Супутня матриця англ companion matrix нормованого многочлену p t c 0 c 1 t c n 1 t n 1 t n displaystyle p t c 0 c 1 t cd

Супутня матриця (англ. companion matrix) нормованого многочлену

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,

це квадратна матриця визначена як

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.

Коли $e_{i}$ - стандартний базис маємо

Ce_{i}=C^{i}e_{1}=e_{i+1}

В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.

Характеристики

Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен $C (p)$ дорівнює $p$ .

У певному сенсі, матриця $C (p)$ є «супутньою» до многочлена $p$ .

Якщо $A$ — n*n матриця з елементами з деякого поля $K$ , тоді наступні твердження тотожні:

$A$ — подібна супутній матриці її характеристичного многочлена над $K$
характеристичний многочлен матриці $A$ збігається з мінімальним многочленом матриці $A$ , тотожно мінімальний многочлен має степінь $n$
існує циклічний вектор $v$ у $V=K^{n}$ для $A$ , що означає, що {v, Av, A²v, ..., Aⁿ⁻¹v} — базис V.

Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені $A$ . Це буде Фробеніусова нормальна форма $A$ .

Зведення до діагонального виду

Якщо $p (t)$ має різні корені $λ 1, ..., λ n$ (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:

VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})

де $V$ — визначник Вандермонда відповідних $λ$ — коренів.

Лінійні рекурентні послідовності

Транспонована супутня матриця

C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}

характеристичного полінома

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,

породжує лінійну рекурентну послідовність $a_{0},a_{1},\dots ,a_{k},\dots$ , в такому сенсі

C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}},

де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь

a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}-\dots -c_{n-1}a_{k+n-1}

для усіх $k\geq 0$ .

Див. також

Теорема Гамільтона — Келі

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
(інші мови). Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
(інші мови), (інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)

Примітки

Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). . Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 146—147. ISBN . Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 10 лютого 2010.

[1] Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). . Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 146—147. ISBN . Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 10 лютого 2010.