Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Математи́чна моде́ль — система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.
| Математична модель | |
 Математична модель у Вікісховищі |
Загальний опис
Для отримання математичної моделі застосовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів, імітаційне моделювання за допомогою обчислювальних машин[]. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками.
Для створення математичних моделей можна застосовувати будь-які математичні засоби[] — диференціальні або інтегральні рівняння, теорію множин, абстрактну алгебру, математичну логіку, теорію ймовірностей, графи та ін. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень.
Для розробки математичних моделей широко застосовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту[]. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі.
Математична модель слугує для:
- створення спрощених, але адекватних відображень-моделей технологічних процесів і пристроїв,
- вивчення технологічних процесів та пристроїв за допомогою одержаних моделей,
- прогнозування результатів за різних умов, розробці раціональних та оптимальних технологічних режимів, тощо.
Класифікація
Класифікація моделей ґрунтується на математичних засобах, що використовуються для розв'язання поставлених задач:
- Лінійні або нелінійні моделі
- Зосереджені або
- Детерміновані або стохастичні
- Статичні або динамічні.
Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розв'язати або в замкнутому вигляді відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі (явно), або в частково замкнутому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференціальні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірнісні моделі, моделі математичного програмування та інші.
Якщо не можна знайти точний розв'язок математичної моделі, застосовують чисельні (обчислювальні) методи або інші види моделювання.
Залежно від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення, математичні моделі можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні й проектуванні великих систем зі складними зв'язками і властивостями, які важко врахувати.
Математичний опис неперервного процесу (наприклад, диференційними рівняннями) являє собою неперервну математичну модель[].
Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які відбуваються у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального об'єкта його математичною моделлю). Якщо параметри об'єкта, для якого розробляють математичну модель, можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої — постійні коефіцієнти. У протилежному випадку математична модель є нестаціонарною.
У математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом[]. Так, фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.
Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли підпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) підпроцесів. У цьому випадку математична модель складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного підпроцесу.
Приклади математичних моделей
- Модель Мальтуса — закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.
- Система хижак-жертва (рівняння Вольтерри—Лотки) — показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.
- — виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.
- Модель Гарячого Всесвіту.
Значення в природничих науках
| Ця стаття містить текст, що не відповідає . (травень 2015) |
Математичні моделі мають велике значення в галузі природничих наук, зокрема, у фізиці . Фізичні теорії майже завжди виражають за допомогою математичних моделей.
Протягом всієї історії, були розроблені менш і більш точні математичні моделі. Закони Ньютона точно описали багато повсякденних явищ, але в певних межах ситуацію краще і правильніше описують теорія відносності і квантова механіка, проте вони не застосовуються до всіх ситуацій і потребують подальшого доопрацювання. Це потрібно, щоб отримати менш точні моделі у відповідних межах, наприклад, релятивістська механіка зводиться до механіки Ньютона на швидкостях набагато менших за швидкість світла. Квантова механіка зводиться до класичної фізики, коли квантові числа високі.
Вони є загальними для використання ідеалізованих моделей у фізиці, щоб спростити речі. Безмасові мотузки, точкові частинки, ідеальні гази і частинки в полі серед багатьох спрощених моделей, що використовуються у фізиці. Закони фізики представлені у вигляді простих рівнянь, таких як закони Ньютона, рівняння Максвелла і рівняння Шредінгера. Ці закони, є основою для створення математичних моделей реальних ситуацій. Більшість реальних ситуацій є дуже складними і, таким чином, моделюється приблизно на комп'ютері, моделі, які можна обчислити зроблені з основних законів або наближених моделей, зроблених з основних законів. Наприклад, молекули можуть бути змодельовані молекулярних орбіталей моделей, які наближені рішення рівняння Шредінгера.
Різні математичні моделі використовують різні геометричні описи, які не обов'язково точними описами геометрії Всесвіту. Евклідова геометрія часто використовується в класичній фізиці, в той час як спеціальна теорія відносності і загальна теорія відносності є прикладами теорій, які використовують в геометрії, що не є Евклідовою.
Див. також
Література
- Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов. Демография, экономика, войны. М.: УРСС, 2005 .
- Енциклопедія кібернетики, т. 2, с. 42.
- Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — .
- Білецький В. С., Смирнов В. О. Моделювання процесів збагачення корисних копалин: (Монографія) — Донецьк: Східний видавничий дім, 2013.- 304 с.
| Ця стаття містить , але походження тверджень у ній через практично повну відсутність . |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matemati chna mode l sistema matematichnih spivvidnoshen yaki opisuyut doslidzhuvanij proces abo yavishe Matematichna model maye vazhlive znachennya dlya takih nauk yak ekonomika ekologiya sociologiya fizika himiya mehanika informatika biologiya ta in Matematichna model Matematichna model u VikishovishiZagalnij opisDlya otrimannya matematichnoyi modeli zastosovuyut zagalni zakoni prirodoznavstva specialni zakoni konkretnih nauk rezultati pasivnih ta aktivnih eksperimentiv imitacijne modelyuvannya za dopomogoyu obchislyuvalnih mashin dzherelo Matematichni modeli dozvolyayut peredbachiti hid procesu rozrahuvati cilovu funkciyu vihidni parametri procesu keruvati procesom proektuvati sistemi z bazhanimi harakteristikami Dlya stvorennya matematichnih modelej mozhna zastosovuvati bud yaki matematichni zasobi dzherelo diferencialni abo integralni rivnyannya teoriyu mnozhin abstraktnu algebru matematichnu logiku teoriyu jmovirnostej grafi ta in Proces stvorennya matematichnoyi modeli nazivayetsya matematichnim modelyuvannyam Ce najzagalnishij ta najbilsh vikoristovuvanij v nauci zokrema v kibernetici metod doslidzhen Dlya rozrobki matematichnih modelej shiroko zastosovuyetsya diferencijne chislennya teoriya mnozhin matrici i grafi a takozh planuvannya eksperimentu dzherelo Vidpovidno rozriznyayut teoretiko mnozhinni matrichni topologichni ta polinomni matematichni modeli Matematichna model sluguye dlya stvorennya sproshenih ale adekvatnih vidobrazhen modelej tehnologichnih procesiv i pristroyiv vivchennya tehnologichnih procesiv ta pristroyiv za dopomogoyu oderzhanih modelej prognozuvannya rezultativ za riznih umov rozrobci racionalnih ta optimalnih tehnologichnih rezhimiv tosho KlasifikaciyaKlasifikaciya modelej gruntuyetsya na matematichnih zasobah sho vikoristovuyutsya dlya rozv yazannya postavlenih zadach Linijni abo nelinijni modeli Zoseredzheni abo Determinovani abo stohastichni Statichni abo dinamichni Yaksho vidnoshennya zadayutsya analitichno to yih mozhna rozv yazati abo v zamknutomu viglyadi vidnosno shukanih zminnih yak funkciyi vid parametriv modeli yavno abo v chastkovo zamknutomu viglyadi neyavno koli shukani zminni zalezhat vid odnogo abo bagatoh parametriv modeli Do modelej cogo klasu nalezhat diferencialni integralni riznicevi rivnyannya jmovirnisni modeli modeli matematichnogo programuvannya ta inshi Yaksho ne mozhna znajti tochnij rozv yazok matematichnoyi modeli zastosovuyut chiselni obchislyuvalni metodi abo inshi vidi modelyuvannya Zalezhno vid togo yakimi ye parametri sistemi ta zovnishni zburennya matematichni modeli mozhut buti determinovanimi ta stohastichnimi Ostanni mayut osoblivo vazhlive znachennya pri doslidzhenni j proektuvanni velikih sistem zi skladnimi zv yazkami i vlastivostyami yaki vazhko vrahuvati Matematichnij opis neperervnogo procesu napriklad diferencijnimi rivnyannyami yavlyaye soboyu neperervnu matematichnu model dzherelo Yaksho zh matematichna model opisuye stan sistemi tilki dlya diskretnih znachen nezalezhnoyi zminnoyi i nehtuye harakterom procesiv yaki vidbuvayutsya u promizhkah mizh nimi to taka model ye diskretnoyu tut vazhlivim ye vibir kroku diskretnosti vid yakogo zalezhit tochnist opisu realnogo ob yekta jogo matematichnoyu modellyu Yaksho parametri ob yekta dlya yakogo rozroblyayut matematichnu model mozhna vvazhati nezalezhnimi vid chasu to taka sistema opisuyetsya stacionarnoyu modellyu harakterna osoblivist yakoyi postijni koeficiyenti U protilezhnomu vipadku matematichna model ye nestacionarnoyu U matematichnomu modelyuvanni oriyentuyutsya na modeli standartnogo viglyadu yaki zabezpecheni vidpovidnim matematichnim aparatom dzherelo Tak fizichni procesi harakterizuyutsya prostorovo chasovimi spivvidnoshennyami i u zagalnomu vipadku opisuyutsya diferencijnimi rivnyannyami u chastkovih pohidnih Vazhlivim momentom strukturuvannya modeli ye fenomenologichnij metod koli pidprocesi mozhut buti predstavleni okremimi modelyami vihidni velichini yakih ye vhidnimi dlya inshih nastupnih pidprocesiv U comu vipadku matematichna model skladnogo procesu yavlyaye soboyu sistemu modelej rivnyan znajdenih dlya kozhnogo pidprocesu Prikladi matematichnih modelejModel Maltusa zakon pro proporcijnu zalezhnist mizh shvidkistyu rostu i rozmirom populyaciyi Sistema hizhak zhertva rivnyannya Volterri Lotki pokazuye zalezhnist mizh chiselnistyu hizhakiv ta zhertv virazhaye vibir pokupcya mizh mnozhinoyu produktiv pri obmezhenomu byudzheti Model Garyachogo Vsesvitu Znachennya v prirodnichih naukahCya stattya mistit tekst sho ne vidpovidaye enciklopedichnomu stilyu Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu pogodivshi stil vikladu zi stilistichnimi pravilami Vikipediyi Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin traven 2015 Matematichni modeli mayut velike znachennya v galuzi prirodnichih nauk zokrema u fizici Fizichni teoriyi majzhe zavzhdi virazhayut za dopomogoyu matematichnih modelej Protyagom vsiyeyi istoriyi buli rozrobleni mensh i bilsh tochni matematichni modeli Zakoni Nyutona tochno opisali bagato povsyakdennih yavish ale v pevnih mezhah situaciyu krashe i pravilnishe opisuyut teoriya vidnosnosti i kvantova mehanika prote voni ne zastosovuyutsya do vsih situacij i potrebuyut podalshogo doopracyuvannya Ce potribno shob otrimati mensh tochni modeli u vidpovidnih mezhah napriklad relyativistska mehanika zvoditsya do mehaniki Nyutona na shvidkostyah nabagato menshih za shvidkist svitla Kvantova mehanika zvoditsya do klasichnoyi fiziki koli kvantovi chisla visoki Voni ye zagalnimi dlya vikoristannya idealizovanih modelej u fizici shob sprostiti rechi Bezmasovi motuzki tochkovi chastinki idealni gazi i chastinki v poli sered bagatoh sproshenih modelej sho vikoristovuyutsya u fizici Zakoni fiziki predstavleni u viglyadi prostih rivnyan takih yak zakoni Nyutona rivnyannya Maksvella i rivnyannya Shredingera Ci zakoni ye osnovoyu dlya stvorennya matematichnih modelej realnih situacij Bilshist realnih situacij ye duzhe skladnimi i takim chinom modelyuyetsya priblizno na komp yuteri modeli yaki mozhna obchisliti zrobleni z osnovnih zakoniv abo nablizhenih modelej zroblenih z osnovnih zakoniv Napriklad molekuli mozhut buti zmodelovani molekulyarnih orbitalej modelej yaki nablizheni rishennya rivnyannya Shredingera Rizni matematichni modeli vikoristovuyut rizni geometrichni opisi yaki ne obov yazkovo tochnimi opisami geometriyi Vsesvitu Evklidova geometriya chasto vikoristovuyetsya v klasichnij fizici v toj chas yak specialna teoriya vidnosnosti i zagalna teoriya vidnosnosti ye prikladami teorij yaki vikoristovuyut v geometriyi sho ne ye Evklidovoyu Div takozhModel Geologichna model Matematichne modelyuvannya tehnologichnih procesiv Matematichne modelyuvannya lisovih pozhezh Ekonomiko matematichne modelyuvannya u girnictvi Matematichne modelyuvannya tehnologichnih procesiv Matematichne modelyuvannya infekcijnih zahvoryuvan Prikladi ekonomiko matematichnih modelejLiteraturaKorotaev A V Malkov A S Halturina D A Zakony istorii Matematicheskoe modelirovanie istoricheskih makroprocessov Demografiya ekonomika vojny M URSS 2005 Enciklopediya kibernetiki t 2 s 42 Mala girnicha enciklopediya u 3 t za red V S Bileckogo D Donbas 2007 T 2 L R 670 s ISBN 57740 0828 2 Bileckij V S Smirnov V O Modelyuvannya procesiv zbagachennya korisnih kopalin Monografiya Doneck Shidnij vidavnichij dim 2013 304 s Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti