Піфагорова четвірка

Піфагорова четвірка — кортеж цілих чисел ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ таких, що ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$, при цьому d > 0. Піфагорова четвірка ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ визначає прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін |a|, |b| та |c|, діагональ якого має довжину d. Піфагорові четвірки також називають піфагоровими блоками.

Параметризація простих четвірок

Множина простих піфагорових четвірок, тобто тих, для яких НСД(a,b,c) = 1, має параметризацію

${\displaystyle a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},}$

${\displaystyle b=2(mq+np),}$

${\displaystyle c=2(nq-mp),}$

${\displaystyle d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},}$

де m, n, p, q — натуральні цілі, НСД(m,n,p,q) = 1 і m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким чином, усі прості піфагорові четвірки описує тотожність Лебега

${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$

Альтернативна параметризація

Всі піфагорові четвірки (включно з непростими та з повтореннями) можна отримати з двох натуральних чисел a і b в такий спосіб: Якщо ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ мають різну парність, візьмемо будь-який множник p числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ такий, що ${\displaystyle p^{2}<a^{2}+b^{2}}$. Тоді ${\displaystyle c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)}$ і ${\displaystyle d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).}$ Зауважимо, що ${\displaystyle p={d-c}.}$

Схожий метод існує для ${\displaystyle a,b}$ парних з додатковим обмеженням, що ${\displaystyle 2p}$ має бути парним дільником числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}.}$ Такого методу немає для випадку, коли обидва числа a і b непарні.

Властивості

Найбільше число, яке завжди ділить добуток abcd, дорівнює 12. Четвірка з найменшим добутком — (1, 2, 2, 3).

Зв'язок з кватерніонами та раціональними ортогональними матрицями

Проста піфагорова четвірка ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, параметризована за допомогою ${\displaystyle (m,n,p,q)}$, відповідає першому стовпцю матричного подання ${\displaystyle E(\alpha )}$ спряження ${\displaystyle \alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}}$ за допомогою кватерніона Гурвіца ${\displaystyle \alpha =m+ni+pj+qk}$, звуженого до підпростору ${\displaystyle \mathbb {H} }$, натягнутого на ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$

де стовпці попарно ортогональні і кожен має норму d. Більш того, ${\displaystyle {\frac {1}{d}}E(\alpha )}$ ${\displaystyle \in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )}$, і фактично всі 3 × 3 ортогональні матриці з раціональними коефіцієнтами з'являються в такий спосіб.

Піфагорові четвірки з нормою d<30

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29

Кубічні піфагорові четвірки

Існує окремий тип кубічних піфагорових четвірок (англ. Pythagorean cubic quadruples), тобто таких наборів натуральних чисел ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, які задовольняють рівняння:

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3}}$

Кубчні піфагорові четвірки можна згенерувати за допомогою спеціальних матриць. Кубічною піфагоровою четвіркою з найменшою нормою є: ${\displaystyle a=3;b=4;c=5;d=6}$. Іншими (але не єдиними) прикладами кубічних піфагорових четвірок є:

a	b	c	d
4	17	22	25
16	23	41	44
16	47	108	111
64	107	405	408
64	155	664	667

Див. також

• Числа Піфагора
• Теорема де Гуа
• Кватерніони і повороти простору
• Формула Ейлера — Родрігеса для обертання в тривимірному просторі
• Гіпотеза Ейлера
• Число таксі
• Задача про чотири куби
• Рівняння Якобі — Маддена

Примітки

1. R. A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Pythagorean boxes // Math. Magazine. — 2001. — Т. 74 (16 червня). — С. 222—227.
2. R. D. Carmichael. Diophantine Analysis. — New York : John Wiley & Sons, 1915. — Т. 16. — (MATHEMATICAL MONOGRAPHS)
3. L. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.
4. R. Spira. The diophantine equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}}$ // Amer. Math. Monthly. — 1962. — Т. 69 (16 червня). — С. 360—365.
5. Lebesgue Identity. оригіналу за 23 січня 2022. Процитовано 23 січня 2022.
6. В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. — М. : Учпедгиз, 1959. — С. 68.
7. Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96 (1 березня). — С. 91—96.
8. J. Cremona. Letter to the Editor // Amer. Math. Monthly. — 1987. — Т. 94 (16 червня). — С. 757—758.
9. Scheinman, Dr. Louis J. (1 лютого 2006). On the Solution of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation $x^3 + y^3 + z^3 = a^3$. Missouri Journal of Mathematical Sciences. Т. 18, № 1. doi:10.35834/2006/1801003. ISSN 0899-6180. Процитовано 19 січня 2024.
10. Mouanda, Joachim Moussounda (2023). On Matrix Solutions in M9(N) of the Cubic Pythagorean Diophantine Equation X^3 + Y^3 + Z^3 = D^3 (PDF) (англійською) . Blessington Christian University, Mathematics Department Nkayi, Республіка Конго: Blessington Christian University. с. 1—6.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Піфагорова четвірка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Тотожність Лебега(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Carmichael. Diophantine Analysis у проєкті «Гутенберг»