрудників повітря на кшталт SO2 або акроліну а також передбачення механічних властивостей.
На практиці теорію Кона-Шама можна застосовувати по різному, залежно від об'єкту досліджень. У твердотільних розрахунках досі популярне наближення локальної густини та базис із плоских хвиль оскільки наближення електронного газу підходить найкраще для делокалізованих електронів у нескінченних твердих тілах. Для розрахунку молекул потрібні складніші потенціали, тому для хімічних застосувань розроблено різноманітні обмінно-кореляційні потенціали. Деякі з них несумісні з наближенням однорідного електронного газу, однак у граничному випадку електронного газу вони повинні зводитися до LDA. Фізики, мабуть, найчастіше використовують покращену модель обмінної взаємодії Пердю-Бурке-Ернцергофа (безпараметричне узагальнення градієнтної параметризації електронного газу), однак для точних розрахунків молекул в газовій фазі такий підхід недостатньо калориметрично точний. Серед хіміків популярний функціонал B3LYP (за прізвищами Беке для обміну та Лі. Янг і Парр для кореляцій). Ще ширше використовуються гібридні функціонали, в яких енергія обмінної взаємодії (в цьому випадку береться обмінний функціонал Беке) разом із точною енергією, розрахованою методом Гартрі-Фока. Окрім компонент функціоналів обміну та кореляцій є три параметри, що визначають гібридний функціонал, вказуючи яку частину точної обмінної взаємодії взяти. Ці параметри підбираються зазвичай підгонкою на «пробному наборі» молекул. На жаль, хоча отримані результати зазвичай доволі точні для більшості застосувань, нема систематичного шляху до їхнього покращення (на відміну від традиційних підходів на основі хвильових функцій, таких як конфігураційна взаємодія чи теорія зв'язаних кластерів. Тому в DFT неможливо оцінити похибку розрахунків без порівняння з іншими методами чи експериментом.
Теореми Гоенберга-Кона
Теореми Гоенберга-Кона стосуються довільних систем, що складаються з електронів, які рухаються в зовнішньому потенціалі.
Теорема 1. Зовнішній потенціал, а з ним і повна енергія електронів є однозначним функціоналом електронної густини.
Якщо на дві системи електронів накладено потенціали на одну та на іншу мають однакову електронну густину в основному стані , тоді з необхідністю .
Наслідок: густина електронів в основному стані однозначно визначає потенціал, а з ним усі властивості системи, включно з багаточастинковою хвильовою функцією. Зокрема функціонал ГК, означений як , є універсальним функціоналом густини (не залежить неявно від зовнішнього потенціалу).
Теорема 2. Функціонал, що визначає енергію основного стану системи, дає найменшу енергію, тоді й тільки тоді, коли задана ним густина є густиною в основному стані.
Для будь-якого цілого додатнього числа та потенціалу , існує такий функціонал густини , що має мінімальну енергію при густині основного стану електронів у потенціалі . Мінімальне значення тоді є енергією основного стану системи.
Псевдопотенціал
Рівняння Шредінгера для багатьох електронів можна значно спростити, розділивши їх на дві групи: валентні та внутрішні електрони атомних остовів. Електрони внутрішніх атомних оболонок сильно зв'язані, вони не відіграють значної ролі в формуванні хімічних зв'язків між атомами, проте вони частково екранують позитивно заряджене ядро, створюючи навколо нього майже повністю інертний остов. Зв'язки між атомами формують майже повністю валентні електрони, особливо в металах та напівпровідниках. Таке розділення наводить на думку знехтувати в більшості випадків внутрішніми електронами, що зводить атом до йонного остову, який взаємодіє з валентними електронами.
Ідею використовувати ефективний потенціал, який отримав назву псевдопотенціалу як наближення до значення потенціалу, що його відчувають валентні електрони, уперше запропонував Енріко Фермі в 1934 та Геллманн в 1935. Попри те, що псевдопотенціали значно спрощують обчислення, про неї забули до кінця 1950-x.
Псевдопотенціали, розраховані ab initio
Важливий крок до реалістичних псевдопотенціалів зробили Топп та Гопфілд, а пізніше Кронін. Вони запропонували будувати псевдопотенціали так, щоб ті могли точно описувати густину заряду валентних електронів. Виходячи з цієї ідеї, сучасні псевдопотенціали отримують, розв'язуючи зворотню задачу Шредінгера для вільного атома для заданої електронної конфігурації і змушуючи псевдо хвильову функцію збігтися зі справжньою хвильовою функцією на відстанях, що перевищують певну відстань . Псевдо функції також нормують за тією ж нормою, що й справжні хвильові функції для валентних електронів. Можна записати
де — радіальна частинка хвильової функції з кутовим моментом , та і позначають, відповідно, псевдо хвильову функцію та справжню хвильову функцію, розраховану з врахуванням усіх електронів атома. Індекс n в справжній хвильовій функції позначає валентність. Відстань , за межами якої справжня та псевдо хвильові функції дорівнюють одна одній, також залежить від .
Розмивання розподілу електронів
В основному стані електрони системи за принципом ауфбау, займатимуть найнижчі одноелектронні рівні до певної енергії. Це відповідає сходинковому розподілу Фермі-Дірака при нульовій температурі. Якщо є кілька вироджених станів на рівні Фермі, можна отримати збіжну задачу, оскільки виродження може знятися малим збуренням. Одним зі способів зняти невизначеність є розмити електронний розподіл, тобто дозволити дробове заповнення. Один шлях — нав'язати ненульову температуру в розподілі Фермі-Дірака. Інші шляхи — використати кумулятивний розподіл Гауса для електронів або скористатися методом Метфесселя-Пакстона.
Програмне забезпечення
DFT підтримують , часто разом із іншими методами.
Див. також
Виноски
- Assadi, M.H.N та ін. (2013). Theoretical study on copper's energetics and magnetism in TiO2 polymorphs. Journal of Applied Physics. 113 (23): 233913. arXiv:1304.1854. Bibcode:2013JAP...113w3913A. doi:10.1063/1.4811539.
- Van Mourik, Tanja; Gdanitz, Robert J. (2002). A critical note on density functional theory studies on rare-gas dimers. Journal of Chemical Physics. 116 (22): 9620—9623. Bibcode:2002JChPh.116.9620V. doi:10.1063/1.1476010.
- Vondrášek, Jiří; Bendová, Lada; Klusák, Vojtěch; Hobza, Pavel (2005). Unexpectedly strong energy stabilization inside the hydrophobic core of small protein rubredoxin mediated by aromatic residues: correlated ab initio quantum chemical calculations. Journal of the American Chemical Society. 127 (8): 2615—2619. doi:10.1021/ja044607h. PMID 15725017.
- Grimme, Stefan (2006). Semiempirical hybrid density functional with perturbative second-order correlation. Journal of Chemical Physics. 124 (3): 034108. Bibcode:2006JChPh.124c4108G. doi:10.1063/1.2148954. PMID 16438568.
- Zimmerli, Urs; Parrinello, Michele; Koumoutsakos, Petros (2004). Dispersion corrections to density functionals for water aromatic interactions. Journal of Chemical Physics. 120 (6): 2693—2699. Bibcode:2004JChPh.120.2693Z. doi:10.1063/1.1637034. PMID 15268413.
- Grimme, Stefan (2004). Accurate description of van der Waals complexes by density functional theory including empirical corrections. Journal of Computational Chemistry. 25 (12): 1463—1473. doi:10.1002/jcc.20078. PMID 15224390.
- Von Lilienfeld, O. Anatole; Tavernelli, Ivano; Rothlisberger, Ursula; Sebastiani, Daniel (2004). Optimization of effective atom centered potentials for London dispersion forces in density functional theory. Physical Review Letters. 93 (15): 153004. Bibcode:2004PhRvL..93o3004V. doi:10.1103/PhysRevLett.93.153004. PMID 15524874.
- Tkatchenko, Alexandre; Scheffler, Matthias (2009). Accurate Molecular Van Der Waals Interactions from Ground-State Electron Density and Free-Atom Reference Data. Physical Review Letters. 102 (7): 073005. Bibcode:2009PhRvL.102g3005T. doi:10.1103/PhysRevLett.102.073005. PMID 19257665.
- Hohenberg, Pierre; Walter Kohn (1964). Inhomogeneous electron gas. Physical Review. 136 (3B): B864—B871. Bibcode:1964PhRv..136..864H. doi:10.1103/PhysRev.136.B864.
- Levy, Mel (1979). Universal variational functionals of electron densities, first-order density matrices, and natural spin-orbitals and solution of the v-representability problem. Proceedings of the National Academy of Sciences. United States National Academy of Sciences. 76 (12): 6062—6065. Bibcode:1979PNAS...76.6062L. doi:10.1073/pnas.76.12.6062.
- Vignale, G.; Mark Rasolt (1987). Density-functional theory in strong magnetic fields. Physical Review Letters. American Physical Society. 59 (20): 2360—2363. Bibcode:1987PhRvL..59.2360V. doi:10.1103/PhysRevLett.59.2360. PMID 10035523.
- Kohn, W.; Sham, L. J. (1965). Self-consistent equations including exchange and correlation effects. Physical Review. 140 (4A): A1133—A1138. Bibcode:1965PhRv..140.1133K. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133.
- M. Brack (1983), Virial theorems for relativistic spin-½ and spin-0 particles, Phys. Rev. D, 27: 1950, doi:10.1103/physrevd.27.1950
- K. Koshelev (2015). About density functional theory interpretation. arXiv:0812.2919 [quant-ph].
- K. Koshelev (2007). Alpha variation problem and q-factor definition. arXiv:0707.1146 [physics.atom-ph].
- Kieron Burke; Lucas O. Wagner (2013). DFT in a nutshell. International Journal of Quantum Chemistry. 113 (2): 96. doi:10.1002/qua.24259.
- John P. Perdew; Adrienn Ruzsinszky; Jianmin Tao; Viktor N. Staroverov; Gustavo Scuseria; Gábor I. Csonka (2005). Prescriptions for the design and selection of density functional approximations: More constraint satisfaction with fewer fits. Journal of Chemical Physics. 123 (6): 062201. Bibcode:2005JChPh.123f2201P. doi:10.1063/1.1904565. PMID 16122287.
- Becke, Axel D. (14 травня 2014). . The Journal of Chemical Physics. 140 (18): 18A301. Bibcode:2014JChPh.140rA301B. doi:10.1063/1.4869598. ISSN 0021-9606. PMID 24832308. Архів оригіналу за 15 серпня 2016. Процитовано 11 квітня 2017.
- Perdew, John P; Chevary, J A; Vosko, S H; Jackson, Koblar, A; Pederson, Mark R; Singh, D J; Fiolhais, Carlos (1992). Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation. Physical Review B. 46 (11): 6671. Bibcode:1992PhRvB..46.6671P. doi:10.1103/physrevb.46.6671.
- Becke, Axel D (1988). Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior. Physical Review A. 38 (6): 3098. Bibcode:1988PhRvA..38.3098B. doi:10.1103/physreva.38.3098. PMID 9900728.
- Langreth, David C; Mehl, M J (1983). Beyond the local-density approximation in calculations of ground-state electronic properties. Physical Review B. 28 (4): 1809. Bibcode:1983PhRvB..28.1809L. doi:10.1103/physrevb.28.1809.
- Grayce, Christopher; Robert Harris (1994). Magnetic-field density-functional theory. Physical Review A. 50 (4): 3089—3095. Bibcode:1994PhRvA..50.3089G. doi:10.1103/PhysRevA.50.3089. PMID 9911249.
- Viraht, Xiao-Yin (2012). Hohenberg-Kohn theorem including electron spin. Physical Review A. 86 (4): 042502. Bibcode:2012PhRvA..86d2502P. doi:10.1103/physreva.86.042502.
- Segall, M.D.; Lindan, P.J (2002). First-principles simulation: ideas, illustrations and the CASTEP code. Journal of Physics: Condensed Matter. 14 (11): 2717. Bibcode:2002JPCM...14.2717S. doi:10.1088/0953-8984/14/11/301.
- Hanaor, Dorian A. H.; Assadi, Mohammed H. N.; Li, Sean; Yu, Aibing; Sorrell, Charles C. (2012). Ab initio study of phase stability in doped TiO2. Computational Mechanics. 50 (2): 185—194. doi:10.1007/s00466-012-0728-4.[недоступне посилання]
- Somayeh. F. Rastegar, Hamed Soleymanabadi (1 січня 2014). Theoretical investigation on the selective detection of SO2 molecule by AlN nanosheets. Journal of Molecular Modeling. 20 (9). doi:10.1007/s00894-014-2439-6.[недоступне посилання з липня 2019]
- Somayeh F. Rastegar, Hamed Soleymanabadi (1 січня 2013). . Journal of Molecular Modeling. 19 (9): 3733—40. doi:10.1007/s00894-013-1898-5. PMID 23793719. Архів оригіналу за 16 січня 2017. Процитовано 12 квітня 2017.
