Довжиною кривої в метричному просторі називається варіація відображення, що задає криву, тобто довжина кривої — це величина, що дорівнює
Довжина кривої | |
Наступник | площа поверхні |
---|---|
Розмірність | |
Формула | |
Позначення у формулі | , , , і |
Символ величини (LaTeX) | [1] |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Рекомендована одиниця вимірювання | м[1][2] |
Довжина кривої у Вікісховищі |
де точна верхня грань береться по всіх розбиттях відрізка .
Для евклідового простору це означає, що довжина кривої визначається як точна верхня границя для вписаних в криву ламаних.
Пов'язані визначення
Якщо довжина скінченна, то кажуть, що крива спрямна, інакше — неспрямна.
Формули
Якщо крива класу в , тоді її довжина дорівнює:
- У загальному випадку — .
- У — .
- Якщо крива задана у як , то її довжина дорівнює .
- У полярних координатах для плоскої кривої:
Історія
Історично обчислення довжини дуги називалося спрямленням кривої. Задача спрямляння виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне спрямлення було виконано для кола. Декарт навіть висловлював думку, що «відношення між прямим і кривим невідоме, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми». Першим досягненням стало спрямлення параболи Нейла (1657), виконане Ферма і самим . Незабаром було знайдено довжину дуги циклоїди (Рен, Гюйгенс). Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Посилання
- Обчислення довжини дуги кривої // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 428. — 594 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dovzhinoyu krivoyi v metrichnomu prostori X r displaystyle X rho nazivayetsya variaciya vidobrazhennya sho zadaye krivu tobto dovzhina krivoyi g a b X displaystyle gamma a b to X ce velichina sho dorivnyuyePoligonalne nablizhennya krivoyiDovzhina krivoyiNastupnikplosha poverhniRozmirnistL displaystyle mathsf L Formulas ab c t dt displaystyle s int a b boldsymbol c t mathrm d t Poznachennya u formulis displaystyle s abf x dx displaystyle int a b f x mathrm d x x displaystyle boldsymbol x displaystyle i c displaystyle boldsymbol c Simvol velichini LaTeX s displaystyle s 1 Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaRekomendovana odinicya vimiryuvannyam 1 2 Dovzhina krivoyi u Vikishovishisup k 0mr g xk 1 g xk displaystyle sup sum limits k 0 m rho gamma x k 1 gamma x k de tochna verhnya gran beretsya po vsih rozbittyah a x0 lt x1 lt lt xm b displaystyle a x 0 lt x 1 lt dots lt x m b vidrizka a b displaystyle a b Dlya evklidovogo prostoru ce oznachaye sho dovzhina krivoyi viznachayetsya yak tochna verhnya granicya dlya vpisanih v krivu lamanih Pov yazani viznachennyaYaksho dovzhina skinchenna to kazhut sho kriva spryamna inakshe nespryamna FormuliYaksho kriva klasu C1 displaystyle C 1 v Rn displaystyle mathbb R n todi yiyi dovzhina dorivnyuye U zagalnomu vipadku Rn displaystyle mathbb R n ab k 1nfk 2 t dt displaystyle int limits a b sqrt sum limits k 1 n f k 2 t dt U R3 displaystyle mathbb R 3 abx 2 t y 2 t z 2 t dt displaystyle int limits a b sqrt x 2 t y 2 t z 2 t dt Yaksho kriva zadana u R2 displaystyle mathbb R 2 yak f x displaystyle f x to yiyi dovzhina dorivnyuye ab1 f 2 x dx displaystyle int limits a b sqrt 1 f 2 x dx U polyarnih koordinatah dlya ploskoyi krivoyi s abr2 drdf 2df displaystyle s int a b limits sqrt rho 2 left frac d rho d varphi right 2 d varphi IstoriyaIstorichno obchislennya dovzhini dugi nazivalosya spryamlennyam krivoyi Zadacha spryamlyannya viyavilasya nabagato skladnishoyu nizh obchislennya ploshi i v antichni chasi yedine uspishne spryamlennya bulo vikonano dlya kola Dekart navit vislovlyuvav dumku sho vidnoshennya mizh pryamim i krivim nevidome i navit dumayu ne mozhe buti piznane lyudmi Pershim dosyagnennyam stalo spryamlennya paraboli Nejla 1657 vikonane Ferma i samim Nezabarom bulo znajdeno dovzhinu dugi cikloyidi Ren Gyujgens Gregori she do vidkrittya matematichnogo analizu stvoriv zagalnu teoriyu znahodzhennya dovzhini dugi yaka negajno bula vikoristana dlya riznih krivih Div takozhVariaciya funkciyi Diferencialna geometriya krivihLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PosilannyaObchislennya dovzhini dugi krivoyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 428 594 s 3 1 7 Quantities and units Part 3 Space and time Grandeurs et unites Partie 3 Espace et temps 2 ISO 2019 11 p d Track Q15028d Track Q90137277 3 1 a Quantities and units Part 3 Space and time 1 ISO 2006 19 p d Track Q15028d Track Q26711932