Спрямність

Довжиною кривої в метричному просторі ${\displaystyle (X,\rho )}$ називається варіація відображення, що задає криву, тобто довжина кривої ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ — це величина, що дорівнює

Полігональне наближення кривої

Довжина кривої
Наступник	площа поверхні
Розмірність	${\displaystyle {\mathsf {L}}}$
Формула	${\displaystyle s=\int _{a}^{b}|{\boldsymbol {c}}'(t)|\,\mathrm {d} t}$
Позначення у формулі	${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$, ${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|}$, ${\displaystyle '}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$
Символ величини (LaTeX)	${\displaystyle s}$^[1]
Підтримується Вікіпроєктом
Рекомендована одиниця вимірювання	м^[1]^[2]
Довжина кривої у Вікісховищі

${\displaystyle \sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

де точна верхня грань береться по всіх розбиттях ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ відрізка ${\displaystyle [a,b]}$.

Для евклідового простору це означає, що довжина кривої визначається як точна верхня границя для вписаних в криву ламаних.

Пов'язані визначення

Якщо довжина скінченна, то кажуть, що крива спрямна, інакше — неспрямна.

Формули

Якщо крива класу ${\displaystyle C^{1}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тоді її довжина дорівнює:

• У загальному випадку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt}$.
• У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt}$.
• Якщо крива задана у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ як ${\displaystyle f(x)}$, то її довжина дорівнює ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)}}\,dx}$.
• У полярних координатах для плоскої кривої:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}\limits \!{\sqrt {\rho ^{2}+\left({\frac {d\rho }{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

Історія

Історично обчислення довжини дуги називалося спрямленням кривої. Задача спрямляння виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне спрямлення було виконано для кола. Декарт навіть висловлював думку, що «відношення між прямим і кривим невідоме, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми». Першим досягненням стало спрямлення параболи Нейла (1657), виконане Ферма і самим . Незабаром було знайдено довжину дуги циклоїди (Рен, Гюйгенс). Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.

Див. також

• Варіація функції
• Диференціальна геометрія кривих

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Посилання

• Обчислення довжини дуги кривої // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 428. — 594 с.

1. 3-1.7 // Quantities and units — Part 3: Space and time, Grandeurs et unités — Partie 3: Espace et temps — 2 — ISO, 2019. — 11 p.
   d:Track:Q15028d:Track:Q90137277
2. 3-1.a // Quantities and units—Part 3: Space and time — 1 — ISO, 2006. — 19 p.
   d:Track:Q15028d:Track:Q26711932