- Music, D.; Geyer, R.W.; Schneider, J.M. (2016). Recent progress and new directions in density functional theory based design of hard coatings. Surface & Coatings Technology. 286: 178. doi:10.1016/j.surfcoat.2015.12.021.
- Topp, William C.; Hopfield, John J. (15 лютого 1973). Chemically Motivated Pseudopotential for Sodium. Physical Review B. 7 (4): 1295—1303. Bibcode:1973PhRvB...7.1295T. doi:10.1103/PhysRevB.7.1295.
- Michelini, M. C.; Pis Diez, R.; Jubert, A. H. (25 червня 1998). . International Journal of Quantum Chemistry. 70 (4–5): 694. doi:10.1002/(SICI)1097-461X(1998)70:4/5<693::AID-QUA15>3.0.CO;2-3. Архів оригіналу за 31 жовтня 2016. Процитовано 21 жовтня 2016.
- . VASP the GUIDE. Архів оригіналу за 31 жовтня 2016. Процитовано 21 жовтня 2016.
- Tong, Lianheng. . Metal CONQUEST. Архів оригіналу за 31 жовтня 2016. Процитовано 21 жовтня 2016.
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya funkcionala gustini v anglomovnij literaturi chasto vikoristovuyetsya skorochennya DFT metod chiselnih kvantovo mehanichnih obchislen sho zastosovuyetsya v fizici himiyi ta materialoznavstvi dlya modelyuvannya elektronnoyi strukturi zdebilshogo osnovnogo stanu bagatoelektronnih sistem atomiv molekul ta kondensovanih faz rechovini U comu metodi vlastivosti bagatoelekronnoyi sistemi viznachayutsya funkcionalom yakij zalezhit tilki vid prostorovo neodnoridnoyi elektronnoyi gustini Metod nalezhit do najpopulyarnishih v obchislyuvalnij fizici ta kvantovij himiyi Metod funkcionala gustini nabuv populyarnosti v fizici tverdogo tila v 1970 h Odnak vin vvazhavsya nedostatno tochnim dlya kvantovoyi himiyi do 1990 h doki teoretichni nablizhennya ne buli vdoskonaleni vikoristannyam modelnih potencialiv dlya obminnoyi vzayemodiyi ta elektronnih korelyacij Obchislyuvalne navantazhennya nevelike v porivnyanni z tradicijnimi metodami takimi yak metod Gartri Foka ta jogo suchasnih modifikacij Popri pokrashennya metod dosi maye skladnoshi z opisom mizhmolekulyarnoyi vzayemodiyi sho vazhlivo dlya himichnih reakcij osoblivo sil Van der Vaalsa zbudzhen iz perenosom zaryadu perehidnih staniv globalnih poverhon potencialu vzayemodiyi z domishkami ta inshih silno korelovanih sistem v rozrahunkah shirini zaboronenoyi zoni opisi feromagnetizmu v napivprovidnikah Nepovne vrahuvannya dispersijnoyi vzayemodiyi negativno vplivaye na rozrahunki sistem v yakih mizhmolekulyarna vzayemodiya maye virishalne znachennya napriklad vzayemodiyi mizh atomami inertnih gaziv chi todi koli dispersiya konkuruye z inshimi efektami napriklad v biologichnih molekulah Rozroblyayutsya novi varianti metodu sho namagayutsya obijti cyu problemu cherez zmini v funkcionali abo dodavannyam novih chleniv Zagalnij oglyadTeoriya funkcionala gustini bere pochatok z pidhodu Tomasa Fermi do rozrahunku bagatoelektronnih atomiv Micni pidmurki metodu zaklali dvi teoremi Goenberga Kona Pochatkovo ci teoremi stosuvalisya lishe nevirodzhenih osnovnih staniv bez magnitnogo polya ale piznishe ci obmezhennya buli znyati Persha teorema Goenberga Kona stverdzhuye sho vlastivosti osnovnogo stanu bagatoelektronnoyi sistemi odnoznachno viznachayutsya elektronnoyu gustinoyu sho zalezhit lishe vid troh prostorovih koordinat Zavdyaki yij zadacha bagatoh til z 3N prostorovimi koordinatami sproshuyetsya do zadachi z troma prostorovimi koordinatami cherez vikoristannya funkcionala vid gustini elektroniv Cyu teoremu mozhna uzagalniti z vrahuvannyam chasu i otrimati zalezhnu vid chasu teoriyu funkcionala gustini TDDFT za dopomogoyu yakoyi mozhna opisuvati zbudzheni stani Druga teorema Goenberga Kona stverdzhuye viznachaye energetichnij funkcional sistemi j dokazuye sho pravilnij osnovnij stan minimizuye cej funkcional U formulyuvanni Kon Shema KS DFT teoriya zvodit nerozv yaznu zadachu bagatoh elektroniv sho vzayemodiyut mizh soboyu i mozhut znahoditisya v zovnishnomu potenciali do zadachi nezalezhnih elektroniv sho ruhayutsya v efektivnomu potenciali Efektivnij potencial vrahovuye yak zovnishnij potencial tak i potencial kulonivskoyi vzayemodiyi mizh elektronami a takozh popravki zv yazani z obminnoyu vzayemodiyeyu ta korelyaciyami Modelyuvannya dvoh ostannih tipiv vzayemodiyi v KS DFT skladna zadacha Najprostishe nablizhennya nablizhennya lokalnoyi gustini LDA yake vityagaye obminnu vzayemodiyu ta energiyu korelyacij z rozrahunkiv odnoridnogo elektronnogo gazu yaki mozhna provesti v modeli Tomasa Fermi Bez vrahuvannya vzayemodiyi mizh chastinkami rozrahunki vidnosno prosti dlya nih hvilovu funkciyu mozhna zadati u formi determinanta Slejtera molekulyarnih orbitalej Funkcional kinetichnoyi energiyi dlya takih sistem vidomij tochno Nevidomimi zalishayutsya vneski obminu ta korelyacij Voni zadayutsya modelno Inshij pidhid mensh populyarnij nizh KS DFT ale mozhlivo blizhchij do pochatkovogo duhu teorem Goenberga Kona bezorbitalna teoriya funkcionalnoyi gustini OFDFT u yakij nablizhenij funkcional vikoristovuyetsya takozh dlya kinetichnoyi energiyi sistemi nezalezhnih elektroniv FormulyuvannyaYak zvichno v rozrahunkah bagatoelektronnih sistem yadra molekul chi klasteriv vvazhayutsya fiksovanimi nablizhennya Borna Oppengejmera Voni generuyut statichnij potencial V v yakomu ruhayutsya elektroni Stacionarni stani opisuyutsya hvilovoyu funkciyeyu PS r 1 r N displaystyle Psi vec r 1 dots vec r N sho povinna zadovolnyati stacionarne rivnyannya Shredingera H PS T V U PS iN ℏ22mi i2 iNV r i i lt jNU r i r j PS EPS displaystyle hat H Psi left hat T hat V hat U right Psi left sum i N left frac hbar 2 2m i nabla i 2 right sum i N V vec r i sum i lt j N U vec r i vec r j right Psi E Psi de N displaystyle N kilkist elektroniv H displaystyle hat H gamiltonian E displaystyle E povna energiya T displaystyle hat T kinetichna energiya V displaystyle hat V zovnishnij potencial sho zadayetsya pozitivno zaryadzhenimi yadrami U displaystyle hat U potencial mizhelektronnoyi vzayemodiyi Operatori T displaystyle hat T ta U displaystyle hat U nazivayut universalnimi tomu sho voni odnakovi dlya bud yakoyi sistemi N displaystyle N elektroniv todi yak V displaystyle hat V zalezhit vid sistemi Cyu skladnu sistemu ne mozhna rozdiliti na prostishi odnoelektronni cherez mizhelektronnu vzayemodiyu U displaystyle hat U Rozrobleno bagato metodiv rozv yazuvannya rivnyannya Shredingera dlya bagatotilnih sistem osnovoyu yakih ye zadannya hvilovoyi funkciyi u viglyadi determinanta Slejtera Najprostishim iz nih ye metod Gartri Foka skladnishi zazvichaj nazivayut post Garti Fokivskimi metodami Skladnist cih metodiv u tomu sho voni vimagayut duzhe velikih obsyagiv obchislen a tomu yih praktichno nemozhlivo zastosovuvati do velikih skladnih sistem DFT proponuye privablivu alternativu zvodyachi zadachu bagatoh til z U displaystyle hat U do odnochastinkovoyi zadachi bez U displaystyle hat U Osnovnim parametrom DFT ye gustina elektroniv n r displaystyle n vec r zadana dlya normalizovanoyi hvilovoyi funkciyi PS displaystyle Psi formuloyu n r N d3r2 d3rNPS r r 2 r N PS r r 2 r N displaystyle n vec r N int rm d 3 r 2 cdots int rm d 3 r N Psi vec r vec r 2 dots vec r N Psi vec r vec r 2 dots vec r N Ce spivvidnoshennya mozhna obernuti tobto dlya bud yakoyi gustini elektroniv n0 r displaystyle n 0 vec r v osnovnomu stani zagalom mozhlivo znajti vidpovidnu hvilovu funkciyu osnovnogo stanu PS0 r 1 r N displaystyle Psi 0 vec r 1 dots vec r N Inshimi slovami PS displaystyle Psi ye yedinoyu PS0 PS n0 displaystyle Psi 0 Psi n 0 a otzhe dlya osnovnogo stanu ochikuvane znachennya sposterezhuvanoyi velichini O displaystyle hat O takozh ye funkcionalom n0 displaystyle n 0 O n0 PS n0 O PS n0 displaystyle O n 0 left langle Psi n 0 left hat O right Psi n 0 right rangle Zokrema energiya osnovnogo stanu ye funkcionalom vid n0 displaystyle n 0 E0 E n0 PS n0 T V U PS n0 displaystyle E 0 E n 0 left langle Psi n 0 left hat T hat V hat U right Psi n 0 right rangle de vnesok zovnishnogo potencialu PS n0 V PS n0 displaystyle left langle Psi n 0 left hat V right Psi n 0 right rangle mozhna zapisati bezposeredno cherez gustinu elektroniv v osnovnomu stani n0 displaystyle n 0 V n0 V r n0 r d3r displaystyle V n 0 int V vec r n 0 vec r rm d 3 r Uzagalnyuyuchi vnesok zovnishnogo potencialu PS V PS displaystyle left langle Psi left hat V right Psi right rangle zapisuyetsya bezposeredno cherez elektronnu gustinu n displaystyle n V n V r n r d3r displaystyle V n int V vec r n vec r rm d 3 r Funkcionali T n displaystyle T n ta U n displaystyle U n nazivayut universalnimi todi yak V n displaystyle V n ye neuniversalnim oskilki vin zalezhit vid sistemi Zadavshi sistemu tobto V displaystyle hat V potribno minimizuvati funkcional E n T n U n V r n r d3r displaystyle E n T n U n int V vec r n vec r rm d 3 r shodo n r displaystyle n vec r Uspishna minimizaciya funkcionala energiyi daye gustinu elektroniv n0 displaystyle n 0 v osnovnomu stani a cherez neyi inshi sposterezhuvani zminni Variacijnu zadachu minimizaciyi funkcionala energiyi E n displaystyle E n mozhna rozv yazati vikoristovuyuchi metod neviznachnih mnozhnikiv Lagranzha Spochatku rozglyadayetsya funkcional energiyi bez vrahuvannya elektron elektronnoyi vzayemodiyi Es n PSs n T V s PSs n displaystyle E s n left langle Psi s n left hat T hat V s right Psi s n right rangle de T displaystyle hat T poznachaye operator kinetichnoyi energiyi a V s displaystyle hat V s efektivnij zovnishnij potencial v yakomu chastinki ruhayutsya tak sho ns r def n r displaystyle n s vec r stackrel mathrm def n vec r Otzhe mozhna rozv yazuvati rivnyannya Kon Shema dlya ciyeyi dopomizhnoyi sistemi nezalezhnih chastinok ℏ22m 2 Vs r ϕi r ϵiϕi r displaystyle left frac hbar 2 2m nabla 2 V s vec r right phi i vec r epsilon i phi i vec r sho viznachaye orbitali ϕi displaystyle phi i yaki v svoyu chergu viznachayut gustinu n r displaystyle n vec r dlya vihidnoyi zadachi bagatoh til n r def ns r iN ϕi r 2 displaystyle n vec r stackrel mathrm def n s vec r sum i N left phi i vec r right 2 Detalnishe odnochastinkovij potencial zapisuyetsya yak Vs r V r e2ns r r r d3r VXC ns r displaystyle V s vec r V vec r int frac e 2 n s vec r vec r vec r rm d 3 r V rm XC n s vec r de drugij chlen nazivayut chlenom Gartri Vin opisuye kulonivske vidshtovhuvannya mizh elektronami a ostannij chlen VXC displaystyle V rm XC nazivayetsya obminno korelyacijnim potencialom Tut VXC displaystyle V rm XC mistit u sobi vsi bagatochastinkovi vzayemodiyi Oskilki chlen Gartri ta VXC displaystyle V rm XC zalezhat vid n r displaystyle n vec r yaka zalezhit ϕi displaystyle phi i sho v svoyu chergu zalezhit vid Vs displaystyle V s rozv yazuvannya rivnyannya Kon Shema treba rozv yazuvati samouzgodzheno tobto iterativno Zazvichaj pochinayut zi zdogadki shodo n r displaystyle n vec r todi rozrahovuyut vidpovidnij Vs displaystyle V s i rozv yazuyut rivnyannya Kona Shema shodo ϕi displaystyle phi i Na cij osnovi rozrahovuyut novu gustinu j pochinayut spochatku Cyu proceduru povtoryayut doki ne zbizhitsya Nablizhennya nezalezhnih chastinok nazivayut DFT ye alternativnim pidhodom do nogo Zauvazhennya 1 Odnoznachna vidpovidnist elektronnoyi gustini ta odnochastinkovogo potencialu ne duzhe gladka Vona mistit riznogo rodu neanalitichni strukturi Es n displaystyle E s n mistit singulyarnosti rozrivi ta rozgaluzhennya Ce mozhe nakladati obmezhennya na spodivannya zadannya obminno korelyacijnogo funkcionala analitichno 2 Mozhlivo uzagalniti ideyi zakladeni v DFT na funkciyu Grina G displaystyle G zamist elektronnoyi gustini n displaystyle n Ce nazivayut abo podibnimi do nogo Zapisuyetsya ce yak E G displaystyle E G Odnak G displaystyle G analizuyut ne na minimumi a na ekstremumi Ce mozhe stvoriti dodatkovi teoretichni ta praktichni skladnosti 3 Odnoznachnoyi vidpovidnosti mizh odnochastinkovoyu matriceyu gustini n r r displaystyle n vec r vec r ta odnochastinkovim potencialom V r r displaystyle V vec r vec r Usi vlasni znachennya n r r displaystyle n vec r vec r dorivnyuyut odinici Inshimi slovami ce pidhid zavershuyetsya chimos na kshtalt metodu Gartri Foka abo gibridnim pidhodom Relyativistska teoriyaTi zh teoremi mozhna dokazati u vipadku relyativistskih elektroniv otrimuyuchi uzagalnennya DFT Na vidminu vid nerelyativistskoyi teoriyi deyaki rezultati mozhna otrimati tochno Nehaj elektron u vodnepodibnomu atomi opisuyetsya rivnyannyam Diraka Gamiltonian H displaystyle H dlya elektrona u kulonivskomu potenciali maye viglyad v atomnih odinicyah H c a p eV mc2b displaystyle H c vec alpha cdot vec p eV mc 2 beta de V eZr displaystyle V frac eZ r kulonivskij potencial tochkovogo yadra p displaystyle vec p operator impulsu dlya elektrona e displaystyle e m displaystyle m ta c displaystyle c elektrichnij zaryad elektrona masa elektrona ta shvidkist svitla vidpovidno a a displaystyle vec alpha ta b displaystyle beta matrici Diraka 4 4 displaystyle 4 times 4 a 0s s 0 displaystyle vec alpha left begin array rr 0 amp vec sigma vec sigma amp 0 end array right b I00 I displaystyle beta left begin array rr I amp 0 0 amp I end array right Dlya znahodzhennya vlasnih funkcij i vidpovidnih energij vikoristovuyetsya rivnyannya HPS EPS displaystyle H Psi E Psi de PS PS 1 PS 2 PS 3 PS 4 T displaystyle Psi left Psi 1 Psi 2 Psi 3 Psi 4 right T ye chotirikomponentnoyu hvilovoyu funkciyeyu a E displaystyle E vidpovidne vlasne znachennya energiyi V statti pokazano sho zastosuvannya teoremi virialu do vlasnoyi funkciyi daye nastupnu formulu dlya vlasnoyi energiyi zv yazanogo stanu E mc2 PS b PS mc2 PS 1 2 PS 2 2 PS 3 2 PS 4 2dt displaystyle E mc 2 left langle Psi left beta right Psi right rangle mc 2 int Psi 1 2 Psi 2 2 Psi 3 2 Psi 4 2 d tau Analogichno zastosuvannya teoremi virialu do rivnyannya na viznachennya vlasnih funkcij dlya kvadratichnogo Gamiltoniana daye E2 m2c4 emc2 PS Vb PS displaystyle E 2 m 2 c 4 emc 2 left langle Psi left V beta right Psi right rangle Zrozumilo sho ci formuli ye riznovidom funkcionala gustini Pershu z nih mozhna uzagalniti na sistemu z bagatoh elektroniv Nablizhennya dlya obminno korelyacijnogo potencialuOsnovnim dzherelom trudnoshiv DFT ye te sho tochne znachennya fukcionaliv dlya obminnoyi vzayemodiyi ta elektronnih korelyacij vidomi tilki dlya gazu vilnih elektroniv Odnak isnuyut nablizhennya sho dozvolyayut provesti rozrahunki pevnih fizichnih sistem iz zadovilnoyu tochnistyu U fizici najbilsh vikoristovuyut nablizhennya lokalnoyi gustini LDA v yakomu funkcional zalezhit lishe vid gustini v tij tochci prostoru de jogo obchislyuyut EXCLDA n ϵXC n n r d3r displaystyle E rm XC rm LDA n int epsilon rm XC n n vec r rm d 3 r Ochevidnim uzagalnennyam ye nablizhennya lokalnoyi spinovoyi gustini v yakomu gustina elektroniv z riznimi proyekciyami spinu rozglyadayetsya okremo EXCLSDA n n ϵXC n n n r d3r displaystyle E rm XC rm LSDA n uparrow n downarrow int epsilon rm XC n uparrow n downarrow n vec r rm d 3 r Dovoli tochni formuli dlya gustini obminno korelyacijnoyi energiyi ϵXC n n displaystyle epsilon rm XC n uparrow n downarrow buli otrimani kvantovo mehanichnim metodom Monte Karlo v modeli zhele LDA pobudovana na pripushenni sho elektronna gustina vsyudi odnakova Tomu ce nablizhennya zazvichaj zavishuye obminno korelyacijnu energiyu Shob vipraviti cej nedolik dlya vrahuvannya neodnoridnosti realnoyi gustini elektroniv yiyi rozkladayut z vrahuvannyam gradiyentu Take nablizhennya nazivayut uzagalnim gradiyentnim GGA Vono maye formu EXCGGA n n ϵXC n n n n n r d3r displaystyle E XC rm GGA n uparrow n downarrow int epsilon XC n uparrow n downarrow vec nabla n uparrow vec nabla n downarrow n vec r rm d 3 r Vikoristannya GGA dozvolilo