Обернена границя

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: границя.

Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт ${\displaystyle X}$ через множину однотипних об'єктів ${\displaystyle X_{i},}$ які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$. Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$,

${\displaystyle X=\projlim X_{i}}$.

Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.

Означення

Алгебричні структури

Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай ${\displaystyle I}$ — частково впорядкована множина ${\displaystyle \leqslant }$ (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента ${\displaystyle i\in I}$ задана деяка алгебрична система ${\displaystyle X_{i}}$ з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі ${\displaystyle (i,\;j)}$, такій що ${\displaystyle i,\;j\in I}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$ — гомоморфізм ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$, причому ${\displaystyle f_{ii}}$ — тотожні відображення для будь-якого ${\displaystyle i\in I}$ і ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ з ${\displaystyle I}$. Тоді проєктивна границя ${\displaystyle X}$ є за означенням підсистемою прямого добутку ${\displaystyle X_{i}}$ виду:

${\displaystyle \varprojlim X_{i}={\bigg \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\mid x_{i}=f_{ij}(x_{j})\forall i\leqslant j{\bigg \}}}$.

Існують канонічні проєкції ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$, які вибирають ${\displaystyle i}$-у компоненту прямого добутку для кожного ${\displaystyle i\in I}$. Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.

Загальний випадок

У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді ${\displaystyle X}$ називається проєктивною границею системи ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$, або ${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$, якщо виконані наступні умови:

1. Існує таке сімейство відображень ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$, що ${\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j}$;
2. Для будь-якого сімейства відображень ${\displaystyle \psi _{i}:Y\to X_{i}}$, довільної множини ${\displaystyle Y}$, для якої виконані рівності ${\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j}$, існує єдине відображення ${\displaystyle u:Y\to X}$, для якого ${\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u}$ , для всіх ${\displaystyle i\in I}$.

Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$.

Приклади

• Цілі ${\displaystyle p}$-адичні числа є проєктивною границею послідовності ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$ з природними відображеннями виду отримання залишку ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}\to \mathbb {Z} _{p^{m}}}$ при ${\displaystyle n\geqslant m}$.
• Кільце ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ формальних степеневих рядів над комутативним кільцем ${\displaystyle R}$ є проєктивною границею кілець ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$, індексованих натуральними числами, з природними проєкціями ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$.
• Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
• В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.

Див. також

• Індуктивна границя
• Залишково скінченна група

Джерела

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN , OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN , OCLC 40551485
• Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (вид. 2nd), Springer, ISBN 
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)