У топології передбазою (або підбазою ) для топологічного простору X із топологією T називається підмножина B топології T, яка породжує T, тобто T є найменшою топологією, що містить B.
Означення
Нехай X — топологічний простір із топологією T. Передбазою T називається підмножина B топології T, яка задовольняє еквівалентним умовам:
- Підмножина B породжує топологію T. Тобто T є найменшою топологією, що містить B: будь-яка топологія T' на X, що містить B також містить T.
- Набір відкритих множин, що складається із усіх скінченних перетинів елементів B, разом із множиною X є базою для T. Іншими словами кожна власна відкрита множина у T є об'єднанням скінченних перетинів елементів B. Тобто для будь-якої точки x у відкритій множині U ⊆ X є скінченна кількість множин S1, ..., Sn із B перетин яких містить точку x і є підмножиною U.
Для будь-якої підмножин S булеана P(X) існує єдина топологія для якої S є передбазою. Ця топологія є перетином усіх топологій на X, що містять S. Натомість для заданої топології може бути багато різних передбаз.
Іноді в означенні передбази вимагається щоб B було покриттям X.
При цьому означенні дві властивості вище не завжди є еквівалентними. Існують простори X із топологією T, для яких існують підмножини B топології T і T є найменшою топологією, що містить B але B не є покриттям X. Проте такі простори є досить екзотичними; наприклад передбаза простору, що має принаймні дві точки і задовольняє аксіому T1 є покриттям цього простору.
Приклади
- Для звичайної топології дійсних R усі напівнескінченні відкриті інтервали виду (−∞,a) або (b,∞), де a і b є дійсними числами є передбазою. Вони породжують стандартну топологію оскільки перетини (a,b) = (−∞,b) ∩ (a,∞) для a < b утворюють базу топології. Іншу передбазу можна отримати якщо взяти підмножину напівнескінченних інтервалів для яких a і b є раціональними числами. У цьому випадку відкриті інтервали (a,b) де a, b є раціональними також утворюють базу для стандартної топології.
- Передбаза із напівнескінченних відкритих інтервалів виду (−∞,a), де a є дійсним числом не породжує стандартну топології. Породжена також передбазою топологія не задовольняє аксіому T1, оскільки всі відкриті множини мають непустий перетин.
- Якщо
є нескінченною множиною, то множина скінченних підмножин, із кількістю елементів
, тобто
- є передбазою дискретної топології, тобто топології
- Ініціальна топологія на X задана сім'єю функцій fi : X → Yi, де всі Yi є топологічними просторами є найслабшою топологією на X для якої всі fi є неперервними. Оскільки неперервність означається за допомогою прообразів відкритих множин то ініціальна топологія на X породжується передбазою елементами якої є fi−1(U), для всіх U, що є відкритими підмножинами для всіх Yi.
- Важливими окремими випадками попереднього прикладу є добуток топологічних просторів, де сім'єю функцій є множина проєкцій із добутку на кожен множник і топологічний підпростір, де сім'я складаються з єдиної функції включення.
- Для компактно-відкритої топології на просторі неперервних функцій із X у Y передбазою є, наприклад, множина елементами якої є множини функцій
для різних компактних підмножин K ⊆ X і відкритих підмножин U ⊆ Y.
Властивості
- За допомогою передбаз можна дати означення неперервності: відображення f : X → Y між топологічними просторами є неперервним тоді і тільки тоді, коли для кожної множини U із передбази A топологічного простору Y, прообраз відображення f−1(U) є відкритою множиною.
- . Нехай X є топологічним простором із передбазою B. Якщо кожне покриття елементами B має скінченне підпокриття, то простір є компактним.
Примітки
- Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods у Chemistry. John Wiley & Sons. с. 17. ISBN . Процитовано 13 червня 2013.
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет