В обчислювальній математиці числова стійкість є зазвичай бажаною властивістю чисельних алгоритмів. Точне визначення стійкості залежить від контексту. Один з них — чисельна лінійна алгебра, інший — алгоритми розв'язування звичайних рівнянь і диференціальних рівнянь у часткових похідних за допомогою дискретного наближення.
У чисельній лінійній алгебрі основною проблемою є нестабільності, викликані близькістю до різних особливостей (singularity), таких як дуже малі або майже рівні власні значення. З іншого боку, в чисельних алгоритмах для диференціальних рівнянь проблема полягає в зростанні похибок округлення та/або спочатку невеликих флуктуацій у початкових даних, які можуть призвести до значного відхилення остаточної відповіді від точного розв'язку.
Деякі чисельні алгоритми можуть послабити невеликі відхилення (похибки) у вхідних даних; інші можуть збільшити такі похибки. Розрахунки, які, як можна довести, не збільшують помилок апроксимації, називають обчислювально стійкими. Одна з поширених задач чисельного аналізу — спробувати вибрати надійні алгоритми, тобто не дати дуже відмінного результату за дуже малої зміни вхідних даних.
Протилежним явищем є нестійкість. Як правило, алгоритм включає наближений метод, і в деяких випадках можна довести, що алгоритм буде наближатися до правильного розв'язку в деякій границі (за використання насправді дійсних чисел, а не чисел з рухомою комою). Навіть у цьому випадку немає гарантії, що він буде збігатися до правильного розв'язку, оскільки похибки округлення чисел із рухомою комою можуть зростати, а не зменшуватися, що призведе до експоненційного зростання відхилення від точного розв'язку.
Стійкість у чисельних методах лінійної алгебри
Існують різні способи формалізації концепції стійкості. У чисельній лінійній алгебрі використовують такі визначення прямої, зворотної та змішаної стійкості.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemt6TDBadmNuZGhjbVJmWVc1a1gySmhZMnQzWVhKa1gyVnljbTl5TG5OMlp5OHhOakp3ZUMxR2IzSjNZWEprWDJGdVpGOWlZV05yZDJGeVpGOWxjbkp2Y2k1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Розглянемо задачу, що розв'язується чисельним алгоритмом, як функцію f, що відображає дані x у розв'язок y. Результат алгоритму, скажімо, y*, зазвичай буде відхилятися від «істинного» розв'язку y. Основними причинами похибки є похибки округлення і [en]. Пряма похибка алгоритму — це різниця між результатом і розв'язком; у цьому випадку Δy = y* − y. Зворотна похибка є найменшою Δx такою, що f (x + Δx) = y*; іншими словами, зворотна похибка каже нам, яку задачу насправді розв'язав алгоритм. Пряма і зворотна похибки пов'язані (числом обумовленості): пряма похибка за модулем не більша, ніж число обумовленості, помножене на модуль зворотної похибки.
У багатьох випадках природніше враховувати відносну похибку
замість абсолютної похибки Δx.
- Алгоритм називають зворотно стійким, якщо зворотна похибка мала для всіх вхідних x.
Звичайно «малий» — це відносний термін, і його визначення залежить від контексту. Часто ми хочемо, щоб похибка була того ж порядку, або, можливо, на кілька порядків більшою, ніж (одиниця округлення).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlV6TDAxcGVHVmtYM04wWVdKcGJHbDBlVjlrYVdGbmNtRnRMbk4yWnk4eU1qQndlQzFOYVhobFpGOXpkR0ZpYVd4cGRIbGZaR2xoWjNKaGJTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Звичайне визначення числової стійкості використовує загальніше поняття змішаної стійкості, яка об'єднує пряму похибку і зворотну похибку. Алгоритм у цьому сенсі стійкий, якщо він приблизно розв'язує сусідню задачу, тобто якщо існує таке Δx, що і Δx мале, і f (x + Δx) − y* мале. Отже, зворотно стійкий алгоритм завжди стійкий.
- Алгоритм є стійким у прямому напрямку, якщо його пряма похибка, поділена на число обумовленості задачі, мала.
Це означає, що алгоритм є стійким у прямому напрямку, якщо він має пряму похибку величини, аналогічну зворотній похибці деякого зворотно стійкого алгоритму.
Стійкість різницевих схем диференціальних рівнянь
Наведені вище визначення особливо актуальні в ситуаціях, коли похибки відкидання не важливі. В інших контекстах, наприклад, при розв'язуванні диференціальних рівнянь, використовується інше визначення чисельної стійкості.
У чисельних звичайних диференціальних рівняннях присутні різні поняття чисельної стійкості, наприклад, (A-стійкість). При розв'язуванні (жорсткого рівняння) важливо використовувати стійкий метод.
Ще одне визначення використовується в чисельних рівняннях у часткових похідних. Алгоритм розв'язування лінійного еволюційного рівняння в часткових похідних є стійким, якщо повна варіація чисельного розв'язку у фіксований час залишається обмеженою, коли розмір кроку наближається до нуля. [en] стверджує, що алгоритм збігається, якщо він узгоджений і стійкий (у цьому сенсі). Стійкість іноді досягається включенням [en]. Чисельна дифузія — це математичний термін, який означає, що округлення та інші похибки в обчисленнях розпорошуються і не підсумовуються, а тому не спричиняють «вибуху» обчислень. [en] широко застосовують для аналізу стійкості скінченно-різницевих схем стосовно лінійних рівнянь у часткових похідних. Ці результати не виконуються для нелінійних рівнянь у часткових похідних, де загальне несуперечливе визначення стійкості ускладнюється багатьма властивостями, відсутніми в лінійних рівняннях.
Див. також
- (Число обумовленості)
- Число з рухомою комою
- Нерухома кома
Примітки
- Giesela Engeln-Müllges; Frank Uhlig (2 липня 1996). Numerical Algorithms with C. M. Schon (Translator), F. Uhlig (Translator) (вид. 1). Springer. с. 10. ISBN .
Література
- Е. А. Волков. Численные методы. — М. : Наука, 1987. — 248 с. — 36000 прим. (рос.)
- А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. — М. : Наука, 1989. — 432 с. (рос.)
- Lloyd N. Trefethen. Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. — 1996.
- (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Philadelphia: Society of Industrial and Applied Mathematics. ISBN .
- Richard L. Burden; J. Douglas Faires (2005). Numerical Analysis (вид. 8th). U.S.: Thomson Brooks/Cole. ISBN .
- Mesnard, Olivier; Barba, Lorena A. (2016). Reproducible and replicable CFD: It's harder than you think. arXiv:1605.04339 [physics.comp-ph].
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет