Матриця мас

В аналітичній механіці матриця мас — симетрична матриця M, яка виражає зв'язок між похідною за часом ${\displaystyle {\dot {q}}}$ вектора узагальнених координат ${\displaystyle q}$ системи та кінетичною енергією ${\displaystyle T}$ цієї системи за рівнянням

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}} }$

де ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}}$ позначає транспонування вектора ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$. Це рівняння аналогічне формулі для кінетичної енергії частинки з масою ${\displaystyle m}$ і швидкістю ${\displaystyle v}$, а саме

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v} }$

і може бути отримане з неї, якщо виразити положення кожної частинки системи через q.

У загальному випадку матриця мас М залежить від стану q і тому змінюється з часом.

Лагранжева механіка дає звичайне диференціальне рівняння (фактично, систему пов'язаних диференціальних рівнянь), яке описує еволюцію системи в термінах довільного вектора узагальнених координат, який повністю визначає положення кожної частинки в системі. Наведена вище формула кінетичної енергії є одним із членів цього рівняння, яке представляє загальну кінетичну енергію всіх частинок.

Приклади

Система мас в одному просторовому вимірі

Наприклад, розглянемо систему, що складається із двох точкових мас, обмежених прямою лінією. Стан цих систем можна описати вектором двох узагальнених координат, а саме положеннями двох частинок уздовж лінії.

${\displaystyle q={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$,

Припустимо, що частинки мають маси ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, кінетична енергія системи

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}}$

Цю формулу також можна записати як

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}}$

де

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

Система N тіл

У загальнішому випадку розглянемо систему ${\displaystyle N}$ частинок, позначених індексами i = 1, 2, …, N, де положення частинки з номером ${\displaystyle i}$ визначається ${\displaystyle n_{i}}$ вільними декартовими координатами (де ${\displaystyle n_{i}}$ дорівнює 1, 2 або 3). Нехай ${\displaystyle q}$ — вектор стовпця, що містить усі ці координати. Матриця мас ${\displaystyle M}$ являє собою діагональну блокову матрицю, де в кожному блоці діагональні елементи це маси відповідних частинок:

${\displaystyle M=\operatorname {diag} \left[m_{1}I_{n_{1}},\,m_{2}I_{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}I_{n_{N}}\right]}$

де ${\displaystyle I_{n_{i}}}$ — одинична матриця ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ або повніше:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}}$

Обертова гантеля

Оберотова гантеля

Як менш тривіальний приклад розглянемо два точкові об'єкти з масами ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, прикріплених до кінців жорсткого безмасового стрижня довжиною ${\displaystyle 2R}$, причому вузол може вільно обертатися і ковзати по фіксованій площині. Стан системи можна описати узагальненим координатним вектором

${\displaystyle q={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ — декартові координати середньої точки стрижня і ${\displaystyle \alpha }$ — кут між стрижнем і деяким довільним опорним напрямком. Положення та швидкості двох частинок

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}}$

та їх загальна кінетична енергія

${\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}}$

де ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ і ${\displaystyle d=m_{1}-m_{2}}$. Цю формулу можна записати у вигляді матриці

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}}$

де

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}}$

Зауважте, що матриця залежить від поточного кута ${\displaystyle \alpha }$ стрижня.

Механіка суцільних середовищ

Для дискретних наближень механіки суцільних середовищ, як у методі скінченних елементів може бути кілька способів побудови матриці мас, залежно від необхідної продуктивності обчислень і точності. Наприклад, метод із зосередженими масами, де деформація кожного елемента нехтується, створює діагональну матрицю мас і усуває необхідність інтегрувати масу за деформованим елементом.

Див. також

• Момент інерції
• Тензор енергії-імпульсу
• ^[en]

Посилання

1. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,
2. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008,