Медіана абсолютних відхилень (англ. median absolute deviation ()) – робастна міра мінливості для однофакторної вибірки кількісних даних, що є медіаною абсолютних відхилень від медіани. Медіана абсолютних відхилень може розраховуватися і для генеральної сукупності.
Визначення
В загальному випадку медіана абсолютних відхилень:
,
де - оператор медіани,
- медіана випадкової величини .
Медіана абсолютних відхилень є мірою розсіяння значень випадкової величини. В порівнянні з іншими мірами розсіяння, такими як дисперсія чи стандартне відхилення, є стійкою оцінкою до викидів, що виниклі в наборі даних. У стандартному відхиленні чи дисперсії відхилення від середнього беруться у квадраті, тому більші відхилення мають більшу вагу і, таким чином, викиди сильніше впливають на них. У невелика, як правило, кількість викидів не має ніякого значення. Медіана абсолютних відхилень широко використовується як альтернатива стандартному відхиленню для пошуку викидів в одномірних даних.
Крім того, що MAD - надійніша оцінка розсіяння, ніж дисперсія вибірки або стандартне відхилення, вона краще працює з розподілами без середнього або дисперсії типу, наприклад, розподілу Коші.
Приклад
Нехай є набір значень 1, 1, 2, 2, 4, 6, 9. Медіана цього набору рівна 2. Абсолютні відхилення від медіани дорівнюють 1, 1, 0, 0, 2, 4, 7, медіана яких, у свою чергу, має значення 1 (оскільки впорядковані у неспадний ряд абсолютні відхилення становлять 0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7). Отже, медіана абсолютних відхилень для цих даних дорівнює 1.
Генеральна сукупність
генеральної сукупності визначається аналогічно до вибірки, але на основі повного розподілу. Для симетричного розподілу з середнім значенням рівним нулю медіана абсолютних відхилень рівна 75-ти відсотковому квантилю розподілу.
На відміну від дисперсії, яка може й не існувати, для генеральної сукупності існує завжди. Наприклад, для стандартного розподілу Коші, дисперсія якого не визначена, медіана абсолютних відхилень рівна 1.
Зв'язок зі стандартним відхиленням
Між медіаною абсолютних відхилень та стандартним відхиленням для симетричних розподілів існує простий зв'язок (якщо стандартне відхилення для відповідного закону розподілу існує):
- де - множник, значення якого залежить від закону розподілу, наприклад, для нормального розподілу =1,4826.
- Для несиметричних розподілів залежність складніша.
Історія
Перша відома згадка про датується 1816 роком в науковій статті Карла Фрідріха Гаусса про визначення точності числових спостережень
Див. також
Примітки
- Брюс П., Брюс Э. Практическая статистика для специалистов Data Science/Пер. с англ. - СПб: БХВ-Петербург, 2018. - 304 с: ил. .
- Чио К., Фримэн Д. Машинное обучение и безопасность/Пер. с англ. А. В. Снастина. - М.: ДМС Пресс, 2020. - 388 с.: ил. .
- Rousseeuw, P. J.; Croux, C. (1993). Alternatives to the median absolute deviation. Journal of the American Statistical Association. 88 (424): 1273—1283. doi:10.1080/01621459.1993.10476408.
- Gauss, Carl Friedrich (1816). Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen. Zeitschrift für Astronomie und Verwandte Wissenschaften. 1: 187—197.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mediana absolyutnih vidhilen angl median absolute deviation M A D displaystyle MAD robastna mira minlivosti dlya odnofaktornoyi vibirki kilkisnih danih sho ye medianoyu absolyutnih vidhilen vid mediani Mediana absolyutnih vidhilen mozhe rozrahovuvatisya i dlya generalnoyi sukupnosti ViznachennyaV zagalnomu vipadku mediana absolyutnih vidhilen M A D M e X M e X displaystyle MAD Me bigl X Me X bigr de M e displaystyle Me operator mediani M e X displaystyle Me bigl X bigr mediana vipadkovoyi velichini X displaystyle X Mediana absolyutnih vidhilen ye miroyu rozsiyannya znachen vipadkovoyi velichini V porivnyanni z inshimi mirami rozsiyannya takimi yak dispersiya chi standartne vidhilennya ye stijkoyu ocinkoyu do vikidiv sho vinikli v nabori danih U standartnomu vidhilenni chi dispersiyi vidhilennya vid serednogo berutsya u kvadrati tomu bilshi vidhilennya mayut bilshu vagu i takim chinom vikidi silnishe vplivayut na nih U M A D displaystyle MAD nevelika yak pravilo kilkist vikidiv ne maye niyakogo znachennya Mediana absolyutnih vidhilen shiroko vikoristovuyetsya yak alternativa standartnomu vidhilennyu dlya poshuku vikidiv v odnomirnih danih Krim togo sho MAD nadijnisha ocinka rozsiyannya nizh dispersiya vibirki abo standartne vidhilennya vona krashe pracyuye z rozpodilami bez serednogo abo dispersiyi tipu napriklad rozpodilu Koshi PrikladNehaj ye nabir znachen 1 1 2 2 4 6 9 Mediana cogo naboru rivna 2 Absolyutni vidhilennya vid mediani dorivnyuyut 1 1 0 0 2 4 7 mediana yakih u svoyu chergu maye znachennya 1 oskilki vporyadkovani u nespadnij ryad absolyutni vidhilennya stanovlyat 0 0 1 1 2 4 7 Otzhe mediana absolyutnih vidhilen dlya cih danih dorivnyuye 1 Generalna sukupnistM A D displaystyle MAD generalnoyi sukupnosti viznachayetsya analogichno do vibirki ale na osnovi povnogo rozpodilu Dlya simetrichnogo rozpodilu z serednim znachennyam rivnim nulyu mediana absolyutnih vidhilen rivna 75 ti vidsotkovomu kvantilyu rozpodilu Na vidminu vid dispersiyi yaka mozhe j ne isnuvati M A D displaystyle MAD dlya generalnoyi sukupnosti isnuye zavzhdi Napriklad dlya standartnogo rozpodilu Koshi dispersiya yakogo ne viznachena mediana absolyutnih vidhilen rivna 1 Zv yazok zi standartnim vidhilennyamMizh medianoyu absolyutnih vidhilen ta standartnim vidhilennyam dlya simetrichnih rozpodiliv isnuye prostij zv yazok yaksho standartne vidhilennya dlya vidpovidnogo zakonu rozpodilu isnuye s k MAD displaystyle sigma k cdot operatorname MAD de k displaystyle k mnozhnik znachennya yakogo zalezhit vid zakonu rozpodilu napriklad dlya normalnogo rozpodilu k displaystyle k 1 4826 Dlya nesimetrichnih rozpodiliv zalezhnist skladnisha IstoriyaPersha vidoma zgadka pro M A D displaystyle MAD datuyetsya 1816 rokom v naukovij statti Karla Fridriha Gaussa pro viznachennya tochnosti chislovih sposterezhenDiv takozhPortal Matematika Miri rozsiyannya Rozmah Serednye absolyutne vidhilennyaPrimitkiBryus P Bryus E Prakticheskaya statistika dlya specialistov Data Science Per s angl SPb BHV Peterburg 2018 304 s il ISBN 978 5 9775 3974 6 Chio K Frimen D Mashinnoe obuchenie i bezopasnost Per s angl A V Snastina M DMS Press 2020 388 s il ISBN 978 5 97060 713 8 Rousseeuw P J Croux C 1993 Alternatives to the median absolute deviation Journal of the American Statistical Association 88 424 1273 1283 doi 10 1080 01621459 1993 10476408 Gauss Carl Friedrich 1816 Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen Zeitschrift fur Astronomie und Verwandte Wissenschaften 1 187 197