У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:
Наприклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:
На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:
тобто, як на матрицю Грама для степенів x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.
Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких методів. Наприклад, число обумовленості відносно — норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 105.
Історія
Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: «Нехай I = [a, b] — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл
був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?» Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина b − a інтервалу менше ніж 4.
Властивості
- Матриця Гільберта є симетричною додатно визначеною матрицею. Більш того, матриця Гільберта є матрицею.
- Матриця Гільберта є прикладом ганкелевої матриці.
- Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює
де
Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта — це зворотнє ціле число (див. послідовність послідовність A005249 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Цей факт випливає з рівності
Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:
де an сходиться до константи при , де A — постійна Глейшера-Кінкелина.
- Матриця, зворотня до матриці Гільберта, може бути виражена у явному вигляді через біноміальні коефіцієнти:
де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці — цілі числа.
- Число обумовленості матриці Гільберта n × n зростає як .
Вклад Давида Гільберта в науку
- Простори: Гільбертів простір, Передгільбертів простір, Гільбертів куб
- Аксіоматика: Аксіоматика Гільберта
- Теореми: Теорема Гільберта 90, Теорема Гільберта про базис, Теорема Гільберта про нулі, [ru]
- Оператори: Перетворення Гільберта, оператор Гільберта — Шмідта
- Загальна теорія відносності: Рівняння Ейнштейна-Гільберта
- Інше: Проблеми Гільберта, Крива Гільберта, Матриця Гільберта, [ru], Функція Гільберта, Парадокс Гільберта
Посилання
- Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms, [ru], Springer Netherlands, 18: 155—159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Передруковано в Hilbert, David. article 21. Collected papers. Т. II.
- Beckermann, Bernhard (2000). The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices. Numerische Mathematik. 85 (4): 553—577. doi:10.1007/PL00005392.
- Choi, M.-D. (1983). Tricks or Treats with the Hilbert Matrix. American Mathematical Monthly. 90 (5): 301—312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
- Todd, John (1954). The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109—116.
- Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U linijnij algebri matriceyu Gilberta bula vvedena Davidom Gilbertom u 1894 nazivayetsya kvadratna matricya H z elementami Hij 1i j 1 i j 1 2 3 n displaystyle H ij frac 1 i j 1 i j 1 2 3 n Napriklad matricya Gilberta 5 5 maye viglyad H 1121314151213141516131415161714151617181516171819 displaystyle H begin bmatrix 1 amp frac 1 2 amp frac 1 3 amp frac 1 4 amp frac 1 5 4pt frac 1 2 amp frac 1 3 amp frac 1 4 amp frac 1 5 amp frac 1 6 4pt frac 1 3 amp frac 1 4 amp frac 1 5 amp frac 1 6 amp frac 1 7 4pt frac 1 4 amp frac 1 5 amp frac 1 6 amp frac 1 7 amp frac 1 8 4pt frac 1 5 amp frac 1 6 amp frac 1 7 amp frac 1 8 amp frac 1 9 end bmatrix Na matricyu Gilberta mozhna podivitisya yak na matricyu otrimanu z integraliv Hij 01xi j 2dx displaystyle H ij int 0 1 x i j 2 dx tobto yak na matricyu Grama dlya stepeniv x Vona vinikaye pri aproksimaciyi funkcij polinomami metodom najmenshih kvadrativ Matricya Gilberta ye standartnim prikladom pogano obumovlenih matric sho robit yih nezruchnimi dlya obchislennya z dopomogoyu obchislyuvalno nestijkih metodiv Napriklad chislo obumovlenosti vidnosno 2 displaystyle left cdot right 2 normi dlya matrici sho navedena vishe dorivnyuye 4 8 105 IstoriyaGilbert 1894 vviv matricyu Gilberta pri vivchenni nastupnogo pitannya Nehaj I a b dijsnij interval Chi mozhlivo todi znajti nenulovij polinom P z cilochiselnimi koeficientami takij sho integral abP x 2dx displaystyle int a b P x 2 dx buv bi ne menshe bud yakogo zadanogo chisla e gt 0 Dlya vidpovidi na dane pitannya Gilbert viviv tochnu formulu dlya viznachnika matrici Gilberta ta doslidiv yiyi asimptotiku Vin zrobiv visnovok sho vidpovid pozitivna yaksho dovzhina b a intervalu menshe nizh 4 VlastivostiMatricya Gilberta ye simetrichnoyu dodatno viznachenoyu matriceyu Bilsh togo matricya Gilberta ye matriceyu Matricya Gilberta ye prikladom gankelevoyi matrici Viznachnik matrici Gilberta mozhe buti virazhenij v yavnomu viglyadi yak okremij vipadok viznachnika Koshi Viznachnik matrici Gilberta n n dorivnyuyedet H cn4c2n displaystyle det H c n 4 over c 2n de cn i 1n 1in i i 1n 1i displaystyle c n prod i 1 n 1 i n i prod i 1 n 1 i Vzhe Gilbert pomitiv cikavij fakt sho viznachnik matrici Gilberta ce zvorotnye cile chislo div poslidovnist poslidovnist A005249 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Cej fakt viplivaye z rivnosti 1det H c2ncn4 n i 12n 1 i i 2 displaystyle 1 over det H c 2n over c n 4 n cdot prod i 1 2n 1 i choose i 2 Koristuyuchis formuloyu Stirlinga mozhna vstanoviti nastupnij asimptotichnij rezultat det H ann 1 4 2p n4 n2 displaystyle det H approx a n n 1 4 2 pi n 4 n 2 de an shoditsya do konstanti e1 421 12A 3 0 6450 displaystyle e 1 4 2 1 12 A 3 approx 0 6450 pri n displaystyle n rightarrow infty de A postijna Glejshera Kinkelina Matricya zvorotnya do matrici Gilberta mozhe buti virazhena u yavnomu viglyadi cherez binomialni koeficiyenti H 1 ij 1 i j i j 1 n i 1n j n j 1n i i j 2i 1 2 displaystyle H 1 ij 1 i j i j 1 n i 1 choose n j n j 1 choose n i i j 2 choose i 1 2 de n poryadok matrici Takim chinom elementi zvorotnoyi matrici H 1 displaystyle H 1 cili chisla Chislo obumovlenosti matrici Gilberta n n zrostaye yak O 1 2 4n n displaystyle O 1 sqrt 2 4n sqrt n Vklad Davida Gilberta v naukuProstori Gilbertiv prostir Peredgilbertiv prostir Gilbertiv kub Aksiomatika Aksiomatika Gilberta Teoremi Teorema Gilberta 90 Teorema Gilberta pro bazis Teorema Gilberta pro nuli ru Operatori Peretvorennya Gilberta operator Gilberta Shmidta Zagalna teoriya vidnosnosti Rivnyannya Ejnshtejna Gilberta Inshe Problemi Gilberta Kriva Gilberta Matricya Gilberta ru Funkciya Gilberta Paradoks GilbertaPosilannyaHilbert David 1894 Ein Beitrag zur Theorie des Legendre schen Polynoms ru Springer Netherlands 18 155 159 doi 10 1007 BF02418278 ISSN 0001 5962 JFM 25 0817 02 Peredrukovano v Hilbert David article 21 Collected papers T II Beckermann Bernhard 2000 The condition number of real Vandermonde Krylov and positive definite Hankel matrices Numerische Mathematik 85 4 553 577 doi 10 1007 PL00005392 Choi M D 1983 Tricks or Treats with the Hilbert Matrix American Mathematical Monthly 90 5 301 312 doi 10 2307 2975779 JSTOR 2975779 Todd John 1954 The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 39 109 116 Wilf H S 1970 Finite Sections of Some Classical Inequalities Heidelberg Springer ISBN 3 540 04809 X