Матриця Коші

В математиці, матриця Коші (названа в честь Огюстена Луї Коші) — це m×n-матриця з елементами вигляду:

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leqslant i\leqslant m,\quad 1\leqslant j\leqslant n}$

де ${\displaystyle x_{i}}$ та ${\displaystyle y_{j}}$ є елементами поля ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, а послідовності ${\displaystyle (x_{i})}$ та ${\displaystyle (y_{j})}$ таких елементів є ін'єкційними (не містять повторюваних елементів).

Матриця Гільберта є окремим випадком матриці Коші при

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

Кожна підматриця (матриця, яка виходить в результаті викреслювання певного рядка і стовпця) матриці Коші також є матрицею Коші.

Визначники Коші

Визначник квадратної матриці Коші є раціональної функцією параметрів ${\displaystyle (x_{i})}$ та ${\displaystyle (y_{j})}$. Якщо ці послідовності не ін'єктівні, то визначник дорівнює нулю. Якщо деякі ${\displaystyle x_{i}}$ прямують до ${\displaystyle y_{j}}$, то визначник прямує до нескінченності. Таким чином, частина множин нулів і полюсів визначника Коші заздалегідь відома. Насправді інших нулів і полюсів немає.

Явний вигляд визначника квадратної матриці Коші A, або просто визначник Коші:

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$     (Schechter 1959, eqn 4).

Він завжди не дорівнює нулю, таким чином, матриці Коші є оборотними. Обернена матриця A⁻¹ =B= [b_ij] має вигляд:

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$     (Schechter 1959, Theorem 1)

де A_i(x) и B_i(x) — многочлени Лагранжа для послідовностей ${\displaystyle (x_{i})}$ і ${\displaystyle (y_{j})}$, відповідно. Тобто

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}}$ і ${\displaystyle \quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

де

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$ і ${\displaystyle \quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

Узагальнення

Матриця C називається матрицею типу Коші, якщо вона має вигляд

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

Позначивши X=diag(x_i), Y=diag(y_i), отримаємо, що матриці типу Коші (зокрема, просто матриці Коші) задовольняють зміщеному рівнянню:

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(в разі матриць Коші ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$). Відповідно матриці типу Коші мають загальну зміщену структуру, що може бути використано при роботі з такими матрицями. Наприклад, відомі алгоритми для

• наближеного множення матриці Коші на вектор за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операцій,
• LU-розкладання за ${\displaystyle O(n^{2})}$ операцій (алгоритм GKO), і відповідний алгоритм рішення систем лінійних рівнянь з такими матрицями,
• нестійкі алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь за ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ операцій.

Через ${\displaystyle n}$ позначений розмір матриці (зазвичай мають справу з квадратними матрицями, хоча всі вищенаведені алгоритми легко можуть бути узагальнені на прямокутні матриці).

Див. також

• Матриці Тепліца

Посилання

• A. Gerasoulis (1988). (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179—188. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557—1576. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741—752. Архів оригіналу (PDF) за 27 вересня 2011. Процитовано 30 жовтня 2014.
• S. Schechter (1959). (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73—77. Архів оригіналу (PDF) за 24 жовтня 2012. Процитовано 30 жовтня 2014.