Орбіта Кеплера

Кеплерові елементи — шість елементів орбіти, що визначають положення небесного тіла в просторі у задачі двох тіл:

• велика піввісь (${\displaystyle a\,\!}$),
• ексцентриситет (${\displaystyle e\,\!}$),
• нахил (${\displaystyle i\,\!}$),
• довгота висхідного вузла (${\displaystyle \Omega \,\!}$),
• аргумент перицентру (${\displaystyle \omega \,\!}$),
• середня аномалія (${\displaystyle M_{o}\,\!}$).

Кеплерівські елементи орбіти включаючи аргумент перицентра (рис.1)

Частини еліпса (рис.2)

Перші два визначають форму орбіти, третій, четвертий і п'ятий - орієнтацію площини орбіти по відношенню до базової системи координат, шостий - положення тіла на орбіті.

Велика піввісь

Велика піввісь — це половина головної осі еліпса ${\displaystyle |AB|}$ (позначена на рис.2 як a). В астрономії характеризує максимальну відстань небесного тіла від центру еліптичної орбіти.

Ексцентриситет

Ексцентрисите́т (позначаеться «${\displaystyle e}$» чи «ε») — числова характеристика конічного перетину. Ексцентриситет інваріантний щодо рухів площини і перетворень подібності. Ексцентриситет характеризує «стислість» орбіти. Він виражається за формулою:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$, де ${\displaystyle b}$ — мала піввісь (див. рис.2)

Можна розділити зовнішній вигляд орбіти на п'ять груп:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ — коло
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ — еліпс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ — парабола
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$ — гіпербола
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$ — пряма 

Нахил

A — Об'єкт
B — Центральний об'єкт
C — Площина відрахунку
D — Площина орбіти
 i  — Нахил

Нахил орбіти небесного тіла — це кут між площиною його орбіти і площиною відліку (базовою площиною).

Зазвичай позначається буквою i (від англ. Inclination). Нахил вимірюється в кутових градусах мінутах і секундах.

Якщо ${\displaystyle 0<i<90}$°, то рух небесного тіла називається прямим.

Якщо ${\displaystyle 90}$°${\displaystyle <i<180}$°, то рух небесного тіла називається зворотним.

У застосуванні до Сонячної системи, за площину відліку зазвичай вибирають площину орбіти Землі (площину екліптики). Площини орбіт інших планет Сонячної системи і Місяця відхиляються від площини екліптики лише на кілька градусів. 

Для штучних супутників Землі за площину відліку зазвичай вибирають площину екватора Землі. 

Для супутників інших планет Сонячної системи за площину відліку зазвичай вибирають площину екватора відповідної планети. 

Для екзопланет і подвійних зірок за площину відліку приймають картинну площину. Знаючи нахил двох орбіт до однієї площини відліку і довготи їх висхідних вузлів, можна обчислити кут між площинами цих двох орбіт - їх взаємний нахил за формулою косинуса кута.

Довгота висхідного вузла

Довгота висхідного вузла - один з основних елементів орбіти, що використовується для математичного опису орієнтації площини орбіти відносно базової площини. Визначає кут в базовій площині, утворений між базовим напрямком на нульову точку і напрямком на точку висхідного вузла орбіти, в якій орбіта перетинає базову площину в напрямку з півдня на північ.
 

Для визначення висхідного і спадного вузла вибирають деяку (так звану базову) площину, яка містить притягувальний центр. Як базову зазвичай використовують площину екліптики (рух планет, комет, астероїдів навколо Сонця) площина екватора планети (рух супутників навколо планети) і т. д. Нульова точка - Перша точка Овна (точка весняного рівнодення). Кут вимірюється від напрямку на нульову точку проти годинникової стрілки. Висхідний вузол позначається знаком ☊, чи Ω.

Аргумент перицентру

Аргуме́нт перице́нтру — визначається як кут між напрямками з притягувального центру на висхідний вузол орбіти і на перицентр (найближчу до притягувального центру точку орбіти супутника), або кут між лінією вузлів і лінією апсид. Відраховується з притягувального центру в напрямку руху супутника звичайно вибирається в межах 0°-360°.

При дослідженні екзопланет і подвійних зірок як базову використовують картинну площину - площину, що проходить через зірку і перпендикулярну променю спостереження зірки з Землі. Орбіта екзопланети в загальному випадку випадковим чином орієнтована щодо спостерігача, перетинає цю площину в двох точках. Точка, де планета перетинає картинну площину, наближаючись до спостерігача, вважається висхідним вузлом орбіти, а точка, де планета перетинає картинну площину, віддаляючись від спостерігача, вважається низхідним вузлом. У цьому випадку аргумент перицентру відраховується з притягувального центру проти годинникової стрілки.

Позначається (${\displaystyle \omega \,\!}$).

Замість аргументу перигелію часто використовується інший кут довгота перигелію що позначається як ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$. Він визначається, як сума довготи висхідного вузла і аргументу перигелію. Це - дещо незвичний кут, так як він вимірюється частково вздовж екліптики, а частково - уздовж орбітальної площини. Однак, часто він більш практичний, ніж аргумент перигелію, так як добре визначений навіть, коли нахил орбіти близько до нуля, коли напрямок на висхідний вузол стає невизначеним.

Середня аномалія

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і рішення рівняння Кеплера.

Аномалії (рис.3)

Середня аномалія для тіла, що рухається по незбуреній орбіті - добуток його середнього руху та інтервалу часу після проходження перицентру. Таким чином, середня аномалія - кутова відстань від перицентру гіпотетичного тіла, що рухається з постійною кутовою швидкістю, що дорівнює середньому руху.

Позначається буквою ${\displaystyle M}$ (від англ. mean anomaly)

У зоряної динаміці середня аномалія M обчислюється за такими формулами:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})\,\!}$

де:

• ${\displaystyle M_{0}\,\!}$ — середня аномалія на епоху ${\displaystyle t_{0}\,\!}$,
• ${\displaystyle t_{0}\,\!}$ — початкова епоха,
• ${\displaystyle t\,\!}$ — епоха, на яку здійснюються обчислення, і
• ${\displaystyle n\,\!}$ — середній рух.

Або через рівняння Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E\,\!}$

де:

• ${\displaystyle E\,\!}$ — ексцентрична аномалія (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e\,\!}$ — ексцентриситет.

Обчислення кеплерових елементів

Розглянемо наступну задачу: нехай є необуреним рух і відомі вектор положення ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ і вектор швидкості ${\displaystyle \mathbf {{\dot {r}}({{\dot {x}}_{0}},{{\dot {y}}_{0}},{{\dot {z}}_{0}})} }$ на момент часу ${\displaystyle t}$. Знайдемо кеплерові елементи орбіти.

Перш за все, обчислимо велику піввісь:

${\displaystyle r_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{0}^{2}={\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}}$

${\displaystyle r_{0}\cdot {\dot {r}}_{0}=x_{0}\cdot {\dot {x}}_{0}+y_{0}\cdot {\dot {y}}_{0}+z_{0}\cdot {\dot {z}}_{0}}$

За інтегралом енергії:

(1) ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$, де μ — гравітаційний параметр, що дорівнює добутку гравітаційної постійної на масу небесного тіла; для Землі μ = 3,986005·10⁵ км³/c², для Сонця μ = 1,32712438·10¹¹ км³/c².

Таким чином, по формулі (1) знаходимо ${\displaystyle a}$.

Примітки

1. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, [ 20 березня 2018 у Wayback Machine.] — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
2. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6.

Див. також

• Йоганн Кеплер
• Ексцентриситет