Двостороннє перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, тісно пов'язане з перетворенням Фур'є, перетворенням Мелліна, а також зі звичайним і одностороннім перетворенням Лапласа.
Визначення
Якщо є дійсною або комплексною функцією дійсної змінної , то двостороннє перетворення Лапласа задається формулою
Інтеграл у цьому визначенні мається на увазі невласним і збіжним тоді, коли існують
Іноді двосторонні перетворення записують у вигляді
Загалом, змінна може бути як дійсною, так і комплексною величиною.
Зв'язок з іншими інтегральними перетвореннями
- Якщо - функція Гевісайда, то звичайне перетворення Лапласа можна виразити через двостороннє формулою
-
- І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою
- І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою
- Перетворення Мелліна можна виразити через двостороннє перетворення Лапласа формулою
-
- І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою
- І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою
- Перетворення Фур'є можна визначити через двостороннє перетворення Лапласа формулою
Властивості
Часова область | Одностороння область | Двостороння область | |
---|---|---|---|
Перша похідна | |||
Друга похідна |
Література
- [en], Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
- van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dvostoronnye peretvorennya Laplasa integralne peretvorennya tisno pov yazane z peretvorennyam Fur ye peretvorennyam Mellina a takozh zi zvichajnim i odnostoronnim peretvorennyam Laplasa ViznachennyaYaksho f t displaystyle f t ye dijsnoyu abo kompleksnoyu funkciyeyu dijsnoyi zminnoyi t R displaystyle t in mathbb R to dvostoronnye peretvorennya Laplasa B f t displaystyle mathcal B left f t right zadayetsya formuloyu B f t F s e stf t dt displaystyle mathcal B left f t right F s int infty infty e st f t dt Integral u comu viznachenni mayetsya na uvazi nevlasnim i zbizhnim todi koli isnuyut 0 e stf t dt 0e stf t dt displaystyle left begin matrix int 0 infty e st f t dt int infty 0 e st f t dt end matrix right Inodi dvostoronni peretvorennya zapisuyut u viglyadi T f t sB f sF s s e stf t dt displaystyle mathcal T left f t right s mathcal B left f right sF s s int infty infty e st f t dt Zagalom zminna t displaystyle t mozhe buti yak dijsnoyu tak i kompleksnoyu velichinoyu Zv yazok z inshimi integralnimi peretvorennyamiYaksho u t displaystyle u t funkciya Gevisajda to zvichajne peretvorennya Laplasa L displaystyle mathcal L mozhna viraziti cherez dvostoronnye formuloyuL f t B f t u t displaystyle mathcal L left f t right mathcal B left f t u t right I navpaki z dvostoronnogo peretvorennya mozhna otrimati zvichajne za formuloyu Bf s Lf t s Lf t s displaystyle left mathcal B f right s left mathcal L f t right s left mathcal L f t right s dd dd Peretvorennya Mellina mozhna viraziti cherez dvostoronnye peretvorennya Laplasa formuloyu Mf s Bf e x s displaystyle left mathcal M f right s left mathcal B f e x right s I navpaki z dvostoronnogo peretvorennya mozhna otrimati peretvorennya Mellina za formuloyu Bf s Mf ln x s displaystyle left mathcal B f right s left mathcal M f ln x right s dd dd Peretvorennya Fur ye mozhna viznachiti cherez dvostoronnye peretvorennya Laplasa formuloyu Bf s Ff is displaystyle left mathcal B f right s left mathcal F f right is VlastivostiVlastivosti peretvoren Laplasa Chasova oblast Odnostoronnya oblast Dvostoronnya oblastPersha pohidna f t displaystyle f t sF s f 0 displaystyle sF s f 0 sF s displaystyle sF s Druga pohidna f t displaystyle f t s2F s sf 0 f 0 displaystyle s 2 F s sf 0 f 0 s2F s displaystyle s 2 F s Literatura en Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers Dover Publications 1980 van der Pol Balthasar and Bremmer H Operational Calculus Based on the Two Sided Laplace Integral Chelsea Pub Co 3rd edition 1987