Функція розподілу ймовірностей (ФРІ) — в теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.
Нехай — ймовірнісний простір, в якому — множина елементарних подій, — сукупність підмножин , що утворюють -алгебру, множини з називаються випадковими подіями, — міра на , що задовольняє умову . Функція , визначена рівністю
,
називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина набуває значень менших або рівних .
Властивості
Якщо є дискретною випадковою величиною, що набуває значень із ймовірністю , то функція розподілу для буде розривною в точках і неперервною поміж ними:
Легко бачити, що:
- не спадає на всій числовій прямій.
- неперервна справа.
- .
- .
З властивостей ймовірності випливає, що для всіх і для всіх , таких що матимуть місце співвідношення:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Числові характеристики
Характеристики одновимірних розподілів
Для одновимірних розподілів ймовірностей використовують такі числові характеристики:
- Квантилі. Квантиль порядку одновимірного розподілу — це таке значення випадкової величини , для якого:
- — це медіана розподілу. Квантилі , , , децилі , , , та процентилі , , , ділять область змін на 4, 10, та 100 інтервалів, потрапляння в які мають однакові ймовірності.
- Квантилі існують в кожного розподілу ймовірностей, але вони не обов'язково однозначно визначені. Таблиці квантилів застосовують в статистиці.
- Характеристики положення (центру розподілу).
- Математичне сподівання.
- Медіана.
- Мода. Мода неперервного розподілу — це точка максимуму щільності розподілу ймовірностей. Мода дискретного розподілу це таке спектральне значення випадкової величини, що наступне та попереднє значення мають менші ймовірності.
- Розподіли, що мають дві або більше мод називають двомодальними, тримодальними, або багатомодальними.
- Характеристики розсіяння.
- Дисперсія.
- Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення).
- Коефіцієнт варіації.
- Середнє абсолютне відхилення.
- Медіана абсолютних відхилень
- Міжквартильний розмах та (10-90)-процентильна широта.
- Розмах (різниця між найбільшим та найменшим спектральним значенням).
- .
- Характеристики асиметрії та ексцесу.
Див. також
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Примітки
- Кравчук, С. О. (2009). Модель імовірності помилки в багатоантенній кооперативній ретрансляційній системі (PDF). Збірник наукових праць. Київ: ВІТІ НТУУ «КПІ» (2).
- Северина, С. С. (2019). Дослідження та розробка методів прогнозування з використанням імовірнісних нейронних мереж (магістерська атестаційна праця). Харків: ХНУРЕ.
- Корн Г., Корн Т. (1984). 14.7-4. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciya rozpodilu jmovirnostej FRI v teoriyi jmovirnostej ce funkciya yaka povnistyu opisuye rozpodil jmovirnostej vipadkovoyi velichini Nehaj W A P displaystyle Omega mathcal A P jmovirnisnij prostir v yakomu W displaystyle Omega mnozhina elementarnih podij A displaystyle mathcal A sukupnist pidmnozhin W displaystyle Omega sho utvoryuyut s displaystyle sigma algebru mnozhini z A displaystyle mathcal A nazivayutsya vipadkovimi podiyami P displaystyle P mira na A displaystyle mathcal A sho zadovolnyaye umovu P W 1 displaystyle P Omega 1 Funkciya F3 R R displaystyle F xi mathbb R to mathbb R viznachena x R displaystyle forall x in mathbb R rivnistyu F3 x P 3 x displaystyle F xi x P xi leq x nazivayetsya funkciyeyu rozpodilu jmovirnostej abo kumulyativnoyu funkciyeyu rozpodilu jmovirnostej vipadkovoyi velichini 3 Viraz v pravij chastini rivnosti ye jmovirnistyu togo sho vipadkova velichina 3 displaystyle xi nabuvaye znachen menshih abo rivnih x displaystyle x VlastivostiZverhu vniz funkciya rozpodilu dlya diskretnogo rozpodilu jmovirnostej dlya neperervnogo rozpodilu ta dlya rozpodilu sho mistit diskretnu ta neperervnu chastini Yaksho 3 displaystyle xi ye diskretnoyu vipadkovoyu velichinoyu sho nabuvaye znachen x1 x2 displaystyle x 1 x 2 iz jmovirnistyu pi P xi displaystyle p i P x i to funkciya rozpodilu dlya 3 displaystyle xi bude rozrivnoyu v tochkah xi displaystyle x i i neperervnoyu pomizh nimi F x P 3 x xi xP 3 xi xi xp xi displaystyle F x operatorname P xi leq x sum x i leq x operatorname P xi x i sum x i leq x p x i Legko bachiti sho F3 x displaystyle F xi x ne spadaye na vsij chislovij pryamij F3 x displaystyle F xi x neperervna sprava limx F3 x 0 displaystyle lim limits x to infty F xi x 0 limx F3 x 1 displaystyle lim limits x to infty F xi x 1 Z vlastivostej jmovirnosti viplivaye sho dlya vsih x R displaystyle x in mathbb R i dlya vsih a b R displaystyle a b in mathbb R takih sho a lt b displaystyle a lt b matimut misce spivvidnoshennya P 3 gt x 1 F3 x displaystyle P xi gt x 1 F xi x P 3 lt x F3 x displaystyle P xi lt x F xi x P 3 x 1 F3 x displaystyle P xi geq x 1 F xi x P 3 x F3 x F3 x displaystyle P xi x F xi x F xi x P a lt 3 b F3 b F3 a displaystyle P a lt xi leq b F xi b F xi a P a 3 b F3 b F3 a displaystyle P a leq xi leq b F xi b F xi a P a lt 3 lt b F3 b F3 a displaystyle P a lt xi lt b F xi b F xi a P a 3 lt b F3 b F3 a displaystyle P a leq xi lt b F xi b F xi a Chislovi harakteristikiHarakteristiki odnovimirnih rozpodiliv Dlya odnovimirnih rozpodiliv jmovirnostej vikoristovuyut taki chislovi harakteristiki Kvantili Kvantil poryadku P displaystyle P odnovimirnogo rozpodilu ce take znachennya xP displaystyle x P vipadkovoyi velichini x displaystyle x dlya yakogo P x lt xP F xP P 0 lt P lt 1 displaystyle P x lt x P Phi x P P qquad 0 lt P lt 1 x1 2 displaystyle x 1 2 ce mediana rozpodilu Kvantili x1 4 displaystyle x 1 4 x1 2 displaystyle x 1 2 x3 4 displaystyle x 3 4 decili x0 1 displaystyle x 0 1 x0 2 displaystyle x 0 2 displaystyle ldots x0 9 displaystyle x 0 9 ta procentili x0 01 displaystyle x 0 01 x0 02 displaystyle x 0 02 displaystyle ldots x0 99 displaystyle x 0 99 dilyat oblast zmin x displaystyle x na 4 10 ta 100 intervaliv potraplyannya v yaki mayut odnakovi jmovirnosti Kvantili isnuyut v kozhnogo rozpodilu jmovirnostej ale voni ne obov yazkovo odnoznachno viznacheni Tablici kvantiliv zastosovuyut v statistici Harakteristiki polozhennya centru rozpodilu Matematichne spodivannya Mediana Moda Moda neperervnogo rozpodilu ce tochka maksimumu shilnosti rozpodilu jmovirnostej Moda diskretnogo rozpodilu ce take spektralne znachennya vipadkovoyi velichini sho nastupne ta poperednye znachennya mayut menshi jmovirnosti Rozpodili sho mayut dvi abo bilshe mod nazivayut dvomodalnimi trimodalnimi abo bagatomodalnimi Harakteristiki rozsiyannya Dispersiya Serednye kvadratichne vidhilennya standartne vidhilennya Koeficiyent variaciyi Serednye absolyutne vidhilennya Mediana absolyutnih vidhilen Mizhkvartilnij rozmah ta 10 90 procentilna shirota Rozmah riznicya mizh najbilshim ta najmenshim spektralnim znachennyam Harakteristiki asimetriyi ta ekscesu Koeficiyent asimetriyi Koeficiyent ekscesu Div takozhPortal Matematika Gustina jmovirnosti Nerivnist Chebishova Empirichna funkciya rozpodilu Statistika Petunina Funkciya SalemaDzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros PrimitkiKravchuk S O 2009 Model imovirnosti pomilki v bagatoantennij kooperativnij retranslyacijnij sistemi PDF Zbirnik naukovih prac Kiyiv VITI NTUU KPI 2 Severina S S 2019 Doslidzhennya ta rozrobka metodiv prognozuvannya z vikoristannyam imovirnisnih nejronnih merezh magisterska atestacijna pracya Harkiv HNURE Korn G Korn T 1984 14 7 4 Spravochnik po matematike dlya nauchnih rabotnikov i inzhenerov ros vid druge Moskva Nauka Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi