Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.
Визначення
Перетворення Фур'є функції математично визначається як комплекснозначна функція
, яка задається інтегралом[1]
Обернене перетворення Фур'є задається виразом
Вступ
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTgzTHpjeUwwWnZkWEpwWlhKZmRISmhibk5tYjNKdFgzUnBiV1ZmWVc1a1gyWnlaWEYxWlc1amVWOWtiMjFoYVc1elh5VXlPSE50WVd4c0pUSTVMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності.
Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e2πiθ = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e2πiθ. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.
Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e2πiθ і e−2πiθ обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.
Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T/2, T/2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду cn задається як:
Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що
оскільки f (x) є нульовою за межами [−T/2, T/2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1/T, помножені на ширину сітки 1/T.
При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:
де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξn = n/T, і Δξ = n + 1/T − n/T = 1/T.
Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним.
При вивченні рядів Фур'є числа cn можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.
Властивості
Якщо задані інтегровні функції ,
та
та їхні відповідні перетворення Фур'є
,
та
, тоді самому перетворенню властиво наступне:
- Лінійність
- Для довільних комплексних чисел
та
, якщо
, тоді
- Трансляція
- Для довільного дійсного числа
, якщо
, тоді
- Модуляція
- Для довільного дійсного числа
, якщо
, тоді
.
- Масштабування
- Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо
, тоді
. Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо
, тоді
.
- Спряження
- Якщо
, тоді
- Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»
- Згортка
- Якщо
, тоді
Перетворення Фур'є узагальнених функцій
Цей розділ потребує додаткових для поліпшення його . (вересень 2016) |
Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):
Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.
Позначимо через спряжений простір до
. Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції
її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція
, яка діє на основні функції за правилом
Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:
Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку .
Перетворення Фур'є функцій багатьох змінних
Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) :
де and
—
-вимірні вектори, а
позначає скалярний добуток цих векторів.
Використання
Перетворення Фур'є застосовуються для отримання неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.
На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).
Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу має вигляд
,
де — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.
Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо
Оскільки
,
де — дельта-функція Дірака, інтегрування дає
,
де
.
Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи .
Таблиця образів деяких функцій
Цей розділ потребує додаткових для поліпшення його . (вересень 2016) |
У наступній таблиці и
позначають перетворення Фур'є функцій
і
, відповідно. Функцій
і
повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.
Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано .
Функція | Образ | Примітки | |
---|---|---|---|
1 | Лінійність | ||
2 | Запізнення | ||
3 | Частотний зсув | ||
4 | |||
5 | Перетворення Фур'є похідної | ||
6 | |||
7 | Перетворення згортки | ||
8 | Зворотнє до 7 | ||
9 | Перетворення дельта-функції Дірака | ||
10 | Зворотнє до 9 | ||
11 | Для | ||
12 | Наслідок з 3 і 10 | ||
13 | |||
14 | |||
15 | Образ функції Гауса | ||
16 | фільтр низьких частот, прямокутна функція | ||
17 | Тут | ||
18 | |||
19 | |||
20 | Тут |
Див. також
Примітки
↑ 1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти використовують лінійну частоту
, розподіляють множник
порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.
Джерела
- До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
- Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
- Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.
Література
- Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.
Примітки
- Taneja, 2008, с. 192.
- Stein та Shakarchi, 2003.
Посилання
- Fourier Series Applet
- An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Peretvorennya Fur ye integralne peretvorennya odniyeyi kompleksnoznachnoyi funkciyi dijsnoyi zminnoyi na inshu Tisno pov yazane z peretvorennyam Laplasa ta analogichne rozkladu u ryad Fur ye dlya neperiodichnih funkcij Ce peretvorennya rozkladaye danu funkciyu na oscilyatorni funkciyi Vikoristovuyetsya dlya togo shob rozrahuvati spektr chastot dlya signaliv zminnih u chasi yak ot mova abo elektrichna napruga Peretvorennya nazvano na chest francuzkogo matematika Zhana Batista Zhozefa Fur ye yakij vviv ponyattya v 1822 roci ViznachennyaPeretvorennya Fur ye funkciyi f t displaystyle f t matematichno viznachayetsya yak kompleksnoznachna funkciya F w displaystyle F omega yaka zadayetsya integralom 1 F w f t e iwtdt displaystyle F omega int infty infty f t e i omega t dt Obernene peretvorennya Fur ye zadayetsya virazom 12p F w eiwtdw f t displaystyle frac 1 2 pi int infty infty F omega e i omega t d omega f t VstupDiv takozh Analiz Fur ye U pershih kadrah animaciyi funkciya f rozkladena u ryad Fur ye linijnu kombinaciyu sinusiv i kosinusiv sinim Chastotni komponenti cih sinusiv i kosinusiv rozpodileni u chastotnomu spektri predstavleni yak vertikalni piki u chastotnij oblasti faktichno ce Delta funkciyi Diraka sho pokazani v ostannih kadrah animaciyi Predstavlennya funkciyi u chastotnij oblasti f ye mnozhinoyu cih pikiv iz chastotami sho pokazani v rozmirnosti funkciyi Peretvorennya Fur ye bere pochatok iz vivchennya ryadiv Fur ye Pri vivchenni ryadiv Fur ye skladni ale periodichni funkciyi zapisuyutsya u formi sumi prostih hvil sho matematichno zadayutsya funkciyami sinusiv i kosinusiv Peretvorennya Fur ye ye prodovzhennyam ryadiv Fur ye dlya vipadku koli period predstavlenoyi funkciyi podovzhenij i mozhe nablizhatisya do neskinchennosti Zavdyaki vlastivostyam sinusa i kosinusa za dopomogoyu integralu mozhna otrimati amplitudu kozhnoyi hvili ryadu Fur ye U bagatoh vipadkah bazhano vikoristovuvati formulu Ejlera yaka viznachaye sho e2pi8 cos 2p8 i sin 2p8 iz chogo viplivaye sho mozhna zadati ryad Fur ye cherez elementi bazovih hvil e2pi8 Ce daye zmogu sprostiti viraz pri rozrahunku bagatoh formul Predstavlennya sinusiv i kosinusiv u viglyadi kompleksnih eksponent privodit do togo sho koeficiyenti Fur ye ye kompleksnimi znachennyami Zazvichaj ce kompleksne predstavlennya chisla interpretuyut tak sho vono opisuye znachennya yak amplitudu abo rozmir hvili sho ye skladovoyu zadanoyi funkciyi i fazu abo pochatkovij kut hvili Ci kompleksni eksponenti inodi mistyat vid yemni chastoti Yaksho 8 vimiryuyetsya v sekundah todi hvili e2pi8 i e 2pi8 obidvi mayut odin povnij cikl dovzhinoyu v sekundu ale voni zadayut rizni chastoti v peretvorenni Fur ye Takim chinom chastota bilshe ne zadaye kilkist periodiv na odinicyu chasu ale dosi ye tisno pov yazanoyu Isnuye tisnij zv yazok mizh viznachennyam ryadiv Fur ye i peretvorennya Fur ye dlya funkcij f sho prijmayut nulove znachennya za mezhami intervalu Dlya takih funkcij mi mozhemo rozrahuvati ryad Fur ye na bud yakomu intervali sho mistit tochki de f ne ye nulovoyu Peretvorennya Fur ye takozh viznachene dlya takih funkcij Zi zbilshennyam dovzhini intervalu na yakomu mi rozrahovuyemo ryad Fur ye koeficiyenti ryadu Fur ye pochinayut buti shozhimi na peretvorennya Fur ye a suma ryadu Fur ye dlya f pochinaye buti shozhoyu na obernene peretvorennya Fur ye Abi poyasniti ce pripustimo sho T ye dostatno velikim takim sho interval T 2 T 2 mistit interval u yakomu f ne ye totozhno nulovoyu Todi n j koeficiyent ryadu cn zadayetsya yak cn 1T T2T2f x e 2pi nT xdx displaystyle c n frac 1 T int frac T 2 frac T 2 f x e 2 pi i left frac n T right x dx Porivnyavshi ce iz viznachennyam peretvorennya Fur ye otrimayemo sho cn 1Tf nT displaystyle c n frac 1 T hat f left frac n T right oskilki f x ye nulovoyu za mezhami T 2 T 2 Takim chinom koeficiyenti Fur ye ye lishe znachennyami peretvorennya Fur ye sho zadani dlya sitki shirinoyu v 1 T pomnozheni na shirinu sitki 1 T Pri pevnih umovah ryad Fur ye dlya f bude dorivnyuvati funkciyi f Inshimi slovami f mozhna zapisati yak f x n cne2pi nT x n f 3n e2pi3nxD3 displaystyle f x sum n infty infty c n e 2 pi i left frac n T right x sum n infty infty hat f xi n e 2 pi i xi n x Delta xi de ostannya suma ye pershoyu sumoyu yaku perepisano vikoristovuyuchi viznachennya 3n n T i D3 n 1 T n T 1 T Takim chinom druga suma ye sumoyu Rimana i tomu zadavshi T vona zbigatimetsya do integrala yakij vidpovidaye obernenomu peretvorennyu Fur ye zadanogo v rozdili viznachennya Pri pevnih umovah cej argument mozhe buti tochnim Pri vivchenni ryadiv Fur ye chisla cn mozhna rozglyadati yak kilkist prisutnosti hvili u ryadi Fur ye dlya f Analogichno yak vidno z opisanogo vishe peretvorennya Fur ye mozhna uyaviti yak funkciyu sho vimiryuye naskilki chitko okrema chastota prisutnya v nashij funkciyi f i mozhna poyednati ci hvili za dopomogoyu integralu abo neperervnoyi sumi abi vidtvoriti originalnu funkciyu VlastivostiYaksho zadani integrovni funkciyi f t displaystyle f t g t displaystyle g t ta h t displaystyle h t ta yihni vidpovidni peretvorennya Fur ye f w displaystyle hat f omega g w displaystyle hat g omega ta h w displaystyle hat h omega todi samomu peretvorennyu vlastivo nastupne Linijnist Dlya dovilnih kompleksnih chisel a displaystyle a ta b displaystyle b yaksho h t af t bg t displaystyle h t af t bg t todi h w a f w b g w displaystyle hat h omega a cdot hat f omega b cdot hat g omega Translyaciya Dlya dovilnogo dijsnogo chisla t0 displaystyle t 0 yaksho h t f t t0 displaystyle h t f t t0 todi h w e iwt0f w displaystyle hat h omega e i omega t 0 hat f omega Modulyaciya Dlya dovilnogo dijsnogo chisla w0 displaystyle omega 0 yaksho h t ew0tf t displaystyle h t e omega 0 t f t todi h w f w w0 displaystyle hat h omega hat f omega omega 0 Masshtabuvannya Dlya ne rivnogo nulyu dijsnogo chisla a yaksho h x f ax displaystyle h x f ax todi h 3 1 a f 3a displaystyle hat h xi frac 1 a hat f left frac xi a right Vipadok a 1 prizvodit do vlastivosti obernennya chasu zgidno z yakoyu yaksho h x f x displaystyle h x f x todi h 3 f 3 displaystyle hat h xi hat f xi Spryazhennya Yaksho h x f x displaystyle h x overline f x todi h 3 f 3 displaystyle hat h xi overline hat f xi Zokrema yaksho ƒ dijsne todi maye misce umova dijsnosti f 3 f 3 displaystyle hat f xi overline hat f xi Zgortka Yaksho h x f g x displaystyle h x left f g right x todi h 3 f 3 g 3 displaystyle hat h xi hat f xi cdot hat g xi Peretvorennya Fur ye uzagalnenih funkcijCej rozdil potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya jogo perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno veresen 2016 Peretvorennya Fur ye mozhna viznachiti dlya shirokogo klasu uzagalnenih funkcij Yak osnovnij prostir vibirayut prostir gladkih shvidkospadnih funkcij prostir Shvarca S R f C R n m Nxnf m x x 0 displaystyle S mathbb R left varphi in C infty mathbb R forall n m in mathbb N x n varphi m x xrightarrow x to infty 0 right Cej prostir ye invariantnim vidnosno peretvorennya Fur ye Poznachimo cherez S R displaystyle S mathbb R spryazhenij prostir do S R displaystyle S mathbb R Cej pidprostir prostoru vsih uzagalnenih funkcij nazivayetsya prostorom uzagalnenih funkcij povilnogo zrostannya Dlya dovilnoyi funkciyi f S R displaystyle f in S mathbb R yiyi peretvorennyam Fur ye nazivayetsya uzagalnena funkciya f S R displaystyle hat f in S mathbb R yaka diye na osnovni funkciyi za pravilom f f f f displaystyle langle hat f varphi rangle langle f hat varphi rangle Napriklad obchislimo peretvorennya Fur ye delta funkciyi d f d f d w f x e iwxdx f x e i 0 xdx f x 1dx 1 f displaystyle langle hat delta varphi rangle langle delta hat varphi rangle left langle delta omega int limits infty infty varphi x e i omega x dx right rangle int limits infty infty varphi x cdot e i cdot 0 cdot x dx int limits infty infty varphi x cdot 1 dx left langle 1 varphi right rangle Takim chinom peretvorennyam Fur ye delta funkciyi ye konstanta u comu vipadku 1 displaystyle 1 Peretvorennya Fur ye funkcij bagatoh zminnihPeretvorennya Fur ye mozhe buti oznachene dlya dovilnoyi kilkosti zminnih vimiriv n displaystyle n f 3 F f 3 Rnf x e i x 3 dx displaystyle hat f boldsymbol xi mathcal F f boldsymbol xi int mathbb R n f mathbf x e i mathbf x boldsymbol xi d mathbf x de x displaystyle x and 3 displaystyle boldsymbol xi n displaystyle n vimirni vektori a x 3 displaystyle mathbf x boldsymbol xi poznachaye skalyarnij dobutok cih vektoriv VikoristannyaPeretvorennya Fur ye zastosovuyutsya dlya otrimannya neperiodichnoyi funkciyi napriklad elektrichnogo signalu tobto dlya predstavlennya signalu u viglyadi sumi garmonichnih kolivan Pri comu vikoristovuyetsya vlastivist zgortki Na praktici ce mozhna pobachiti u vikoristanni sistemami rozpodilenogo obchislennya dlya poshuku mozhlivih signaliv pozazemnih civilizacij proekti SETI i vidpovidno SETI home Nehaj vidguk sistemi na zburennya u viglyadi signalu f t displaystyle f t maye viglyad g t 0 a t f t t dt displaystyle g t int 0 infty alpha tau f t tau d tau de a t displaystyle alpha tau pevna funkciya Takij zapis oznachaye sho vidguk sistemi zalezhit ne tilki vid momentalnogo znachennya zburennya a takozh vid togo zburennya yake bulo pevnij chas tomu i yake zminilo stan sistemi Zastosovuyuchi peretvorennya Fur ye do oboh chastin rivnyannya otrimuyemo G w e iwt 0 a t f t t dtdt 12p e iwt 0 a t F w eiw t t dw dtdt displaystyle G omega int infty infty e i omega t int 0 infty alpha tau f t tau d tau dt frac 1 2 pi int infty infty e i omega t int 0 infty alpha tau int infty infty F omega prime e i omega prime t tau d omega prime d tau dt Oskilki ei w w tdt 2pd w w displaystyle int infty infty e i omega prime omega t dt 2 pi delta omega prime omega de d x displaystyle delta x delta funkciya Diraka integruvannya daye G w A w F w displaystyle G omega mathrm A omega F omega de A w 0 a t eiwt displaystyle mathrm A omega int 0 infty alpha tau e i omega tau Vazhlivim visnovkom iz cogo peretvorennya ye te sho vihidnij spektr otrimuyetsya z vhidnogo prostim mnozhennyam na funkciyu vidkliku sistemi A w displaystyle mathrm A omega Tablicya obraziv deyakih funkcijCej rozdil potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya jogo perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno veresen 2016 U nastupnij tablici F w displaystyle F omega i G w displaystyle G omega poznachayut peretvorennya Fur ye funkcij f t displaystyle f t i g t displaystyle g t vidpovidno Funkcij f displaystyle f i g displaystyle g povinni buti integrovnimi abo uzagalnenimi funkciyami Yak mnozhnik pri integrali u formuli dlya pryamogo ta zvorotnogo peretvorennya Fur ye tut vibrano 1 2p displaystyle 1 sqrt 2 pi Funkciya Obraz Primitki1 af t bg t displaystyle af t bg t aF w bG w displaystyle aF omega bG omega Linijnist2 f t a displaystyle f t a e iwaF w displaystyle e i omega a F omega Zapiznennya3 eiatf t displaystyle e iat f t F w a displaystyle F omega a Chastotnij zsuv4 f at displaystyle f at a 1F wa displaystyle a 1 F left frac omega a right 5 dnf t dtn displaystyle frac d n f t dt n iw nF w displaystyle i omega n F omega Peretvorennya Fur ye pohidnoyi6 tnf t displaystyle t n f t indnF w dwn displaystyle i n frac d n F omega d omega n 7 f g t displaystyle f g t 2pF w G w displaystyle sqrt 2 pi F omega G omega Peretvorennya zgortki8 f t g t displaystyle f t g t F G w 2p displaystyle frac F G omega sqrt 2 pi Zvorotnye do 79 d t displaystyle delta t 12p displaystyle frac 1 sqrt 2 pi Peretvorennya delta funkciyi Diraka10 1 displaystyle 1 2pd w displaystyle sqrt 2 pi delta omega Zvorotnye do 911 tn displaystyle t n in2pd n w displaystyle i n sqrt 2 pi delta n omega Dlya n displaystyle n yi uzagalnenoyi pohidnoyi delta funkciyi12 eiat displaystyle e iat 2pd w a displaystyle sqrt 2 pi delta omega a Naslidok z 3 i 1013 cos at displaystyle cos at 2pd w a d w a 2 displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2 14 sin at displaystyle sin at 2pd w a d w a 2i displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2i 15 exp at2 displaystyle exp at 2 12aexp w24a displaystyle frac 1 sqrt 2a exp left frac omega 2 4a right Obraz funkciyi Gausa exp t2 2 displaystyle exp t 2 2 zbigayetsya z originalom funkciya nalezhit do prostoru Shvarca 16 W2psinc Wt displaystyle W sqrt frac 2 pi mathrm sinc Wt rect w2W displaystyle mathrm rect left frac omega 2W right filtr nizkih chastot pryamokutna funkciya17 1t displaystyle frac 1 t ip2sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 operatorname sgn omega Tut sgn w displaystyle operatorname sgn omega funkciya znaku 18 1tn displaystyle frac 1 t n ip2 iw n 1 n 1 sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 frac i omega n 1 n 1 operatorname sgn omega 19 sgn t displaystyle operatorname sgn t 2p iw 1 displaystyle sqrt frac 2 pi i omega 1 20 2p8 t displaystyle sqrt 2 pi theta t 1iw pd w displaystyle frac 1 i omega pi delta omega Tut 8 t displaystyle theta t Funkciya Gevisajda Div takozhRyad Fur ye Peretvorennya Laplasa Dvostoronnye peretvorennya Laplasa Shvidke peretvorennya Fur ye Diskretne peretvorennya Fur ye Spisok ob yektiv nazvanih na chest Zhozefa Fur ye Spryazheni zminniPrimitki 1 Isnuyut takozh inshi konvenciyi shodo oznachennya peretvorennya Fur ye v yakih zamist ciklichnoyi chastoti w displaystyle omega vikoristovuyut linijnu chastotu n displaystyle nu rozpodilyayut mnozhnik 1 2p displaystyle 1 2 pi porivno mizh pryamim ta obernenim peretvorennyam tosho Usi konvenciyi do pevnoyi miri ekvivalenti yaksho yih zastosovuvati poslidovno DzherelaDo metodu rozdilennya zminnih Fur ye Navch metod posib O S Gavriliv L Vid Tarasa Soroki 2009 32 c Peretvorennya Fur ye Laplasa uzagalnennya ta zastosuvannya navch metod posib dlya studentiv ta aspirantiv meh mat i prirodn spec VNZ G P Lopushanska A O Lopushanskij O M M yaus M vo osviti i nauki Ukrayini Lviv nac un t im I Franka Lviv LNU 2014 152 s Bibliogr s 147 152 90 nazv Bochner S Chandrasekharan K 1949 Fourier Transforms Princeton University Press Bracewell R N 2000 The Fourier Transform and Its Applications 3rd ed Boston McGraw Hill LiteraturaFunkciyi kompleksnoyi zminnoyi Peretvorennya Fur ye ta Laplasa Navch posib dlya stud tehn spec vish zakl osviti Ya I Dasyuk V S Ilkiv P I Kalenyuk P P Kostrobij Z M Nitrebich In t zmistu i metodiv navchannya L 1999 271 c Matematika dlya inzheneriv Bibliogr 20 nazv PrimitkiTaneja 2008 s 192 Stein ta Shakarchi 2003 PosilannyaPortal Matematika Fourier Series Applet An Interactive Guide To The Fourier Transform BetterExplained angl Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi