Задача про чотири куби

Задача про чотири куби полягає в знаходженні всіх цілочисельних розв'язків діофантового рівняння :

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.}$

Слід зазначити, що попри те, що запропоновано кілька повних розв'язків цього рівняння в раціональних числах, його повний розв'язок у цілих числах на 2018 рік невідомий.

Історія

Ще Платон знав, що сума кубів сторін піфагорійського трикутника також є кубом ${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$, про що він згадує в своїй «Державі».

Приклади цілочисельних розв'язків

Найменші натуральні розв'язки:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}}$

${\displaystyle 3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}}$

${\displaystyle 7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}}$

${\displaystyle 18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}}$

${\displaystyle 2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}}$

${\displaystyle 6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}}$

${\displaystyle 16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}}$

Якщо дозволити від'ємні значення, то мають місце рівності:

${\displaystyle -1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}}$

${\displaystyle -2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}}$

${\displaystyle -3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}}$

Повні раціональні параметризації

Ґ. Гарді і Райт (1938)

• ${\displaystyle x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}}$

  ${\displaystyle y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}}$

  ${\displaystyle z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}$

  ${\displaystyle w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}}$

Інші серії розв'язків

Леонард Ейлер (1740)

• ${\displaystyle x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})}$

  ${\displaystyle y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})}$

  ${\displaystyle z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}$

  ${\displaystyle w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}}$

Линник (1940)

• ${\displaystyle x=b(a^{6}-b^{6})}$

  ${\displaystyle y=a(a^{6}-b^{6})}$

  ${\displaystyle z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})}$

• ${\displaystyle x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}}$

  ${\displaystyle y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}}$

  ${\displaystyle z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}}$

  ${\displaystyle w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}}$

• ${\displaystyle x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}}$

  ${\displaystyle y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}}$

  ${\displaystyle z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}}$

  ${\displaystyle w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}}$

Roger Heath-Brown [1] [ 21 січня 2022 у Wayback Machine.] (1993)

• ${\displaystyle x=9a^{4}}$

  ${\displaystyle y=3a-9a^{4}}$

  ${\displaystyle z=1-9a^{3}}$

  ${\displaystyle w=1}$

^[ru] (1956)

• ${\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{4}}$

  ${\displaystyle z=-b^{4}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}$

• ${\displaystyle x=9a^{3}b-b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{4}-3ab^{3}}$

  ${\displaystyle z=b^{4}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}}$

• ${\displaystyle x=9a^{3}b+b^{4}}$

  ${\displaystyle y=9a^{3}b-b^{4}}$

  ${\displaystyle z=9a^{4}-3ab^{3}}$

  ${\displaystyle w=9a^{4}+3ab^{3}}$

Розв'язок, отриманий методом алгебричної геометрії

• ${\displaystyle x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9}$

  ${\displaystyle y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a}$

  ${\displaystyle z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9}$

  ${\displaystyle w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)}$

Рамануджан

• ${\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2}}$

  ${\displaystyle y=4a^{2}-4ab+6b^{2}}$

  ${\displaystyle z=5a^{2}-5ab-3b^{2}}$

  ${\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2}}$

• ${\displaystyle x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})}$

  ${\displaystyle y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}}$

  ${\displaystyle z=a^{6}-1-3b-3b^{2}}$

  ${\displaystyle w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)}$

• ${\displaystyle x=-a^{2}+9ab+b^{2}}$

  ${\displaystyle y=a^{2}+7ab-9b^{2}}$

  ${\displaystyle z=2a^{2}-4ab+12b^{2}}$

  ${\displaystyle w=2a^{2}+10b^{2}}$

Невідомий автор (1825)

• ${\displaystyle x=a^{9}-3^{6}}$

  ${\displaystyle y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}}$

  ${\displaystyle z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}}$

  ${\displaystyle w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a}$

^[ru] (1955)

• ${\displaystyle x=3888a^{10}-135a^{4}}$

  ${\displaystyle y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a}$

  ${\displaystyle z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1}$

  ${\displaystyle w=1}$

В. Б. Лабковський

• ${\displaystyle x=4b^{2}-11b-21}$

  ${\displaystyle y=3b^{2}+11b-28}$

  ${\displaystyle z=5b^{2}-7b+42}$

  ${\displaystyle w=6b^{2}-7b+35}$

Гарді і Райт

• ${\displaystyle x=a(a^{3}-2b^{3})}$

  ${\displaystyle y=b(2a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle z=b(a^{3}+b^{3})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{3}+b^{3})}$

• ${\displaystyle x=a(a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle y=b(a^{3}-b^{3})}$

  ${\displaystyle z=b(2a^{3}+b^{3})}$

  ${\displaystyle w=a(a^{3}+2b^{3})}$

Г. Александров (1972)

• ${\displaystyle x=7a^{2}+17ab-6b^{2}}$

  ${\displaystyle y=42a^{2}-17ab-b^{2}}$

  ${\displaystyle z=56a^{2}-35ab+9b^{2}}$

  ${\displaystyle w=63a^{2}-35ab+8b^{2}}$

• ${\displaystyle x=7a^{2}+17ab-17b^{2}}$

  ${\displaystyle y=17a^{2}-17ab-7b^{2}}$

  ${\displaystyle z=14a^{2}-20ab+20b^{2}}$

  ${\displaystyle w=20a^{2}-20ab+14b^{2}}$

• ${\displaystyle x=21a^{2}+23ab-19b^{2}}$

  ${\displaystyle y=19a^{2}-23ab-21b^{2}}$

  ${\displaystyle z=18a^{2}+4ab+28b^{2}}$

  ${\displaystyle w=28a^{2}+4ab+18b^{2}}$

• ${\displaystyle x=3a^{2}+41ab-37b^{2}}$

  ${\displaystyle y=37a^{2}-41ab-3b^{2}}$

  ${\displaystyle z=36a^{2}-68ab+46b^{2}}$

  ${\displaystyle w=46a^{2}-68ab+36b^{2}}$

• ${\displaystyle x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}}$

  ${\displaystyle y=36a^{2}-22ab+b^{2}}$

  ${\displaystyle z=40a^{2}-40ab+12b^{2}}$

  ${\displaystyle w=48a^{2}-40ab+10b^{2}}$

Ajai Choudhry (1998)

• ${\displaystyle dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b)c^{3},}$

  ${\displaystyle dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(a-b)c^{3}\},}$

  ${\displaystyle dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),}$

  ${\displaystyle dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},}$

де числа ${\displaystyle a,b,c}$ — довільні цілі, а число ${\displaystyle d\neq 0}$ вибрано так, щоб виконувалася умова ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1}$.

Коров'єв (2012)

• ${\displaystyle x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}$

  ${\displaystyle y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}$

  ${\displaystyle z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}}$

  ${\displaystyle w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}}$

де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\,,\,c}$ і ${\displaystyle d}$ — будь-які цілі числа.

Див. також

• Гіпотеза Ейлера
• Піфагорова четвірка
• Сума трьох кубів

Примітки

1. ^[en]. 6.4 Diophantine Equations of Degree 3 // Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations. — , 2007. — Т. 239. — () — .
2. Перельман Я.И. Занимательная алгебра / Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского. — Издание одиннадцатое. — Москва : Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1967. — С. 120—121.
3. Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — АСТ, 2015. — С. 110. — .
4. An introduction to the theory of numbers. — First ed. — Oxford : Oxford University Press, 1938.
5. Цитата из раздела «1.3.7 Уравнение ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3}}$» из книги Харди и Райта
6. Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes [ 21 липня 2020 у Wayback Machine.]. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251—1257.
7. У багатьох випадках числа ${\displaystyle x,y,z,w}$ мають спільні дільники. Щоб отримати примітивну четвірку чисел, досить скоротити кожне з чисел на їхній найбільший спільний дільник.

Література

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М. : Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• В. Серпинский. §15. Решение уравнений в рациональных числах // [2] — М. : Физматлит, 1961. — 88 с. з джерела 18 липня 2020
• E. Rowland. Known families of integer solutions to ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$. з джерела 27 вересня 2013.
• Решение Лабковского (Задание № 2) [ 28 вересня 2019 у Wayback Machine.]
• Сизый С. В. 20. Сравнения любой степени по простому модулю // [3] — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999. з джерела 1 лютого 2019
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.