Ізопериметрична нерівність

Ізопериметричною нерівністю в математиці називають геометричну нерівність, в якій використовується площа поверхні множини та її об'єм. В ${\displaystyle n}$-вимірному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ нижня межа нерівності площі поверхні ${\displaystyle \mathrm {surf} (S)}$ множини ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ через її об'єм ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}$:

${\displaystyle \mathrm {surf} (S)\geqslant n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}$,

де ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — це одинична куля. Рівність досягається, коли ${\displaystyle S}$ буде кулею в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Зокрема, на евклідовій площині для замкненої кривої довжини L та обмеженою нею області площі А, виконується нерівність

${\displaystyle 4\pi A\leqslant L^{2},}$

і рівність має місце тоді і лише тоді, коли крива є колом.

Див. також

• Ізопериметричне відношення
• Теорема про планарне розбиття