Квадратні трикутні числа

Про квадрати трикутних чисел, див. .

У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:

Квадратні трикутні числа
Підтримується Вікіпроєктом
Квадратні трикутні числа у Вікісховищі

Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 послідовність A001110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Детальні формули

Якщо позначити N_k для k-го квадратного трикутного числа, а s_k і t_k прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа N = n(n + 1)/2 як n. З цього визначення та квадратичної формули,

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Тому, N є трикутним числом (для цілого n) тоді й лише тоді, коли 8N + 1 є квадратом. Відповідно, квадратне число M² є трикутним числом тоді й лише тоді, коли 8M² + 1 є квадратом, тобто, коли існують числа x і y, для яких x² − 8y² = 1. Це є випадком рівняння Пелля для n = 8. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення x = 1, y = 0 для будь-якогоn; це також називається нульовим рішенням, та індексується як (x₀, y₀) = (1,0). Якщо (x_k, y_k) позначає k-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного n, воно може бути зображено методом спуска, тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого n, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для n = 8 легко знайти: це (3,1). Рішення (x_k, y_k) для рівняння Пелля для n = 8 дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:

${\displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), є 36.

Послідовності N_k, s_k і t_k є відповідно послідовностями OEIS  A001110,  A001109 і  A001108.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу^:12–13

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Відповідні детальні формули для s_k і t_k є наступними:^:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Рівняння Пелля

Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.

Кожне трикутне число має форму t(t + 1)/2, тому потрібно шукати такі цілі числа t, s, що

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$

Трансформуючи, отримуємо

${\displaystyle \left(2t+1\right)^{2}=8s^{2}+1,}$

а тоді, підставляючи x = 2t + 1 і y = 2s, отримуємо Діофантове рівняння

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля P_k, а саме

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

а тому всі рішення можна записати як

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

Рекурентні співвідношення

Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо^:(12)

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Маємо^:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{де }}s_{0}&=0{\text{ і }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{де }}t_{0}&=0{\text{ і }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Інші характеристики

Всі квадратні трикутні числа мають форму b²c², де b/c є наближенням до ланцюгового дробу для √2.

А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:

Якщо n-не трикутне число n(n + 1)/2 є квадратним, то і більше 4n(n + 1)-не трикутне число є таким, оскільки:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, n(n + 1)/2 (початкове квадратне трикутне число) та (2n + 1)².

Трикутні корені t_k є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо k є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо k непарним числом. Так,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², і

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають s_k: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, і 29 × 41 = 1189.^[]

Додатково:

${\displaystyle N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};}$

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.^[]

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

Числові дані

По мірі зростання k, співвідношення t_k/s_k наближається до √2 ≈ 1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. Таблиця нижче дає значення k між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 10¹⁶.

k	Nk	sk	tk	tk/sk	Nk/Nk − 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Див. також

• Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
• Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними
• Квадратне число
• Центроване квадратне число

Примітки

1. (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. Т. 2. Providence: American Mathematical Society. с. 16. ISBN .
2. Euler, Leonhard (1813). Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Легке правило для Діофантових рівнянь, які швидко вирішуються цілими числами). Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (латинська) . 4: 3—17. Архів оригіналу за 22 Жовтня 2013. Процитовано 11 травня 2009. Згідно з записами, воно було презентовано Санкт-Петербурзькій Академії 4 травня 1778 р.
3. Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. с. 16—17. ISBN . Архів оригіналу за 7 Квітня 2017. Процитовано 10 травня 2009.
4. Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 5th). Oxford University Press. с. 210. ISBN . Теорема 244
5. Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
6. Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. с. 59. ISBN .
7. Pietenpol, J. L.; Sylwester, A. V.; Just, Erwin; Warten, R. M. (February 1962). Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 69 (2): 168—169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
8. Plouffe, Simon (August 1992). 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. с. A.129. Архів оригіналу (PDF) за 6 Лютого 2013. Процитовано 11 травня 2009.

Посилання

• Трикутні числа, які також квадратні [Архівовано 27 Квітня 2006 у Wayback Machine.] на
• Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Рішення Майкла Даммета [Архівовано 17 Жовтня 2018 у Wayback Machine.]