Математичне очікування

Математи́чне сподіва́ння, сере́днє зна́чення — одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну «вагу», ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. В теорії ймовірностей, математичне сподівання випадкової величини, інтуїтивно, є середнім значенням при довгостроковому повторенні одного і того ж експеримента, який воно представляє. Наприклад, математичне сподівання при підкиданні шестигранної гральної кісточки становить 3,5, оскільки середнє значення з усіх чисел, які можуть випасти становить 3,5 із тим як кількість підкидань прямує до нескінченності. Іншими словами, закон великих чисел стверджує, що середнє арифметичне всіх значень майже певно збігається до математичного сподівання, із тим як кількість повторів даного експерименту прямує до нескінченності. Математичне сподівання також іноді називають сподіванням, середнім, середнім значенням, або першим моментом.

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання. У більш практичному розумінні, математичне сподівання (дискретної випадкової величини) є середнім зваженим по імовірності для всіх можливих значень. Іншими словами, кожне можливе значення випадкової величини фактично є помножене на його імовірність виникнення, і отриманий добуток складається у загальну суму, яка утворює математичне сподівання. Той самий принцип застосовується і для абсолютно неперервних випадкових величин, за винятком того, що сума замінюється на інтеграл для даної випадкової величини, по відношенню до її функції густини імовірностей. Формальне визначення охоплює обидва ці випадки, а також передбачає розподіли, які не є ні дискретними ні абсолютно неперервними; математичне сподівання випадкової величини є інтегралом, аргументом якого є ця випадкова величина відповідно до її міри імовірності.

Математичне сподівання не існує для випадкових величин, що мають певні розподіли імовірностей із ^[en], як наприклад, Розподіл Коші. Для таких випадкових величин, довгий хвіст розподілу не передбачає, що сума або інтеграл будуть збіжними.

Математичне сподівання є ключовим аспектом, який характеризує розподіл ймовірностей; воно є одним із різновидів коефіцієнта зсуву. На противагу йому, дисперсія є мірою розсіяння можливих значень випадкової величини довкола математичного сподівання. Дисперсія сама по собі визначається в термінах двох математичних сподівань: це математичне сподівання квадратичного відхилення значень випадкової величини від математичного сподівання.

Означення 1

Нехай дискретна випадкова змінна ${\displaystyle X}$ може набувати значення ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,}$ відповідно з ймовірностями ${\displaystyle p(x_{1}),p(x_{2}),\ldots ,}$ причому ${\displaystyle \sum _{x}p(x)=1\,}$.

• Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на їхні ймовірності:

${\displaystyle \mu \,\equiv \operatorname {E} (X)=\sum _{x}x\,p(x)}$,

де

${\displaystyle \mu \,}$ — це середнє значення випадкової величини ${\displaystyle X}$, областю можливих значень якої є множина ${\displaystyle \left\{X=x\right\}}$;

${\displaystyle \operatorname {E} }$ — оператор математичного сподівання;

${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ — математичне сподівання величини ${\displaystyle X}$.

Ілюстрація збіжності середнього для послідовності кидання грального кубика до сподівання 3.5 при постійному збільшенні кількості спроб.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle X}$ задає множину подій при підкиданні гральної кістки із шістьма сторонами. Результатом буде кількість точок на верхній грані після підкидання гральної кістки. Можливими значеннями, які прийматиме ${\displaystyle X}$ є 1, 2, 3, 4, 5, і 6, всі є рівноймовірними (кожне значення має ймовірність 1⁄6). Математичним сподіванням для ${\displaystyle X}$ буде

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$

Якщо підкинути гральну кістку ${\displaystyle n}$ разів і розрахувати середнє (середнє арифметичне) всіх результатів, із збільшенням ${\displaystyle n}$, середнє буде майже певне збігатися до значення сподівання. Цей факт відомий як закон великих чисел. Одним із прикладів послідовності десяти випадань гральної кістки є 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6, для якого середнє буде дорівнювати 3.1, що відрізняється від математичного сподівання 3.5 на число 0.4. Зближення є відносно повільним: ймовірність що середнє знаходитиметься в межах 3.5 ± 0.1 дорівнює 21.6 % для десяти спроб, 46.1 % для сотні спроб і 93.7 % для тисячі спроб. Див. графік на якому показані середні для довших послідовностей кидання гральної кістки на якому видно як вони збігаються до математичного сподівання із значенням в 3.5. У загальному випадку, швидкість зближення можна приблизно розрахувати за допомогою, наприклад, нерівності Чебишова і ^[en].

• При грі в рулетку невелика кулька може потрапити в одну із 38 пронумерованих секцій колеса, що розміщені по колу. Коли колесо розкручують кулька ударяється і рухається випадковим чином доки не зупиниться в одному з секторів. Нехай випадкова величина ${\displaystyle X}$ задає (грошовий) виграш при ставці в $1 на одне число («пряма» ставка). Якщо ставка виграє (що трапиться із ймовірністю 1⁄38), виграш становитиме $35; в іншому випадку гравець втрачає ставку. Очікуваним прибутком від такої ставки буде

${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\$0.0526.}$

Тобто, ставка в $1 коштуватиме втраті $0.0526, точніше її сподіванням є -$0.0526.

Означення 2

Нехай випадкова змінна ${\displaystyle \xi }$ задана густиною розподілу ймовірностей : ${\displaystyle p_{\xi }(x)\,}$, ${\displaystyle (x_{min}<x<x_{max})}$.

• Математичним сподіванням такої числової змінної ${\displaystyle \xi }$, якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:

${\displaystyle \mu \equiv \,\operatorname {E} (\xi )=\int _{X}xp_{\xi }(x)dx}$.

Математичне подівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Деякі формули для обчислення математичного сподівання

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції ${\displaystyle f}$ та випадкової величини ${\displaystyle \xi }$ :

${\displaystyle \operatorname {E} (f\circ \xi )=\int _{X}f(x)dF_{\xi }(x)}$,

де ${\displaystyle F_{\xi }(x)}$ — функція розподілу випадкової величини ${\displaystyle \xi }$.

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

${\displaystyle \operatorname {E} (\xi )=\int _{X}xdF_{\xi }(x)}$

Основні властивості математичного сподівання

1. Якщо ${\displaystyle \displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \displaystyle \eta }$ — незалежні інтегровні випадкові величини, то ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} (\xi \cdot \eta )=\operatorname {E} (\xi )\cdot \operatorname {E} (\eta )}$.
2. Якщо ${\displaystyle \displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \displaystyle \eta }$ — інтегровні випадкові величини, то ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} (\xi +\eta )=\operatorname {E} (\xi )+\operatorname {E} (\eta )}$.
3. Якщо ${\displaystyle \displaystyle \xi }$ — інтегровна випадкова величина, ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ то ${\displaystyle \operatorname {E} (C\xi )=C\cdot \operatorname {E} (\xi )}$.

Нижченаведені властивості повторюють властивості інтеграла Лебега, або безпосередньо випливають із них.

${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=\operatorname {P} (A)}$

Якщо ${\displaystyle A}$ є випадковою подією, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=\operatorname {P} (A),}$ де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ це індикаторна функція для множини ${\displaystyle A}$.

Доведення. За визначенням інтеграла Лебега для простої функції ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}={\mathbf {1} }_{A}(\omega )}$,

${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=1\cdot \operatorname {P} (A)+0\cdot \operatorname {P} (\Omega \setminus A)=\operatorname {P} (A).}$

Якщо X = Y тоді E[X] = E[Y]

Це твердження випливає із визначення інтеграла Лебега, якщо взяти до уваги, що ${\displaystyle X_{+}=Y_{+}}$, ${\displaystyle X_{-}=Y_{-}}$, і що заміна простої випадкової величини на множину із нульовою імовірністю не змінює математичного сподівання.

Математичне сподівання для сталої

Якщо ${\displaystyle X}$ це випадкова величина, і ${\displaystyle X=c}$, де ${\displaystyle c\in [-\infty ,+\infty ]}$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c}$. Зокрема, для довільної випадкової величини ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]}$.

Доведення.

Нехай ${\displaystyle C}$ — це стала випадкова величина, тобто ${\displaystyle C\equiv c}$. З визначення інтеграла Лебега випливає, що ${\displaystyle \operatorname {E} [C]=c}$. Також випливає, що ${\displaystyle X=C}$. Із попередньої властивості, ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [C]=c.}$

Лінійність

Оператор математичного сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$ є лінійним в тому сенсі, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\[6pt]\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є (довільними) випадковими величинами, і ${\displaystyle a}$ є скаляром.

Більш суворо, нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — випадкові величини, які мають визначені математичні сподівання (що відмінні від ${\displaystyle \infty -\infty }$).

• Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y]}$ також визначене (тобто відмінне від ${\displaystyle \infty -\infty }$), тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [X+Y]=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y].}$

• нехай ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є скінченним, а ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ є скінченним скаляром. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [aX]=a\operatorname {E} [X].}$

Доведення.

1. Доведемо адитивність за допомогою декількох кроків. 1a. Якщо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є простими і невід'ємними, знаходячи перетини де це необхідно, перепишемо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ у наступному вигляді ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ і ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}},}$ для деяких вимірних попарно-непересічних множин ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ розбиття ${\displaystyle \Omega }$, і ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{i}}={\mathbf {1} }_{A_{i}}(\omega )}$ буде індикаторною функцією для множини ${\displaystyle A_{i}}$. Адитивність випливає із перевірки прямим методом. 1b. Припустимо, що ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є довільними не від'ємними величинами. Зауважимо, що кожна не-від'ємна вимірна функція є поточковою границею для поточкової не спадної послідовності із простих не від'ємних функцій. Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ і ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ є такими послідовностями, які збігаються до ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y,}$ відповідно. Ми бачимо, що ${\displaystyle \{X_{n}+Y_{n}\}}$ поточково не спадає, і ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to X+Y}$ поточково. Відповідно до Теореми Леві про монотонну збіжність і випадку 1a, ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [\lim _{n}(X_{n}+Y_{n})]\\&=\lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}+Y_{n}]\\&=\lim _{n}(\operatorname {E} [X_{n}]+\operatorname {E} [Y_{n}])\\&=\lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]+\lim _{n}\operatorname {E} [Y_{n}]\\&=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]+\operatorname {E} [\lim _{n}Y_{n}]\\&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y].\end{aligned}}}$ (За допомогою теореми про монотонну збіжність можна перевірити, що це не веде до кругової логіки). 1c. В загальному випадку, якщо ${\displaystyle Z=X+Y}$, тоді ${\displaystyle Z_{+}+X_{-}+Y_{-}=Z_{-}+X_{+}+Y_{+},}$ and ${\displaystyle \operatorname {E} [Z_{+}+X_{-}+Y_{-}]=\operatorname {E} [Z_{-}+X_{+}+Y_{+}].}$ Розділивши це, ${\displaystyle \operatorname {E} [Z_{+}]+\operatorname {E} [X_{-}]+\operatorname {E} [Y_{-}]=\operatorname {E} [Z_{-}]+\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [Y_{+}],}$ що еквівалентно, ${\displaystyle \operatorname {E} [Z_{+}]-\operatorname {E} [Z_{-}]=\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [Y_{+}]-\operatorname {E} [X_{-}]-\operatorname {E} [Y_{-}],}$ і зрештою, ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y].}$ 2. Для доведення однорідності, припустимо спершу, що скаляр ${\displaystyle a}$ описаний перед цим не від'ємний. Скінченність ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ передбачає, що ${\displaystyle X}$ також є скінченним. Тому, ${\displaystyle a\cdot X}$ також скінченне, що зрештою гарантує, що ${\displaystyle \operatorname {E} [aX]}$ є скінченним. Рівняння, таким чином, є простою перевіркою, що основана на визначенні інтеграла Лебега. Якщо ${\displaystyle a<0}$, тоді спершу доведемо, що ${\displaystyle \operatorname {E} [-X]=-\operatorname {E} [X]}$ спостерігаючи, що ${\displaystyle (-X)_{+}=X_{-}}$ і навпаки.

E[X] існує і є скінченним тоді і тільки тоді, коли E[|X|] є скінченним

Такі твердження відносно випадкової величини ${\displaystyle X}$ — еквівалентні:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ існує і є скінченним.
• Обидва ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ і ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ є скінченними.
• ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]}$ скінченне.

Насправді, ${\displaystyle |X|=X_{+}+X_{-}}$. Відповідно до властивості лінійності, ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]=\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [X_{-}]}$. Вищенаведена рівність спирається на визначення інтегралу Лебега і вимірність ${\displaystyle X}$.

Завдяки цьому, вирази про те що «${\displaystyle X}$ є інтегрованою» і «математичне сподівання ${\displaystyle X}$ є скінченним» є зрештою взаємозамінними, якщо говорять про випадкову величину.

Якщо X ≥ 0 тоді E[X] ≥ 0

Доведення.

Позначимо ${\displaystyle \operatorname {SF} =\{s:\Omega \to \mathbb {R} \mid s{\text{ є простою випадковою величиною, і }}0\leq s\leq X_{+}\}.}$ Якщо ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} }$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [s]\in [0,+\infty )}$, і звідси, за визначенням інтеграла Лебега, ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]=\sup _{s\in \operatorname {SF} }\operatorname {E} [s]\geq 0.}$ З іншого боку, ${\displaystyle X_{-}=0}$ (майже скрізь), тож, якщо задати через подібний аргумент, ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]=0}$, і таким чином ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{+}]-\operatorname {E} [X_{-}]=\operatorname {E} [X_{+}]\geq 0}$.

Монотонність

Якщо ${\displaystyle X\leq Y}$ (a.s.), і обидва ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ та ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ існують, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y]}$.

Зауваження. ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ and ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ існую в тому розумінні, що ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ and ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [Y_{+}],\operatorname {E} [Y_{-}])<\infty .}$

Доведення випливає із властивості лінійності і попередньої властивості, якщо задати ${\displaystyle Z=Y-X}$ і звернути увагу на те, що ${\displaystyle Z\geq 0}$ (майже скрізь).

Якщо ${\displaystyle |X|\leq Y}$ (майже скрізь) і ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$ є скінченною, тоді так само і для ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$

Нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є випадковими величинами, такими що ${\displaystyle |X|\leq Y}$ (майже скрізь) і ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty }$. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\neq \pm \infty }$.

Доведення. Завдяки не від'ємності ${\displaystyle |X|}$, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$ існує, скінченне або нескінченне. Відповідно до властивості монотонності, ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$, тож ${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$ є скінченним, що в свою чергу як ми бачили буде еквівалентне тому, що ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є скінченним.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty }$ та ${\displaystyle 0<\alpha <\beta }$ тоді ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|<\infty }$

Нижченаведене твердження буде використане для доведення властивості екстремальності для ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$.

Твердження. Якщо ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною, тоді так само буде і ${\displaystyle X^{\alpha }}$, для будь-якого ${\displaystyle \alpha >0}$. Якщо в додаток до того, ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty }$ і ${\displaystyle 0<\alpha <\beta }$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|<\infty }$.

Доведення.

Аби зрозуміти чому перше твердження є справедливим, зауважимо, що ${\displaystyle X^{\alpha }}$ є композицією із ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle x\mapsto x^{\alpha }}$. Оскільки це буде композицією двох вимірних функцій, то ${\displaystyle X^{\alpha }}$ також є вимірною. Аби довести друге твердження, визначимо ${\displaystyle Y(\omega )=\max(|X(\omega )|^{\beta },1).}$ Можна перевірити, що ${\displaystyle Y}$ є випадковою величиною і ${\displaystyle |X|^{\alpha }\leq Y}$. Відповідно до властивості невід'ємності, ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }\leq 1\}}Y\,dP+\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }>1\}}Y\,dP\\[6pt]&=\operatorname {P} {\bigl (}|X(\omega )|^{\beta }\leq 1{\bigr )}+\int \limits _{\{\omega \ \mid \ |X(\omega )|^{\beta }>1\}}|X|^{\beta }\,dP\\[6pt]&\leq 1+\operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty .\end{aligned}}}$ Відповідно до властивості монотонності, ${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|\leq \operatorname {E} [Y]\leq 1+\operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty .}$

Протилежний приклад для нескінченної міри

Вимога, що ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega )<\infty }$ є суттєвою. Як протилежний приклад розглянемо вимірний простір

${\displaystyle ([1,+\infty ),{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{[1,+\infty )}},\lambda ),}$

де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{[1,+\infty )}}}$ це Борелівська ${\displaystyle \sigma }$-алгебра над інтервалом ${\displaystyle [1,+\infty ),}$ і ${\displaystyle \lambda }$ є лінійною мірою Лебега. Можна довести, що ${\displaystyle \textstyle \int _{[1,+\infty )}{\frac {1}{x}}\,dx=\infty ,}$ навіть якщо ${\displaystyle \textstyle \int _{[1,+\infty )}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1.}$ (${\displaystyle \textstyle \int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx}$ і ${\displaystyle \textstyle \int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx}$ визначають міру ${\displaystyle \mu }$ над ${\displaystyle \textstyle [1,+\infty )=\cup _{n=1}^{\infty }[1,n].}$ Зважаючи на неперервність для ${\displaystyle \mu }$ і спростивши інтеграл Рімана для кожного скінченного інтервала ${\displaystyle [1,n]}$), отримаємо необхідне доведення.

Властивість екстремальності

Відповідно до того, що було доведено вище, якщо ${\displaystyle X}$ це випадкова змінна, тоді так само і ${\displaystyle X^{2}}$.

Твердження (властивість екстремальності для ${\displaystyle \operatorname {E} [X])}$). Нехай ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною, і ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]<\infty }$. Тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ і ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ є скінченними, а ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ найкраща апроксимація методом найменших квадратів для ${\displaystyle X}$ серед сталих. Зокрема,

• для кожного ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [X-c]^{2}\geq \operatorname {Var} [X];}$
• рівняння буде дійсним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle c=\operatorname {E} [X].}$

(${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ позначає дисперсію величини ${\displaystyle X}$).

Пояснення (інтуїтивно зрозуміла інтерпретація властивості екстремальності). У простому розумінні, властивість екстремальності стверджує, що якщо існує задача передбачення ^[en] випробування для випадкової величини ${\displaystyle X}$, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$, в деякому практичному сенсі, є найкращим закладом (передбачення) якщо немає попередньої інформації про результат. З іншого боку, якщо в результаті отриманого результату існує деяке уточнене знання ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тоді — знов, в деякому практичному сенсі — передбачення можна покращити використовуючи умовні математичні сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid {\mathcal {F}}]}$ (серед яких ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є особливим випадком) замість ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$.

Доведення твердження. Відповідно до попередніх властивостей, ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ і ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} ^{2}[X]}$ обидва є скінченними, і

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X-c]^{2}&=\operatorname {E} [X^{2}-2cX+c^{2}]\\[6pt]&=\operatorname {E} [X^{2}]-2c\operatorname {E} [X]+c^{2}\\[6pt]&=(c-\operatorname {E} [X])^{2}+\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} ^{2}[X]\\[6pt]&=(c-\operatorname {E} [X])^{2}+\operatorname {Var} [X],\end{aligned}}}$

звідки випливає властивість екстремальності.

Невиродженість

Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} |X|=0}$, тоді ${\displaystyle X=0}$ (майже певно).

Доведення.

Для будь-якої додатної сталої ${\displaystyle r\in {\mathbb {R} }_{>0}}$, ${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq r)=0}$. Насправді, ${\displaystyle r\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}\leq |X|\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}\leq |X|,}$ де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}={\mathbf {1} }_{|X|\geq r}(\omega )}$ це індикаторна функція для множини ${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid |X(\omega )|\geq r\}}$. Відповідно до вищенаведеної властивості, скінченність ${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$ гарантує, що математичні сподівання ${\displaystyle \operatorname {E} [r\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}]}$ і ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}]}$ також є скінченними. Відповідно до властивості монотонності, ${\displaystyle r\cdot \operatorname {P} (|X|\geq r)=\operatorname {E} [r\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}]\leq \operatorname {E} [|X|\cdot {\mathbf {1} }_{|X|\geq r}]\leq \operatorname {E} |X|=0.}$ Для деякого цілого числа ${\displaystyle n>0}$, задамо ${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{n}}}$. Визначимо ${\displaystyle \textstyle S_{n}=\{\omega \in \Omega \mid |X(\omega )|\geq {\frac {1}{n}}\}}$, і ${\displaystyle \textstyle S=\{\omega \in \Omega \mid |X(\omega )|>0\}.}$ Послідовність множин ${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{n}\subseteq S_{n+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$ монотонно не спадає, і ${\displaystyle S=\cup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$. Відповідно до («неперервності знизу»), ${\displaystyle \textstyle \operatorname {P} (S)=\lim _{n}\operatorname {P} (S_{n})}$. Застосувавши цю формулу, отримаємо ${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq 0)=\operatorname {P} (|X|>0)=\lim _{n}\operatorname {P} \left(|X|\geq {\frac {1}{n}}\right)=\lim _{n}0=0,}$ що і треба було довести.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]<+\infty }$ тоді ${\displaystyle X<+\infty }$ (майже певно)

Доведення.

Оскільки ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ є визначеним (тобто ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$), і ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{+}]-\operatorname {E} [X_{-}],}$ нам відомо, що ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ є скінченним, і ми хочемо показати, що ${\displaystyle X_{+}<+\infty }$ (майже певно). Покажемо, що ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega _{\infty })=0,}$ де ${\displaystyle \Omega _{\infty }=\{\omega \in \Omega \mid X_{+}(\omega )=+\infty \}.}$ Якщо ${\displaystyle \Omega _{\infty }=\emptyset ,}$ тоді ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega _{\infty })=0,}$ і доказ завершений. Припустивши, що ${\displaystyle \Omega _{\infty }\neq \emptyset ,}$ визначимо ${\displaystyle \operatorname {SF} =\{s\mid s\ {\hbox{ є простою випадковою величиною}}\ 0\leq s\leq X_{+}\}.}$ Дано, що ${\displaystyle {\rm {SF}}\neq \emptyset }$, оберемо ${\displaystyle f\in {\rm {SF}}.}$ Для кожного ${\displaystyle \textstyle n>\sup _{\Omega }f,}$ визначимо ${\displaystyle f_{n}(\omega )={\begin{cases}n&{\hbox{if}}\ \omega \in \Omega _{\infty }\\[3pt]f(\omega )&{\hbox{if}}\ \omega \notin \Omega _{\infty }.\end{cases}}}$ Очевидно, ${\displaystyle f_{n}\in {\rm {SF}},}$ і ${\displaystyle \operatorname {E} [f_{n}]=n\cdot \operatorname {P} (\Omega _{\infty })+h,}$ для деякої сталої ${\displaystyle h\geq 0}$ незалежної від ${\displaystyle n.}$ (Можна легко помітити, що, насправді, ${\displaystyle h=\operatorname {E} [f\cdot {\mathbf {1} }_{\Omega \setminus \Omega _{\infty }}],}$, але в даному випадку це нас не цікавить). Припустимо, що ${\displaystyle \operatorname {P} (\Omega _{\infty })>0.}$ Послідовність ${\displaystyle \{\operatorname {E} [f_{n}]\}}$ строго зростає, тому, за визначенням інтеграла Лебега, ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]=\sup _{s\in {\rm {SF}}}\operatorname {E} [s]\geq \sup _{n>\sup _{\Omega }f}\operatorname {E} [f_{n}]=+\infty \cdot \operatorname {P} (\Omega _{\infty })+h=+\infty ,}$ що суперечить попередньому висновку, про те що ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ є скінченним.

Наслідок: якщо ${\displaystyle \operatorname {E} [X]>-\infty }$ тоді ${\displaystyle X>-\infty }$ (майже певно)

Наслідок: якщо ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$ тоді ${\displaystyle X\neq \pm \infty }$ (майже певно)

${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|}$

Для довільної випадкової величини буде вірною властивість ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|}$.

