Ізопериметри́чною ста́лою Чі́ґера компактного ріманового многовиду називають додатне дійсне число , що визначається через найменшу площу гіперповерхні, яка ділить на дві частини рівного об'єму, що не перетинаються. 1970 року Джеф Чіґер довів нерівність, що пов'язує перше нетривіальне власне число оператора Лапласа — Бельтрамі на з числом . Це доведення дуже вплинуло на ріманову геометрію і сприяло створенню аналогічної концепції в теорії графів.
Визначення
Нехай — -вимірний (замкнутий) ріманів многовид. Позначимо через об'єм довільного -вимірного підмноговиду ; через позначимо -вимірний об'єм підмноговиду (зазвичай у цьому контексті його називають «площею»). Тоді ізопериметрична стала Чіґера многовиду визначається як
де інфімум береться за всіма гладкими -вимірними підмноговидами многовиду , які ділять його на два неперетинних підмноговиди і . Ізопериметричну сталу можна визначити і для некомпактних ріманових многовидів скінченного об'єму.
Нерівність Чіґера
Стала Чіґера та найменше додатне власне число оператора Лапласа пов'язані такою фундаментальною нерівністю, яку довів Чіґер:
Ця нерівність оптимальна в такому сенсі: для будь-якого , натурального числа і існує двовимірний ріманів многовид з ізопериметричною сталою і такий, що -те власне число оператора Лапласа лежить на відстані не більше від межі Чіґера (Бузер, 1978).
Нерівність Бузера
Пітер Бузер знайшов вираз для верхньої межі через ізопериметричну константу . Нехай — -вимірний замкнутий ріманів многовид, кривина Річчі якого обмежена зверху числом де .
Тоді
Див. також
Посилання
- Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 MR0683635
- Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. MR0478248
- Джеф Чіґер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 MR0402831
- [en], Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Izoperimetri chnoyu sta loyu Chi gera kompaktnogo rimanovogo mnogovidu M displaystyle M nazivayut dodatne dijsne chislo h M displaystyle h M sho viznachayetsya cherez najmenshu ploshu giperpoverhni yaka dilit M displaystyle M na dvi chastini rivnogo ob yemu sho ne peretinayutsya 1970 roku Dzhef Chiger doviv nerivnist sho pov yazuye pershe netrivialne vlasne chislo operatora Laplasa Beltrami na M displaystyle M z chislom h M displaystyle h M Ce dovedennya duzhe vplinulo na rimanovu geometriyu i spriyalo stvorennyu analogichnoyi koncepciyi v teoriyi grafiv ViznachennyaNehaj M displaystyle M n displaystyle n vimirnij zamknutij rimaniv mnogovid Poznachimo cherez V A displaystyle V A ob yem dovilnogo n displaystyle n vimirnogo pidmnogovidu A displaystyle A cherez S E displaystyle S E poznachimo n 1 displaystyle n 1 vimirnij ob yem pidmnogovidu E displaystyle E zazvichaj u comu konteksti jogo nazivayut plosheyu Todi izoperimetrichna stala Chigera mnogovidu M displaystyle M viznachayetsya yak h M inf E S E min V A V B displaystyle h M inf E frac S E min V A V B de infimum beretsya za vsima gladkimi n 1 displaystyle n 1 vimirnimi pidmnogovidami E displaystyle E mnogovidu M displaystyle M yaki dilyat jogo na dva neperetinnih pidmnogovidi A displaystyle A i B displaystyle B Izoperimetrichnu stalu mozhna viznachiti i dlya nekompaktnih rimanovih mnogovidiv skinchennogo ob yemu Nerivnist ChigeraStala Chigera h M displaystyle h M ta najmenshe dodatne vlasne chislo operatora Laplasa l 1 M displaystyle lambda 1 M pov yazani takoyu fundamentalnoyu nerivnistyu yaku doviv Chiger l 1 M h 2 M 4 displaystyle lambda 1 M geq frac h 2 M 4 Cya nerivnist optimalna v takomu sensi dlya bud yakogo h gt 0 displaystyle h gt 0 naturalnogo chisla k displaystyle k i e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye dvovimirnij rimaniv mnogovid M displaystyle M z izoperimetrichnoyu staloyu h M h displaystyle h M h i takij sho k displaystyle k te vlasne chislo operatora Laplasa lezhit na vidstani ne bilshe e displaystyle varepsilon vid mezhi Chigera Buzer 1978 Nerivnist BuzeraPiter Buzer znajshov viraz dlya verhnoyi mezhi l 1 M displaystyle lambda 1 M cherez izoperimetrichnu konstantu h M displaystyle h M Nehaj M displaystyle M n displaystyle n vimirnij zamknutij rimaniv mnogovid krivina Richchi yakogo obmezhena zverhu chislom n 1 a 2 displaystyle n 1 a 2 de a 0 displaystyle a geq 0 Todi l 1 M 2 a n 1 h M 10 h 2 M displaystyle lambda 1 M leq 2a n 1 h M 10h 2 M Div takozhStala Chigera teoriya grafiv Izoperimetrichna nerivnistPosilannyaPeter Buser A note on the isoperimetric constant Ann Sci Ecole Norm Sup 4 15 1982 no 2 213 230 MR0683635 Peter Buser Uber eine Ungleichung von Cheeger Math Z 158 1978 no 3 245 252 MR0478248 Dzhef Chiger A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian Problems in analysis Papers dedicated to Salomon Bochner 1969 pp 195 199 Princeton Univ Press Princeton N J 1970 MR0402831 en Discrete groups expanding graphs and invariant measures Progress in Mathematics vol 125 Birkhauser Verlag Basel 1994