Ортогональна система

Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, який узагальнює перпендикулярність векторів на білінйіні форми.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Визначення

Нехай ${\displaystyle R}$ — прегільбертів простір. Елементи ${\displaystyle x\in R}$, ${\displaystyle y\in R}$ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=0}$,

що позначається ${\displaystyle x\perp y}$.

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.

Якщо для системи векторів ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ простору ${\displaystyle R}$ визначник Грама дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

Докладніше: Ортогональні функції та Ортогональні поліноми

Дві дійсні функції ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle g(x)}$ є ортогональними одна щодо одної у інтервалі ${\displaystyle a\leq x\leq b,}$ якщо

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.}$

Скалярний добуток двох функцій можна ввести також і з деякою ваговою функцією w(x):

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

Подібно до векторів, набір функцій можна ортогоналізувати використовуючи, наприклад, процес Грама — Шмідта.

Норму можна визначити через скалярний добуток:

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

Див. також

• Перпендикулярність
• Базис (математика)
• Ряд Фур'є, Ряд Тейлора
• Ортогональна група
• Ортогональна матриця
• Ортогональність (хімія)

Посилання

1. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. : Высшая школа, 2004. — Т. 2. — 720 с.(рос.)
2. Кудрявцев Л. Д. с. 331

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)