Доведення. Відповідно до визначення інтеграла Лебега,

${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {E} [X]|&={\Bigl |}\operatorname {E} [X_{+}]-\operatorname {E} [X_{-}]{\Bigr |}\leq {\Bigl |}\operatorname {E} [X_{+}]{\Bigr |}+{\Bigl |}\operatorname {E} [X_{-}]{\Bigr |}\\[5pt]&=\operatorname {E} [X_{+}]+\operatorname {E} [X_{-}]=\operatorname {E} [X_{+}+X_{-}]\\[5pt]&=\operatorname {E} |X|.\end{aligned}}}$

Відмітимо, що цей самий результат можна довести за допомогою нерівності Єнсена.

Немультиплікативність

У загальному випадку, оператор математичного сподівання не є мультиплікативним, тобто ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]}$ не обов'язково дорівнюватиме ${\displaystyle \operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]}$. Насправді, нехай ${\displaystyle X}$ приймає значення 1 та -1 із імовірністю 0.5 кожне. Тоді

${\displaystyle \operatorname {E^{2}} [X]=\left({\frac {1}{2}}\cdot (-1)+{\frac {1}{2}}\cdot 1\right)^{2}=0,}$

і

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}=1,{\text{ тож }}\operatorname {E} [X^{2}]\neq \operatorname {E^{2}} [X].}$

Величина, на яку відрізняється мультиплікативність називається коваріацією:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$

Однак, якщо випадкові величини ${\displaystyle X\in (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},\operatorname {P} _{1})}$ і ${\displaystyle Y\in (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},\operatorname {P} _{2})}$ є незалежними, тоді ${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$, та ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0}$.

Протилежний приклад: ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]\not \to \operatorname {E} [X]}$ незважаючи на це ${\displaystyle X_{i}\to X}$ поточково

Нехай ${\displaystyle \left([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathrm {P} }\right)}$ задає ймовірнісний простір, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{[0,1]}}$ є Борелівською ${\displaystyle \sigma }$-алгеброю над ${\displaystyle [0,1]}$ і ${\displaystyle {\mathrm {P} }}$ є лінійною мірою Лебега. Для ${\displaystyle i\geq 1,}$ визначимо послідовність випадкових величин

${\displaystyle X_{i}=i\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i}}\right]}}$

і випадкову величину

${\displaystyle X={\begin{cases}+\infty &{\text{якщо}}\ x=0\\0&{\text{в інших випадках.}}\end{cases}}}$

в інтервалі ${\displaystyle [0,1]}$, і де ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{S}}$ є індикаторною функцією над множиною ${\displaystyle S\subseteq [0,1]}$.

Для кожного ${\displaystyle x\in [0,1],}$ при тому як ${\displaystyle i\to +\infty ,}$ ${\displaystyle X_{i}(x)\to X(x),}$ і

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=i\cdot {\mathrm {P} }\left(\left[0,{\frac {1}{i}}\right]\right)=i\cdot {\dfrac {1}{i}}=1,}$

тож ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\operatorname {E} [X_{i}]=1.}$ З іншого боку, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } (\{0\})=0,}$ і таким чином ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=0.}$

Зліченна неадитивність

У загальному випадку, оператор математичного сподівання не ${\displaystyle \sigma }$-адитивний, тобто

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]\neq \sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$

Розглянемо обернений приклад, нехай ${\displaystyle \left([0,1],{\mathcal {B}}_{[0,1]},{\mathrm {P} }\right)}$ є ймовірнісним простором, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{[0,1]}}$ це Борелівська ${\displaystyle \sigma }$-алгебра у інтервалі ${\displaystyle [0,1]}$ і ${\displaystyle {\mathrm {P} }}$ це лінійна міра Лебега. Визначимо послідовність випадкових величин ${\displaystyle \textstyle X_{i}=(i+1)\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i+1}}\right]}-i\cdot {\mathbf {1} }_{\left[0,{\frac {1}{i}}\right]}}$ у ${\displaystyle [0,1]}$