otrimati nepogani rezultati v rozrahunkah geometriyi molekul ta energiyi yihnih osnovnih staniv Potencijno she tochnishimi ye meta GGA funkcionali sho vklyuchayut drugi pohidni vid elektronnoyi gustini Funkcionalami cogo tipu ye napriklad TPSS ta Stadnist zadannya obminnoyi chastini energiyi mozhna polegshiti vikoristovuyuchi rezultati tochnih rozrahunkiv metodom Gartri Foka Funkcionali cogo tipu nazivayut gibridnimi Uzagalnennya z vrahuvannyam magnitnogo polyaOpisanij formalizm DFT ne pracyuye do riznogo stupenya za prisutnosti vektornogo potencialu tobto magnitnogo polya U takij situaciyi vtrachayetsya odnoznachna vidpovidnist mizh elektronnoyu gustinoyu v osnovnomu stani ta hvilovoyu funkciyeyu Uzagalnennya na vipadok magnitnogo polya priveli do dvoh riznih teorij funkcionala gustini strumu CDFT ta teoriyi gustini magnitnogo polya BDFT V oboh teoriyah obminno korelyacijnij chlen treba perepisati z vrahuvannyam ne tilki elektronnoyi gustini V suchasnomu formulyuvanni rozroblenomu ta Rasoltom funkcionali zalezhat yak vid elektronnoyi gustini tak i vid gustini paramagnitnogo strumu V teoriyi gustini magnitnogo polya Solsberi Grejsa ta Garrisa funkcionali zalezhat vid elektronnoyi gustini ta magnitnogo polya a yihnya forma mozhe zalezhati vid konfiguraciyi magnitnogo polya Obidvi teoriyi mayut skladnoshi z vihodom za ramki ekvivalentnih LDA nablizhen yaki nevazhko bulo b vikoristovuvati v rozrahunkah Novij pidhid Pana ta Sahni uzagalniv teoremu Goenberga Kona na zminni magnitni polya vikoristavshi yak osnovni zminni gustinu elektroniv ta gustinu elektronnogo strumu ZastosuvannyaIzopoverhnya elektronnoyi gustini v osnovnomu stani fulerenu C60 Rozrahunki metodom DFT Teoriya funkcionala gustini znahodit dedali bilshe zastosuvannya v himiyi ta materialoznavstvi de vona dozvolyaye interpretuvati j peredbachati povedinku skladnih sistem na atomnomu rivni Zokrema obchislyuvalni metodi DFT zastosovuyut dlya vivchennya sistem sintezu V takih sistemah eksperimentalni doslidzhennya chasto nashtovhuyutsya na rozbizhnosti v rezultatah ta na nerivnovazhnist Prikladi obchislen metodom DFT vklyuchayut doslidzhennya vplivu domishok na fazovi peretvorennya v oksidah povedinki napivmagnitnih napiprovidnikiv u magnitnomu poli ta doslidzhennya magnitnih j elektronnih vlastivostej segnetoelektrikiv Bulo pokazano takozh sho DFT daye nepogani rezultati v peredbachenni chutlivosti deyakih nanostruktur do zabrudnikiv povitrya na kshtalt SO2 abo akrolinu a takozh peredbachennya mehanichnih vlastivostej Na praktici teoriyu Kona Shama mozhna zastosovuvati po riznomu zalezhno vid ob yektu doslidzhen U tverdotilnih rozrahunkah dosi populyarne nablizhennya lokalnoyi gustini ta bazis iz ploskih hvil oskilki nablizhennya elektronnogo gazu pidhodit najkrashe dlya delokalizovanih elektroniv u neskinchennih tverdih tilah Dlya rozrahunku molekul potribni skladnishi potenciali tomu dlya himichnih zastosuvan rozrobleno riznomanitni obminno korelyacijni potenciali Deyaki z nih nesumisni z nablizhennyam odnoridnogo elektronnogo gazu odnak u granichnomu vipadku elektronnogo gazu voni povinni zvoditisya do LDA Fiziki mabut najchastishe vikoristovuyut pokrashenu model obminnoyi vzayemodiyi Perdyu Burke Erncergofa bezparametrichne uzagalnennya gradiyentnoyi parametrizaciyi elektronnogo gazu odnak dlya tochnih rozrahunkiv molekul v gazovij fazi takij pidhid nedostatno kalorimetrichno tochnij Sered himikiv populyarnij funkcional B3LYP za prizvishami Beke dlya obminu ta Li Yang i Parr dlya korelyacij She shirshe vikoristovuyutsya gibridni funkcionali v yakih energiya obminnoyi vzayemodiyi v comu vipadku beretsya obminnij funkcional Beke razom iz tochnoyu energiyeyu rozrahovanoyu metodom Gartri Foka Okrim komponent funkcionaliv obminu ta korelyacij ye tri parametri sho viznachayut gibridnij funkcional vkazuyuchi yaku chastinu tochnoyi obminnoyi vzayemodiyi vzyati Ci parametri pidbirayutsya zazvichaj pidgonkoyu na probnomu nabori molekul Na zhal hocha otrimani rezultati zazvichaj dovoli tochni dlya bilshosti zastosuvan nema sistematichnogo shlyahu do yihnogo pokrashennya na vidminu vid tradicijnih pidhodiv na osnovi hvilovih funkcij takih yak konfiguracijna vzayemodiya chi teoriya zv yazanih klasteriv Tomu v DFT nemozhlivo ociniti pohibku rozrahunkiv bez porivnyannya z inshimi metodami chi eksperimentom Teoremi Goenberga KonaTeoremi Goenberga Kona stosuyutsya dovilnih sistem sho skladayutsya z elektroniv yaki ruhayutsya v zovnishnomu potenciali Teorema 1 Zovnishnij potencial a z nim i povna energiya elektroniv ye odnoznachnim funkcionalom elektronnoyi gustini Yaksho na dvi sistemi elektroniv nakladeno potenciali v1 r displaystyle v 1 vec r na odnu ta v2 r displaystyle v 2 vec r na inshu mayut odnakovu elektronnu gustinu v osnovnomu stani n r displaystyle n vec r todi z neobhidnistyu v1 r v2 r const displaystyle v 1 vec r v 2 vec r text const Naslidok gustina elektroniv v osnovnomu stani odnoznachno viznachaye potencial a z nim usi vlastivosti sistemi vklyuchno z bagatochastinkovoyu hvilovoyu funkciyeyu Zokrema funkcional GK oznachenij yak F n T n U n displaystyle F n T n U n ye universalnim funkcionalom gustini ne zalezhit neyavno vid zovnishnogo potencialu Teorema 2 Funkcional sho viznachaye energiyu osnovnogo stanu sistemi daye najmenshu energiyu todi j tilki todi koli zadana nim gustina ye gustinoyu v osnovnomu stani Dlya bud yakogo cilogo dodatnogo chisla N displaystyle N ta potencialu v r displaystyle v vec r isnuye takij funkcional gustini F n displaystyle F n sho E v N n F n v r n r d3r displaystyle E v N n F n int v vec r n vec r d 3 r maye minimalnu energiyu pri gustini osnovnogo stanu N displaystyle N elektroniv u potenciali v r displaystyle v vec r Minimalne znachennya E v N n displaystyle E v N n todi ye energiyeyu osnovnogo stanu sistemi PsevdopotencialRivnyannya Shredingera dlya bagatoh elektroniv mozhna znachno sprostiti rozdilivshi yih na dvi grupi valentni ta vnutrishni elektroni atomnih ostoviv Elektroni vnutrishnih atomnih obolonok silno zv yazani voni ne vidigrayut znachnoyi roli v formuvanni himichnih zv yazkiv mizh atomami prote voni chastkovo ekranuyut pozitivno zaryadzhene yadro stvoryuyuchi navkolo nogo majzhe povnistyu inertnij ostov Zv yazki mizh atomami formuyut majzhe povnistyu valentni elektroni osoblivo v metalah ta napivprovidnikah Take rozdilennya navodit na dumku znehtuvati v bilshosti vipadkiv vnutrishnimi elektronami sho zvodit atom do jonnogo ostovu yakij vzayemodiye z valentnimi elektronami Ideyu vikoristovuvati efektivnij potencial yakij otrimav nazvu psevdopotencialu yak nablizhennya do znachennya potencialu sho jogo vidchuvayut valentni elektroni upershe zaproponuvav Enriko Fermi v 1934 ta Gellmann v 1935 Popri te sho psevdopotenciali znachno sproshuyut obchislennya pro neyi zabuli do kincya 1950 x Psevdopotenciali rozrahovani ab initio Vazhlivij krok do realistichnih psevdopotencialiv zrobili Topp ta Gopfild a piznishe Kronin Voni zaproponuvali buduvati psevdopotenciali tak shob ti mogli tochno opisuvati gustinu zaryadu valentnih elektroniv Vihodyachi z ciyeyi ideyi suchasni psevdopotenciali otrimuyut rozv yazuyuchi zvorotnyu zadachu Shredingera dlya vilnogo atoma dlya zadanoyi elektronnoyi konfiguraciyi i zmushuyuchi psevdo hvilovu funkciyu zbigtisya zi spravzhnoyu hvilovoyu funkciyeyu na vidstanyah sho perevishuyut pevnu vidstan rl displaystyle rl Psevdo funkciyi takozh normuyut za tiyeyu zh normoyu sho j spravzhni hvilovi funkciyi dlya valentnih elektroniv Mozhna zapisati Rlpp r RnlAE r displaystyle R rm l rm pp r R rm nl rm AE r 0rldr RlPP r 2r2 0rldr RnlAE r 2r2 displaystyle int 0 rl dr R rm l rm PP r 2 r 2 int 0 rl dr R rm nl rm AE r 2 r 2 de Rl r displaystyle R rm l r radialna chastinka hvilovoyi funkciyi z kutovim momentom l displaystyle l ta pp displaystyle pp i AE displaystyle AE poznachayut vidpovidno psevdo hvilovu funkciyu ta spravzhnyu hvilovu funkciyu rozrahovanu z vrahuvannyam usih elektroniv atoma Indeks n v spravzhnij hvilovij funkciyi poznachaye valentnist Vidstan rl displaystyle rl za mezhami yakoyi spravzhnya ta psevdo hvilovi funkciyi dorivnyuyut odna odnij takozh zalezhit vid l displaystyle l Rozmivannya rozpodilu elektronivV osnovnomu stani elektroni sistemi za principom aufbau zajmatimut najnizhchi odnoelektronni rivni do pevnoyi energiyi Ce vidpovidaye shodinkovomu rozpodilu Fermi Diraka pri nulovij temperaturi Yaksho ye kilka virodzhenih staniv na rivni Fermi mozhna otrimati zbizhnu zadachu oskilki virodzhennya mozhe znyatisya malim zburennyam Odnim zi sposobiv znyati neviznachenist ye rozmiti elektronnij rozpodil tobto dozvoliti drobove zapovnennya Odin shlyah nav yazati nenulovu temperaturu v rozpodili Fermi Diraka Inshi shlyahi vikoristati kumulyativnij rozpodil Gausa dlya elektroniv abo skoristatisya metodom Metfesselya Pakstona Programne zabezpechennyaDFT pidtrimuyut chasto razom iz inshimi metodami Div takozhRivnyannya Tomasa Fermi Rivnyannya Kona ShemaVinoskiAssadi M H N ta in 2013 Theoretical study on copper s energetics and magnetism in TiO2 polymorphs Journal of Applied Physics 113 23 233913 arXiv 1304 1854 Bibcode 2013JAP 113w3913A doi 10 1063 1 4811539 Van Mourik Tanja Gdanitz Robert J 2002 A critical note on density functional theory studies on rare gas dimers Journal of Chemical Physics 116 22 9620 9623 Bibcode 2002JChPh 116 9620V doi 10 1063 1 1476010 Vondrasek Jiri Bendova Lada Klusak Vojtech Hobza Pavel 2005 Unexpectedly strong energy stabilization inside the hydrophobic core of small protein rubredoxin mediated by aromatic residues correlated ab initio quantum chemical calculations Journal of the American Chemical Society 127 8 2615 2619 doi 10 1021 ja044607h PMID 15725017 Grimme Stefan 2006 Semiempirical hybrid density functional with perturbative second order correlation Journal of Chemical Physics 124 3 034108 Bibcode 2006JChPh 124c4108G doi 10 1063 1 2148954 PMID 16438568 Zimmerli Urs Parrinello Michele Koumoutsakos Petros 2004 Dispersion corrections to density functionals for water aromatic interactions Journal of Chemical Physics 120 6 2693 2699 Bibcode 2004JChPh 120 2693Z doi 10 1063 1 1637034 PMID 15268413 Grimme Stefan 2004 Accurate description of van der Waals complexes by density functional theory including empirical corrections Journal of Computational Chemistry 25 12 1463 1473 doi 10 1002 jcc 20078 PMID 15224390 Von Lilienfeld O Anatole Tavernelli Ivano Rothlisberger Ursula Sebastiani Daniel 2004 Optimization of effective atom centered potentials for London dispersion forces in density functional theory Physical Review Letters 93 15 153004 Bibcode 2004PhRvL 93o3004V doi 10 1103 PhysRevLett 93 153004 PMID 15524874 Tkatchenko Alexandre Scheffler Matthias 2009 Accurate Molecular Van Der Waals Interactions from Ground State Electron Density and Free Atom Reference Data Physical Review Letters 102 7 073005 Bibcode 2009PhRvL 102g3005T doi 10 1103 PhysRevLett 102 073005 PMID 19257665 Hohenberg Pierre Walter Kohn 1964 Inhomogeneous electron gas Physical Review 136 3B B864 B871 Bibcode 1964PhRv 136 864H doi 10 1103 PhysRev 136 B864 Levy Mel 1979 Universal variational functionals of electron densities first order density matrices and natural spin orbitals and solution of the v representability problem Proceedings of the National Academy of Sciences United States National Academy of Sciences 76 12 6062 6065 Bibcode 1979PNAS 76 6062L doi 10 1073 pnas 76 12 6062 Vignale G Mark Rasolt 1987 Density functional theory in strong magnetic fields Physical Review Letters American Physical Society 59 20 2360 2363 Bibcode 1987PhRvL 59 2360V doi 10 1103 PhysRevLett 59 2360 PMID 10035523 Kohn W Sham L J 1965 Self consistent equations including exchange and correlation effects Physical Review 140 4A A1133 A1138 Bibcode 1965PhRv 140 1133K doi 10 1103 PhysRev 140 A1133 M Brack 1983 Virial theorems for relativistic spin and spin 0 particles Phys Rev D 27 1950 doi 10 1103 physrevd 27 1950 K Koshelev 2015 About density functional theory interpretation arXiv 0812 2919 quant ph K Koshelev 2007 Alpha variation problem and q factor definition arXiv 0707 1146 physics atom ph Kieron Burke Lucas O Wagner 2013 DFT in a nutshell International Journal of Quantum Chemistry 113 2 96 doi 10 1002 qua 24259 John P Perdew Adrienn Ruzsinszky Jianmin Tao Viktor N Staroverov Gustavo Scuseria Gabor I Csonka 2005 Prescriptions for the design and selection of density functional approximations More constraint satisfaction with fewer fits Journal of Chemical Physics 123 6 062201 Bibcode 2005JChPh 123f2201P doi 10 1063 1 1904565 PMID 16122287 Becke Axel D 14 travnya 2014 The Journal of Chemical Physics 140 18 18A301 Bibcode 2014JChPh 140rA301B doi 10 1063 1 4869598 ISSN 0021 9606 PMID 24832308 Arhiv originalu za 15 serpnya 2016 Procitovano 11 kvitnya 2017 Perdew John P Chevary J A Vosko S H Jackson Koblar A Pederson Mark R Singh D J Fiolhais Carlos 1992 Atoms molecules solids and surfaces Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation Physical Review B 46 11 6671 Bibcode 1992PhRvB 46 6671P doi 10 1103 physrevb 46 6671 Becke Axel D 1988 Density functional exchange energy approximation with correct asymptotic behavior Physical Review A 38 6 3098 Bibcode 1988PhRvA 38 3098B doi 10 1103 physreva 38 3098 PMID 9900728 Langreth David C Mehl M J 1983 Beyond the local density approximation in calculations of ground state electronic properties Physical Review B 28 4 1809 Bibcode 1983PhRvB 28 1809L doi 10 1103 physrevb 28 1809 Grayce Christopher Robert Harris 1994 Magnetic field density functional theory Physical Review A 50 4 3089 3095 Bibcode 1994PhRvA 50 3089G doi 10 1103 PhysRevA 50 3089 PMID 9911249 Viraht Xiao Yin 2012 Hohenberg Kohn theorem including electron spin Physical Review A 86 4 042502 Bibcode 2012PhRvA 86d2502P doi 10 1103 physreva 86 042502 Segall M D Lindan P J 2002 First principles simulation ideas illustrations and the CASTEP code Journal of Physics Condensed Matter 14 11 2717 Bibcode 2002JPCM 14 2717S doi 10 1088 0953 8984 14 11 301 Hanaor Dorian A H Assadi Mohammed H N Li Sean Yu Aibing Sorrell Charles C 2012 Ab initio study of phase stability in doped TiO2 Computational Mechanics 50 2 185 194 doi 10 1007 s00466 012 0728 4 nedostupne posilannya Somayeh F Rastegar Hamed Soleymanabadi 1 sichnya 2014 Theoretical investigation on the selective detection of SO2 molecule by AlN nanosheets Journal of Molecular Modeling 20 9 doi 10 1007 s00894 014 2439 6 nedostupne posilannya z lipnya 2019 Somayeh F Rastegar Hamed Soleymanabadi 1 sichnya 2013 Journal of Molecular Modeling 19 9 3733 40 doi 10 1007 s00894 013 1898 5 PMID 23793719 Arhiv originalu za 16 sichnya 2017 Procitovano 12 kvitnya 2017 Music D Geyer R W Schneider J M 2016 Recent progress and new directions in density functional theory based design of hard coatings Surface amp Coatings Technology 286 178 doi 10 1016 j surfcoat 2015 12 021 Topp William C Hopfield John J 15 lyutogo 1973 Chemically Motivated Pseudopotential for Sodium Physical Review B 7 4 1295 1303 Bibcode 1973PhRvB 7 1295T doi 10 1103 PhysRevB 7 1295 Michelini M C Pis Diez R Jubert A H 25 chervnya 1998 International Journal of Quantum Chemistry 70 4 5 694 doi 10 1002 SICI 1097 461X 1998 70 4 5 lt 693 AID QUA15 gt 3 0 CO 2 3 Arhiv originalu za 31 zhovtnya 2016 Procitovano 21 zhovtnya 2016 VASP the GUIDE Arhiv originalu za 31 zhovtnya 2016 Procitovano 21 zhovtnya 2016 Tong Lianheng Metal CONQUEST Arhiv originalu za 31 zhovtnya 2016 Procitovano 21 zhovtnya 2016 Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi