Коло Лестер

Теорема Лестер - твердження в геометрії трикутника, згідно з яким у будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Ферма, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі (колі Лестер). Названа ім'ям канадської математикині Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$, центр ${\displaystyle X_{5}}$ кола дев'яти точок (світло-блакитного), і центр описаного кола ${\displaystyle X_{3}}$ зеленого трикутника лежать на колі Лестер (чорне).

Доведення

Доведення Гіберта за допомогою гіперболи Кіперта

Теорема про коло Лестер випливає з загальнішого твердження Б. Гіберта (2000), а саме, що будь-яке коло, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма.

Лема Дао на прямокутній гіперболі

Теорема Дао про прямокутну гіперболу

2014 року Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показав, що результат Гіберта випливає з властивостей прямокутних гіпербол. А саме, нехай точки ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle G}$ лежать на одній гілці прямокутної гіперболи ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle F_{+}}$ і ${\displaystyle F_{-}}$ - дві точки на ${\displaystyle S}$, симетричні відносно її центру (точки-антиподи), в яких дотичні прямі до ${\displaystyle S}$ паралельні прямій ${\displaystyle HG}$.

Нехай ${\displaystyle K_{+}}$ і ${\displaystyle K_{-}}$ - дві точки на гіперболі, дотичні прямі в яких перетинаються в точці ${\displaystyle E}$ на прямій ${\displaystyle HG}$. Якщо пряма ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ перетинає ${\displaystyle HG}$ в точці ${\displaystyle D}$, і перпендикуляр у середині відрізка ${\displaystyle DE}$ перетинає гіперболу в точках ${\displaystyle G_{+}}$ і ${\displaystyle G_{-}}$, то шість точок ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}}$ лежать на одному колі.

Щоб отримати теорему Лестер із цього результату, слід взяти як ${\displaystyle S}$ гіперболу Кіперта трикутника, як точки ${\displaystyle F_{+},F_{-}}$ - точки Ферма, точками ${\displaystyle K_{+},K_{-}}$ будуть внутрішня і зовнішня точки Вектена, точками ${\displaystyle H,G}$ будуть ортоцентр і центроїд трикутника.

Див. також

• (Коло Паррі)
• Точка Паррі

Примітки

1. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
2. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR2868943
3. Đào Thanh Oai (2014), A Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem Forum Geometricorum, volume 14, pages 201—202. MR3208157

Література

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вип. 26 (5 липня).
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53 (5 липня). — С. 4–35.
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6 (5 липня). — С. 15–28.
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 (5 липня). — С. 225–232.
• John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87 (5 липня). — С. 444–452.
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

Посилання

• The Lester Circle Details of its discovery.(англ.)
• Lester Circle at MathWorld(англ.)
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X (5607) and X (5608)(англ.)