Ряд Фур'є — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. Здебільшого як найпростіші використовуються тригонометричні функції синуса і косинуса. В цьому випадку ряд Фур'є називається тригонометричним, а обчислення такого ряду часто називають розкладом на .
Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.
Визначення
Класичне визначення
Тригонометричним рядом Фур'є називають функціональний ряд виду
Якщо ряд збігається, то його сума дорівнює періодичній функції з періодом , оскільки та є періодичними з періодом .
Сталі числа називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду:
Загальне визначення
Нехай дано ортонормований базис у Гільбертовому просторі та — довільний елемент з . Послідовність чисел
називається координатами, або коефіцієнтами Фур'є елемента по системі , а ряд
називається рядом Фур'є елемента по ортогональній системі .
Справедлива так звана нерівність Бесселя:
Якщо виконується рівність Парсеваля
- ,
то нормована система називається замкненою.
Справедливе твердження: в сепарабельному евклідовому просторі будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.
Збіжність ряду Фур'є
Теорема:
Якщо періодична функція з періодом — кусково-монотонна і обмежена на відрізку , то тригонометричний ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках. Сума одержаного ряду дорівнює значенню функції в точках її неперервності. В точках розриву сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції справа і зліва.
З цієї теореми випливає, що тригонометричні ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.
Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є
Теорема Діріхле. Якщо періодична з періодом , функція неперервна або має скінченну кількість точок розриву першого роду на відрізку і цей відрізок можна розбити на скінченну кількість частин, в кожній з яких монотонна, то ряд Фур'є відносно функції збігається до в точках неперервності і до середнього арифметичного односторонніх границь в точках розриву першого роду.
Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
, де
Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом виглядає так:
Нехай тепер — непарна функція з періодом , що задовольняє умові .
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
, де
Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом виглядає так:
Якщо функція розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку то
,
де
Якщо розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на , то довизначивши задану функцію відповідним чином на ; після чого періодично продовживши на , отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.
Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку , треба: довизначити і періодично продовжити, або довизначити на і періодично продовжити.
Комплексна форма ряду Фур'є
Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції , якщо визначається рівністю
, де
Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:
Формули дискретного перетворення Фур'є
Зворотне перетворення Фур'є
,
де
Дискретним перетворенням Фур'є називається N- вимірний вектор
при цьому,
Див. також
Література
- Теорія рядів : навч.-метод. посіб. [для підгот. бакалаврів за спец. "Фізика", "Прикладна фізика", "Астрономія"] / С. А. Щоголєв ; М-во освіти і науки України, Одес. нац. ун-т ім. І. І. Мечникова, Ін-т математики, економіки та механіки. – Одеса : ОНУ, 2015. – 74 с. – Бібліогр.: с. 73 (6 назв). –
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. : Высшая школа, 2006. — Т. 3. — 352 с.(рос.)
- Никольский С. М. Курс математического анализа. — М. : Наука, 1983. — Т. 2. — 448 с.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М. : Наука, 1978. — Т. 2. — 576 с.
- Рудин У. Основы математического анализа. — М. : Мир, 1976. — 320 с.
- Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. — М. : Мир, 1985. — 264+400 с.
Посилання
- Ряди Фур’є // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 539. — 594 с.
- Java-аплет, що демонструє розклад на гармоніки в інтерактивному режимі
Примітки
- Функція називається кусково-монотонною на певному відрізку, якщо цей відрізок може бути розбитий на скінченне число інтервалів так, що на кожному інтервалі функція буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ryad Fur ye sposib predstavlennya dovilnoyi skladnoyi funkciyi sumoyu prostishih V zagalnomu vipadku kilkist takih funkcij mozhe buti neskinchennoyu pri comu chim bilshe takih funkcij vrahovuyetsya pri rozrahunku tim vishoyu staye kinceva tochnist predstavlennya danoyi funkciyi Zdebilshogo yak najprostishi vikoristovuyutsya trigonometrichni funkciyi sinusa i kosinusa V comu vipadku ryad Fur ye nazivayetsya trigonometrichnim a obchislennya takogo ryadu chasto nazivayut rozkladom na Ryadi nazvani na chest francuzkogo matematika Zhana Batista Zhozefa Fur ye ViznachennyaKlasichne viznachennya Trigonometrichnim ryadom Fur ye nazivayut funkcionalnij ryad vidu a 0 2 n 1 a n cos n x b n sin n x displaystyle frac a 0 2 sum n 1 infty big a n cos nx b n sin nx big Yaksho ryad zbigayetsya to jogo suma dorivnyuye periodichnij funkciyi f x displaystyle f x z periodom 2 p displaystyle 2 pi oskilki sin n x displaystyle sin nx ta cos n x displaystyle cos nx ye periodichnimi z periodom 2 p displaystyle 2 pi Stali chisla a 0 a n b n n N displaystyle a 0 a n b n n in mathbb N nazivayutsya koeficiyentami trigonometrichnogo ryadu a n 1 p p p f x cos n x d x b n 1 p p p f x sin n x d x displaystyle a n frac 1 pi int limits pi pi f x cos nx dx qquad b n frac 1 pi int limits pi pi f x sin nx dx Zagalne viznachennya Nehaj dano ortonormovanij bazis f 1 f 2 f n displaystyle varphi 1 varphi 2 varphi n u Gilbertovomu prostori R displaystyle R ta f displaystyle f dovilnij element z R displaystyle R Poslidovnist chisel c k f f k f k 2 displaystyle c k frac langle f varphi k rangle varphi k 2 nazivayetsya koordinatami abo koeficiyentami Fur ye elementa f displaystyle f po sistemi f k displaystyle varphi k a ryad k c k f k displaystyle sum k c k varphi k nazivayetsya ryadom Fur ye elementa f displaystyle f po ortogonalnij sistemi f k displaystyle varphi k Spravedliva tak zvana nerivnist Besselya k 1 c k 2 f 2 displaystyle sum k 1 infty c k 2 leq f 2 Yaksho vikonuyetsya rivnist Parsevalya k 1 c k 2 f 2 displaystyle sum k 1 infty c k 2 f 2 to normovana sistema f k displaystyle varphi k nazivayetsya zamknenoyu Spravedlive tverdzhennya v separabelnomu evklidovomu prostori R displaystyle R bud yaka povna ortogonalna normovana sistema ye zamknenoyu i navpaki Zbizhnist ryadu Fur yeDokladnishe Oznaka Dini Zbizhnist ryadu Fur ye Teorema Yaksho periodichna funkciya f x displaystyle f x z periodom 2 p displaystyle 2 pi kuskovo monotonna i obmezhena na vidrizku p p displaystyle pi pi to trigonometrichnij ryad Fur ye pobudovanij dlya ciyeyi funkciyi zbigayetsya u vsih tochkah Suma oderzhanogo ryadu s x displaystyle s x dorivnyuye znachennyu funkciyi f x displaystyle f x v tochkah yiyi neperervnosti V tochkah rozrivu f x displaystyle f x suma ryadu dorivnyuye serednomu arifmetichnomu granic funkciyi f x displaystyle f x sprava i zliva Z ciyeyi teoremi viplivaye sho trigonometrichni ryadi Fur ye zastosovni do dostatno shirokogo klasu funkcij Dostatni oznaki rozkladu funkciyi v ryad Fur yeTeorema Dirihle Yaksho f x displaystyle f x periodichna z periodom 2 p displaystyle 2 pi funkciya neperervna abo maye skinchennu kilkist tochok rozrivu pershogo rodu na vidrizku p p displaystyle pi pi i cej vidrizok mozhna rozbiti na skinchennu kilkist chastin v kozhnij z yakih f x displaystyle f x monotonna to ryad Fur ye vidnosno funkciyi zbigayetsya do f x displaystyle f x v tochkah neperervnosti i do serednogo arifmetichnogo odnostoronnih granic v tochkah rozrivu pershogo rodu Ryadi Fur ye dlya parnih i neparnih funkcijNehaj f x parna funkciya z periodom 2L sho zadovolnyaye umovi f x f x Todi dlya koeficiyentiv yiyi ryadu Fur ye znahodimo formuli a 0 1 l l l f x d x 2 l 0 l f x d x displaystyle a 0 frac 1 l int limits l l f x dx frac 2 l int limits 0 l f x dx a n 1 l l l f x cos p n x l d x 2 l 0 l f x cos p n x l d x displaystyle a n frac 1 l int limits l l f x cos frac pi nx l dx frac 2 l int limits 0 l f x cos frac pi nx l dx b n 1 l l l f x sin p n x l d x 0 displaystyle b n frac 1 l int limits l l f x sin frac pi nx l dx 0 de n 1 2 displaystyle n 1 2 Takim chinom v ryadi Fur ye dlya parnoyi funkciyi vidsutni chleni z sinusami i ryad Fur ye dlya parnoyi funkciyi z periodom 2 L displaystyle 2L viglyadaye tak f x a 0 2 n 1 a n cos p n x l displaystyle f x frac a 0 2 sum n 1 infty a n cos frac pi nx l Nehaj teper f x displaystyle f x neparna funkciya z periodom 2 L displaystyle 2L sho zadovolnyaye umovi f x f x displaystyle f x f x Todi dlya koeficiyentiv yiyi ryadu Fur ye znahodimo formuli b n 2 l 0 l f x sin p n x l d x displaystyle b n frac 2 l int limits 0 l f x sin frac pi nx l dx de n 1 2 displaystyle n 1 2 Takim chinom v ryadi Fur ye dlya neparnoyi funkciyi vidsutnij vilnij chlen i chleni z kosinusami i ryad Fur ye dlya neparnoyi funkciyi z periodom 2 L displaystyle 2L viglyadaye tak f x n 1 b n sin p n x l displaystyle f x sum n 1 infty b n sin frac pi nx l Yaksho funkciya f x displaystyle f x rozkladayetsya v trigonometrichnij ryad Fur ye na promizhku p p displaystyle pi pi to f x a 0 2 n 1 a n cos n x b n sin n x displaystyle f x frac a 0 2 sum n 1 infty a n cos nx b n sin nx de a 0 1 p p p f x d x displaystyle a 0 frac 1 pi int limits pi pi f x dx a n 1 p p p f x cos n x d x displaystyle a n frac 1 pi int limits pi pi f x cos nxdx b n 1 p p p f x sin n x d x displaystyle b n frac 1 pi int limits pi pi f x sin nxdx Yaksho f x displaystyle f x rozkladayetsya v trigonometrichnij ryad Fur ye na 0 L displaystyle 0 L to doviznachivshi zadanu funkciyu f x displaystyle f x vidpovidnim chinom na L 0 displaystyle L 0 pislya chogo periodichno prodovzhivshi na T 2 L displaystyle T 2L otrimayemo novu funkciyu yaku rozkladayemo v novij ryad Fur ye Dlya rozkladu v ryad Fur ye neperiodichnoyi funkciyi zadanoyi na kincevomu dovilnomu promizhku a b displaystyle a b treba doviznachiti b a 2 L displaystyle b a 2L i periodichno prodovzhiti abo doviznachiti na b 2 L a displaystyle b 2L a i periodichno prodovzhiti Kompleksna forma ryadu Fur yeViraz c n e i p n x l displaystyle sum infty infty c n e frac i pi nx l nazivayetsya kompleksnoyu formoyu ryadu Fur ye funkciyi f x displaystyle f x yaksho viznachayetsya rivnistyu c n 1 2 l l l f x e i p n x l d x displaystyle c n frac 1 2l int limits l l f x e frac i pi nx l dx de n 0 1 2 displaystyle n 0 pm 1 pm 2 Perehid vid ryadu Fur ye v kompleksnij formi do ryadu v dijsnij formi i navpaki vikonuyetsya za dopomogoyu formul c n a n i b n 2 displaystyle c n frac a n ib n 2 c 0 a 0 2 displaystyle c 0 frac a 0 2 w 1 2 l l l f x d x displaystyle omega frac 1 2l int limits l l f x dx a n 2 R e c n displaystyle a n 2Rec n b n 2 I m c n displaystyle b n 2Imc n a 0 2 c 0 displaystyle a 0 2c 0 n 1 2 displaystyle n 1 2 Formuli diskretnogo peretvorennya Fur yeZvorotne peretvorennya Fur ye f t k 1 N k 0 N 1 C k e i 2 p k T t n displaystyle f t k frac 1 N sum k 0 N 1 C k blacklozenge e i frac 2 pi k T t n C n n 0 f x e i n 2 p T t n displaystyle C n blacklozenge sum n 0 infty f x e in frac 2 pi T t n de n 1 2 k 1 2 displaystyle n 1 2 k 1 2 Diskretnim peretvorennyam Fur ye nazivayetsya N vimirnij vektor C 0 C N 1 displaystyle C 0 blacklozenge C N 1 blacklozenge C n n 0 N 1 f t n e i 2 p n T t n displaystyle C n blacklozenge sum n 0 N 1 f t n e frac i2 pi n T t n pri comu C n C n N displaystyle C n frac C n N Div takozhGarmonichnij ryad zvukiv Peretvorennya Fur ye Ryad matematika Trigonometrichnij mnogochlen Shvidke peretvorennya Fur ye Teorema PersevalyaLiteraturaTeoriya ryadiv navch metod posib dlya pidgot bakalavriv za spec Fizika Prikladna fizika Astronomiya S A Shogolyev M vo osviti i nauki Ukrayini Odes nac un t im I I Mechnikova In t matematiki ekonomiki ta mehaniki Odesa ONU 2015 74 s Bibliogr s 73 6 nazv ISBN 978 617 689 122 2 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Kudryavcev L D Matematicheskij analiz M Vysshaya shkola 2006 T 3 352 s ros Nikolskij S M Kurs matematicheskogo analiza M Nauka 1983 T 2 448 s Piskunov N S Differencialnoe i integralnoe ischisleniya M Nauka 1978 T 2 576 s Rudin U Osnovy matematicheskogo analiza M Mir 1976 320 s Edvards R Ryady Fure v sovremennom izlozhenii M Mir 1985 264 400 s PosilannyaRyadi Fur ye Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 539 594 s Java aplet sho demonstruye rozklad na garmoniki v interaktivnomu rezhimiPrimitkiFunkciya nazivayetsya kuskovo monotonnoyu na pevnomu vidrizku yaksho cej vidrizok mozhe buti rozbitij na skinchenne chislo intervaliv tak sho na kozhnomu intervali funkciya bude nespadnoyu abo nezrostayuchoyu tobto monotonnoyu Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi