Сфери́чна теоре́ма Піфаго́ра — теорема, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного сферичного трикутника.
Формулювання і доведення
Сферична теорема Піфагора формулюється так:
Косинус гіпотенузи прямокутного сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів його катетів. |
Доказ проведемо за допомогою тригранного кута OA1B1C1 зі сторонами (променями) OA1, OB1, OC1 і вершиною в точці O, плоскі кути A1OC1 і C1OB1 якого дорівнюють катетам b і a даного трикутника, плоский кут A1OB1 дорівнює його гіпотенузі c, двогранний кут між гранями A1OC1 і C1OB1 дорівнює 90 градусів, а інші два двогранних кути дорівнюють відповідним кутам прямокутного сферичного трикутника. Цей тригранний кут перетинає площина A1B1C1, перпендикулярна до променя OB1. Тоді кути A1C1O і A1C1B1 будуть прямими.
Зауважимо, що
Звідси
Що й потрібно було довести.
Якщо вважати, що сферичну теорему косинусів уже доведено, формулу для сферичної теореми Піфагора можна зразу отримати з неї, записавши сферичну теорему косинусів для гіпотенузи даного прямокутного сферичного трикутника і просто підставивши в отриманий вираз кут 90°, косинус якого дорівнює нулю.
Наслідки і застосування
За радіусу сфери, що прямує до нескінченності, сферична теорема Піфагора переходить у теорему Піфагора планіметрії. Тому, оскільки радіус Землі великий, за невеликих відстаней прямокутні трикутники на поверхні Землі (наприклад, використовувані для вимірювання відстаней і кутів на місцевості) практично підпорядковуються теоремі Піфагора планіметрії, тоді як для великих відстаней, порівнянних з радіусом Землі, вже необхідно застосовувати сферичну теорему Піфагора.
Застосувавши сферичну теорему Піфагора, можна отримати формули для різниці довгот і відстані між точками земної поверхні, а, отже, й відповідні формули для відстаней і координат точок на небесній сфері.
Зі сферичної теореми Піфагора випливає, що в прямокутному сферичному трикутнику кількість сторін, менших від 90°, непарна, а більших — парна. Тому якщо обидва катети прямокутного сферичного трикутника більші від 90°, то його гіпотенуза менша від 90°, тобто в цьому випадку гіпотенуза коротша від кожного з двох катетів — положення, неможливе для прямокутного трикутника на площині.
Історія
Сферична теорема Піфагора була відома ще Аль-Біруні, який разом з тим не знав сферичної теореми косинусів, тому застосував сферичну теорему Піфагора і теорему синусів для розв'язання принаймні двох задач: визначення різниці довгот двох пунктів на поверхні Землі за їх широтами і відстанню між ними і визначення відстані між двома пунктами на поверхні Землі за їх широтами і довготами .
Див. також
Примітки
- Степанов Н.Н. Сферическая теорема Пифагора // Сферическая тригонометрия. — М.—Л. : , 1948. — С. 42—44.
- John McCleary. [1] — Cambridge University Press, 1994. — С. 6. з джерела 22 січня 2021
- Розенфельд Б.А., Рожанская М.М. Астрономический труд Ал-Бируни «Канон Мас'уда» // . — М. : Наука, 1969. — Вип. X (16 червня). — С. 63—96. з джерела 10 вересня 2010. Процитовано 15 січня 2021.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Sferi chna teore ma Pifago ra teorema sho vstanovlyuye spivvidnoshennya mizh storonami pryamokutnogo sferichnogo trikutnika Pryamokutnij sferichnij trikutnik z gipotenuzoyu c katetami a i b i pryamim kutom C Formulyuvannya i dovedennyaSferichna teorema Pifagora formulyuyetsya tak Kosinus gipotenuzi pryamokutnogo sferichnogo trikutnika dorivnyuye dobutku kosinusiv jogo katetiv Malyunok do dovedennya sferichnoyi teoremi Pifagora Dokaz provedemo za dopomogoyu trigrannogo kuta OA1B1C1 zi storonami promenyami OA1 OB1 OC1 i vershinoyu v tochci O ploski kuti A1OC1 i C1OB1 yakogo dorivnyuyut katetam b i a danogo trikutnika ploskij kut A1OB1 dorivnyuye jogo gipotenuzi c dvogrannij kut mizh granyami A1OC1 i C1OB1 dorivnyuye 90 gradusiv a inshi dva dvogrannih kuti dorivnyuyut vidpovidnim kutam pryamokutnogo sferichnogo trikutnika Cej trigrannij kut peretinaye ploshina A1B1C1 perpendikulyarna do promenya OB1 Todi kuti A1C1O i A1C1B1 budut pryamimi Zauvazhimo sho OB1OA1 cos A1OB1 cos c displaystyle frac OB 1 OA 1 cos angle A 1 OB 1 cos c OC1OA1 cos A1OC1 cos b displaystyle frac OC 1 OA 1 cos angle A 1 OC 1 cos b OB1OC1 cos C1OB1 cos a displaystyle frac OB 1 OC 1 cos angle C 1 OB 1 cos a Zvidsi cos c OB1OA1 OB1OC1 OC1OA1 cos acos b displaystyle cos c frac OB 1 OA 1 frac OB 1 OC 1 cdot frac OC 1 OA 1 cos a cos b Sho j potribno bulo dovesti Yaksho vvazhati sho sferichnu teoremu kosinusiv uzhe dovedeno formulu dlya sferichnoyi teoremi Pifagora mozhna zrazu otrimati z neyi zapisavshi sferichnu teoremu kosinusiv dlya gipotenuzi danogo pryamokutnogo sferichnogo trikutnika i prosto pidstavivshi v otrimanij viraz kut 90 kosinus yakogo dorivnyuye nulyu Naslidki i zastosuvannyaZa radiusu sferi sho pryamuye do neskinchennosti sferichna teorema Pifagora perehodit u teoremu Pifagora planimetriyi Tomu oskilki radius Zemli velikij za nevelikih vidstanej pryamokutni trikutniki na poverhni Zemli napriklad vikoristovuvani dlya vimiryuvannya vidstanej i kutiv na miscevosti praktichno pidporyadkovuyutsya teoremi Pifagora planimetriyi todi yak dlya velikih vidstanej porivnyannih z radiusom Zemli vzhe neobhidno zastosovuvati sferichnu teoremu Pifagora Zastosuvavshi sferichnu teoremu Pifagora mozhna otrimati formuli dlya riznici dovgot i vidstani mizh tochkami zemnoyi poverhni a otzhe j vidpovidni formuli dlya vidstanej i koordinat tochok na nebesnij sferi Zi sferichnoyi teoremi Pifagora viplivaye sho v pryamokutnomu sferichnomu trikutniku kilkist storin menshih vid 90 neparna a bilshih parna Tomu yaksho obidva kateti pryamokutnogo sferichnogo trikutnika bilshi vid 90 to jogo gipotenuza mensha vid 90 tobto v comu vipadku gipotenuza korotsha vid kozhnogo z dvoh katetiv polozhennya nemozhlive dlya pryamokutnogo trikutnika na ploshini IstoriyaSferichna teorema Pifagora bula vidoma she Al Biruni yakij razom z tim ne znav sferichnoyi teoremi kosinusiv tomu zastosuvav sferichnu teoremu Pifagora i teoremu sinusiv dlya rozv yazannya prinajmni dvoh zadach viznachennya riznici dovgot dvoh punktiv na poverhni Zemli za yih shirotami i vidstannyu mizh nimi i viznachennya vidstani mizh dvoma punktami na poverhni Zemli za yih shirotami i dovgotami 81 Div takozhTeorema PifagoraPrimitkiStepanov N N Sfericheskaya teorema Pifagora Sfericheskaya trigonometriya M L 1948 S 42 44 John McCleary 1 Cambridge University Press 1994 S 6 z dzherela 22 sichnya 2021 Rozenfeld B A Rozhanskaya M M Astronomicheskij trud Al Biruni Kanon Mas uda M Nauka 1969 Vip X 16 chervnya S 63 96 z dzherela 10 veresnya 2010 Procitovano 15 sichnya 2021