В сферичній тригонометрії, теорема косинусів (також відома як правило косинусів для сторін) — формули відношення сторін і кутів сферичних трикутників, аналог теореми косинусів в тригонометрії на площині.
Нехай дана сфера з діаметром 1, сферичний трикутник на сфері визначається трьома великими колами, що поєднують три точки u , v і w на сфері (див. малюнок праворуч). Якщо довжини трьох сторін становлять a (від u' до v), b (від u до w) і c (від v до w), і кут навпроти c є C, тоді (перший) сферична теорема косинусів стверджує:
Через те, що це одинична сфера, довжини a, b і c просто дорівнюють кутам (в радіанах) утвореним радіусами сфери проведеними до кінців відповідної сторони (для не одиничної сфери довжини сторін дорівнюють добутку дугового кута на радіус). В особливому випадку, коли , тоді і ми отримуємо сферичний аналог теореми Піфагора:
Різновидом теореми косинусів, друга сферична теорема косинусів, (також відома як правило косинусів для кутів) стверджує:
де A та B це кути протилежні до сторін a і b, відповідно.
Для маленького сферичного трикутника, тобто для маленьких a, b і c, сферична теорема косинусів наближається до теореми косинусів на площині,
Помилка в цьому наближенні, може бути обчислена з ряду Тейлора для функцій косинуса та синуса, і становить:
Доведення
Доведення може бути побудоване наступним чином. Нехай u, v, і w означають одиничні вектори з центру сфери до кутів трикутника. Тоді, довжини (кути) сторін задаються як скалярні добутки:
Для отримання кута C, нам потрібен дотичні вектори ta і tb в u уздовж напрямків сторін a і b, відповідно. Наприклад, дотичний вектор ta це одиничний вектор перпендикулярний до u в площині u-v, напрямок якого задається компонентом v перпендикулярним до u. Це означає:
- .
Аналогічно,
Тоді кут C отримаємо як:
звідки негайно отримуємо теорему косинусів.
Як наслідок (легко отримати) другу теорему косинусів.
Теорема синусів для тригранного кута
.
Примітки
- W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
- Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, , Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
- Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. с. 83.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V sferichnij trigonometriyi teorema kosinusiv takozh vidoma yak pravilo kosinusiv dlya storin formuli vidnoshennya storin i kutiv sferichnih trikutnikiv analog teoremi kosinusiv v trigonometriyi na ploshini Sferichnij trikutnik Nehaj dana sfera z diametrom 1 sferichnij trikutnik na sferi viznachayetsya troma velikimi kolami sho poyednuyut tri tochki u v i w na sferi div malyunok pravoruch Yaksho dovzhini troh storin stanovlyat a vid u dov b vidudow ic vid v do w i kut navproti c ye C todi pershij sferichna teorema kosinusiv stverdzhuye cos c cos a cos b sin a sin b cos C displaystyle cos c cos a cos b sin a sin b cos C Cherez te sho ce odinichna sfera dovzhini a b i c prosto dorivnyuyut kutam v radianah utvorenim radiusami sferi provedenimi do kinciv vidpovidnoyi storoni dlya ne odinichnoyi sferi dovzhini storin dorivnyuyut dobutku dugovogo kuta na radius V osoblivomu vipadku koli C p 2 displaystyle C pi 2 todi cos C 0 displaystyle cos C 0 i mi otrimuyemo sferichnij analog teoremi Pifagora cos c cos a cos b displaystyle cos c cos a cos b Riznovidom teoremi kosinusiv druga sferichna teorema kosinusiv takozh vidoma yak pravilo kosinusiv dlya kutiv stverdzhuye cos A cos B cos C sin B sin C cos a displaystyle cos A cos B cos C sin B sin C cos a de A ta B ce kuti protilezhni do storin a i b vidpovidno Dlya malenkogo sferichnogo trikutnika tobto dlya malenkih a b i c sferichna teorema kosinusiv nablizhayetsya do teoremi kosinusiv na ploshini c 2 a 2 b 2 2 a b cos C displaystyle c 2 approx a 2 b 2 2ab cos C Pomilka v comu nablizhenni mozhe buti obchislena z ryadu Tejlora dlya funkcij kosinusa ta sinusa i stanovit O c 4 O a 3 b O a b 3 displaystyle O c 4 O a 3 b O ab 3 DovedennyaDovedennya mozhe buti pobudovane nastupnim chinom Nehaj u v i w oznachayut odinichni vektori z centru sferi do kutiv trikutnika Todi dovzhini kuti storin zadayutsya yak skalyarni dobutki cos a u v displaystyle cos a mathbf u cdot mathbf v cos b u w displaystyle cos b mathbf u cdot mathbf w cos c v w displaystyle cos c mathbf v cdot mathbf w Dlya otrimannya kuta C nam potriben dotichni vektori ta i tb v u uzdovzh napryamkiv storin a i b vidpovidno Napriklad dotichnij vektor ta ce odinichnij vektor perpendikulyarnij do u v ploshini u v napryamok yakogo zadayetsya komponentom v perpendikulyarnim do u Ce oznachaye t a v u u v v u u v v u cos a sin a displaystyle mathbf t a frac mathbf v mathbf u mathbf u cdot mathbf v left mathbf v mathbf u mathbf u cdot mathbf v right frac mathbf v mathbf u cos a sin a Analogichno t b w u cos b sin b displaystyle mathbf t b frac mathbf w mathbf u cos b sin b Todi kut C otrimayemo yak cos C t a t b cos c cos a cos b sin a sin b displaystyle cos C mathbf t a cdot mathbf t b frac cos c cos a cos b sin a sin b zvidki negajno otrimuyemo teoremu kosinusiv Yak naslidok legko otrimati drugu teoremu kosinusiv Teorema sinusiv dlya trigrannogo kutasin a sin A sin b sin B sin c sin C displaystyle sin a over sin A sin b over sin B sin c over sin C PrimitkiW Gellert S Gottwald M Hellwich H Kastner and H Kustner The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics 2nd ed ch 12 Van Nostrand Reinhold New York 1989 Romuald Ireneus Scibor Marchocki Elementary Geometry Trigonometry web page 1997 Reiman Istvan 1999 Geometria es hatarteruletei Szalay Konyvkiado es Kereskedohaz Kft s 83