Крива Мінковського

Крива Мінковського (англ. Minkowski sausage, Minkowski curve) — геометричний фрактал, запропонований математиком Германом Мінковським (народився у передмісті Каунаса в Литві, що на той час були у складі Мінської губернії Російської імперії). Ініціатором фрактала є відрізок, а генератором — ламана у вигляді «біполярного стрибка».

Побудова кривої Мінковського

Властивості

• Крива Мінковського ніде не диференційовна і не спрямна.
• Крива Мінковського не має самоперетинів.
• Крива Мінковського має проміжну (тобто нецілу) розмірність Гаусдорфа ${\displaystyle \ln 8/\ln 4\ =3/2}$
• Крива Мінковського має нульову міру Лебега.

Побудова

Приклад алгоритма на PHP  

<?php $i = 2; $image = imagecreatetruecolor(600, 400); imagefilledrectangle($image, 0, 0, imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1, imagecolorresolve($image, 255, 255, 255)); $color = imagecolorresolve($image, 0, 0, 0); drawMinkowski($image, 0, imagesy($image) / 2, imagesx($image), imagesy($image) / 2, $i, $color); /**  * Draws minkowski curve between two points.  * @return void  */ function drawMinkowski($image, $xa, $ya, $xi, $yi, $i, $color) { if($i == 0) imageline($image, $xa, $ya, $xi, $yi, $color); else { // C---D // | | // A---B E H---I // | | // F---G $xb = $xa + ($xi - $xa) * 1/4; $yb = $ya + ($yi - $ya) * 1/4; $xe = $xa + ($xi - $xa) * 2/4; $ye = $ya + ($yi - $ya) * 2/4; $xh = $xa + ($xi - $xa) * 3/4; $yh = $ya + ($yi - $ya) * 3/4; $cos90 = 0; $sin90 = -1; $xc = $xb + ($xe - $xb) * $cos90 - $sin90 * ($ye - $yb); $yc = $yb + ($xe - $xb) * $sin90 + $cos90 * ($ye - $yb); $xd = $xc + ($xe - $xb); $yd = $yc + ($ye - $yb); $sin90 = 1; $xf = $xe + ($xh - $xe) * $cos90 - $sin90 * ($yh - $ye); $yf = $ye + ($xh - $xe) * $sin90 + $cos90 * ($yh - $ye); $xg = $xf + ($xh - $xe); $yg = $yf + ($yh - $ye); drawMinkowski($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xc, $yc, $xd, $yd, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xd, $yd, $xe, $ye, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xe, $ye, $xf, $yf, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xf, $yf, $xg, $yg, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xg, $yg, $xh, $yh, $i - 1, $color); drawMinkowski($image, $xh, $yh, $xi, $yi, $i - 1, $color); } } header('Content-type: image/png'); imagepng($image); imagedestroy($image); ?> 

Приклади використання

Приклад фрактальної антени на основі хреста Мінковського

На основі кривої Мінковського може бути реалізовано вібраторні або друковані конструкції фрактальних антен, які за своїми характеристиками є досить близькими до антен на основі кривої Гільберта.

Замкнена форма кривої Мінковського дозволяє отримати аналогічно сніжинці Коха так званий хрест Мінковського.

Див. також

• Крива Гільберта
• Крива Мура
• Крива Коха

Примітки

1. Слюсар, В. (2007). (PDF). Электроника: наука, технология, бизнес. — 2007. — № 6. с. С. 85. Архів оригіналу (PDF) за 3 квітня 2018. Процитовано 6 травня 2020. {{}}: |pages= має зайвий текст ()
2. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
3. Cohen, Nathan (Summer 1995). Fractal antennas Part 1. ^[en]: 7—23.

Джерела

• Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498 — 569.

Посилання

• "Minkowski Sausage" [ 12 березня 2020 у Wayback Machine.] — приклад інтерактивної побудови кривої Мінковського на WolframAlpha