Число Пелля

Число Пелля — ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовності ланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: ${\displaystyle 1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,\dots }$, тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.

Число Пелля
Названо на честь	Джон Пелл
Формула	${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2}&n>1\end{cases}}}$
Підтримується Вікіпроєктом

Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненціально, пропорційно степеню срібного перетину ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$. Крім використання в ланцюговому дробу наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.

Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля — Люка названі на честь Едуарда Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.

Числа Пелля

Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}$

і є окремим випадком послідовності Люка.

Перші кілька чисел Пелля

9, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (послідовність A000129 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Числа Пелля можна виразити формулою

${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Для великих значень n член ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$, також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.

Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне ^[ru] для чисел Фібоначчі,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).

Наближення до квадратного кореня з двох

Раціональне наближення до правильних восьмикутників, із координатами з чисел Пелля

Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

то їх відношення ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$ дає близьке наближення до ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$. Послідовність наближень цього виду

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд ${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$.

Наближення

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери. Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення. Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри. У другому столітті нашої ери ^[ru] використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.

Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})}$. Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.

Прості й квадрати

Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля

2, 5, 29, 5741, … (послідовність A086383 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ може бути простим тільки якщо n просте.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями, — це 0, 1, і 169 = 13².

Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами. Ці числа виникають із наступної тотожності:

${\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_{4n+1}}$ завжди є квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.}$

Наприклад, сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_{5}}$, ${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$, є квадратом числа ${\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7}$.

Числа ${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$, які утворюють квадратні корені таких сум,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (послідовність A002315 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), відомі як ^[ru].

Піфагорові трійки

Прямокутні трикутники з майже рівними катетами і цілочисельними координатами, породжені числами Пелля.

Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a²+b²=c²), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд

${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$

Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Числа Пелля — Люка

Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2,n=0\\2,n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{cases}}}$

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля. Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (послідовність A002203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Супутні числа Пелля можна подати формулою:

${\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.}$

Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$.

Обчислення та зв'язки

Наступна таблиця дає декілька перших степенів срібного перетину ${\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ і пов'язаного з ним ${\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$	${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$
0	${\displaystyle 1+0{\sqrt {2}}=1.0}$	${\displaystyle 1-0{\sqrt {2}}=1.0}$
1	${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}=2.41421\ldots }$	${\displaystyle 1-1{\sqrt {2}}=-0.41421\ldots }$
2	${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=5.82842\ldots }$	${\displaystyle 3-2{\sqrt {2}}=0.17157\ldots }$
3	${\displaystyle 7+5{\sqrt {2}}=14.07106\ldots }$	${\displaystyle 7-5{\sqrt {2}}=-0.07106\ldots }$
4	${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}=33.97056\ldots }$	${\displaystyle 17-12{\sqrt {2}}=0.02943\ldots }$
5	${\displaystyle 41+29{\sqrt {2}}=82.01219\ldots }$	${\displaystyle 41-29{\sqrt {2}}=-0.01219\ldots }$
6	${\displaystyle 99+70{\sqrt {2}}=197.9949\ldots }$	${\displaystyle 99-70{\sqrt {2}}=0.0050\ldots }$
7	${\displaystyle 239+169{\sqrt {2}}=478.00209\ldots }$	${\displaystyle 239-169{\sqrt {2}}=-0.00209\ldots }$
8	${\displaystyle 577+408{\sqrt {2}}=1153.99913\ldots }$	${\displaystyle 577-408{\sqrt {2}}=0.00086\ldots }$
9	${\displaystyle 1393+985{\sqrt {2}}=2786.00035\ldots }$	${\displaystyle 1393-985{\sqrt {2}}=-0.00035\ldots }$
10	${\displaystyle 3363+2378{\sqrt {2}}=6725.99985\ldots }$	${\displaystyle 3363-2378{\sqrt {2}}=0.00014\ldots }$
11	${\displaystyle 8119+5741{\sqrt {2}}=16238.00006\ldots }$	${\displaystyle 8119-5741{\sqrt {2}}=-0.00006\ldots }$
12	${\displaystyle 19601+13860{\sqrt {2}}=39201.99997\ldots }$	${\displaystyle 19601-13860{\sqrt {2}}=0.00002\ldots }$

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$, є невід'ємними розв'язками рівняння ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}$.

Квадратне трикутне число — це число ${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$, яке є як ${\displaystyle t\,}$ трикутним числом так і ${\displaystyle s\,}$ квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, де ${\displaystyle a+1=b}$.

Наступна таблиця показує розкладання непарних ${\displaystyle H_{n}}$ на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	t	t+1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Визначення

Половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ можна отримати декількома еквівалентними шляхами:

Піднесення до степеня:

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Звідки випливає:

${\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

і

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$

Парні рекурентні відношення:

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}$

або, в матричному вигляді:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким чином

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Наближення

Різниця ${\displaystyle H_{n}\,}$ і ${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}}$ дорівнює ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}}$, що швидко наближається до нуля.

Таким чином ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$ дуже близьке до ${\displaystyle 2H_{n}\,}$.

Із цього спостереження випливає, що відношення цілих ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{P_{n}}}}$ швидко наближається до ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ у той час як ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}\,}$ и ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}\,}$ швидко наближається до ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\,}$.

H² − 2P² = ±1

Оскільки ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ є ірраціональним, неможливо отримати ${\displaystyle {\frac {H}{P}}=2\,}$, тобто ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}\,}$. Найкраще, що ми можемо отримати, це або ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\,}$ або ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}}$.

Невід'ємними рішеннями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=1\,}$ є пари ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ з парним n, і рішеннями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=-1\,}$ є пари ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})\,}$

так що, починаючи з ${\displaystyle H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1\,}$ знак чергується (${\displaystyle 1,-1}$). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності ${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})\,}$.

Квадратні трикутні числа

Необхідну рівність ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$ еквівалентно ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1\,}$, що перетворюється в ${\displaystyle H^{2}=2P^{2}+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2t+1}$ і ${\displaystyle P=2s}$. Звідси n-м рішенням буде ${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}}$ і ${\displaystyle s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle t}$ і ${\displaystyle t+1}$ взаємно прості, так що ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,}$ можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат ${\displaystyle H^{2}}$ й інше — подвоєний квадрат ${\displaystyle 2P^{2}}$.

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&n\equiv 0{\pmod {2}}\\H_{n}^{2}&n\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$

і ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}\,}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle H_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$		t	t+1	s		a	b	c
0	1	0
1	1	1		1	2	1		1	0	1
2	3	2		8	9	6		3	4	5
3	7	5		49	50	35		21	20	29
4	17	12		288	289	204		119	120	169
5	41	29		1681	1682	1189		697	696	985
6	99	70		9800	9801	6930		4059	4060	5741

Триплети Піфагора

Рівність ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2a^{2}+2a+1}$ вірно тільки при ${\displaystyle 2c^{2}=4a^{2}+4a+2}$, що перетворюється в ${\displaystyle 2P^{2}=H^{2}+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2a+1{\mbox{ and }}P=c}$. Тоді n-м рішенням є ${\displaystyle a_{n}={\frac {H_{2n+1}-1}{2}}}$ і ${\displaystyle c_{n}={P_{2n+1}}.\,}$

Таблиця вище показує, що з точністю до порядку ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}=a_{n}+1}$ дорівнює ${\displaystyle H_{n}H_{n+1}}$ і ${\displaystyle 2P_{n}P_{n+1}}$ , в той час як ${\displaystyle c_{n}=H_{n+1}P_{n}+P_{n+1}H_{n}.}$

Див. також

• Рівняння Пелля

Примітки

1. Наприклад, Селлерс (Sellers) в 2002 році показав, що кількість в декартовому добутку і графу K₄-e може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі
2. Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).
3. Це записано в . Дивіться, наприклад, Дутка (Dutka) (1986), який цитував Тібаута (Thibaut) (1875)
4. Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням Прокла, що числа відкрили піфагорійці. Повніші дослідження щодо знань давніх греків про ці числа дивись у Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999).
5. Наприклад, у «Державі» Платона є посилання на «раціональний діаметр пчті», під яким Платон мав на увазі 7, чисельник наближення 7/5.
6. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books. Процитовано 28 січня 2013.
7. Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча числа Фібоначчі визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) писав, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі набагато складніше довести. Утім, їх довів у 2006 році Бюжо (Bugeaud).
8. Sesskin (1962).

Посилання

• Bicknell, Marjorie (1975). A primer on the Pell sequence and related sequences. . 13 (4): 345—349. MR 0387173.
• Cohn, J. H. E. (1996). Perfect Pell powers. . 38 (1): 19—20. doi:10.1017/S0017089500031207. MR 1373953.
• Dutka, Jacques (1986). On square roots and their representations. . 36 (1): 21—39. doi:10.1007/BF00357439. MR 0863340.
• Ercolano, Joseph (1979). Matrix generators of Pell sequences. . 17 (1): 71—77. MR 0525602.
• (1999). Pythagorean side and diagonal numbers (PDF). . 15: 1—7.
• Horadam, A. F. (1971). Pell identities. . 9 (3): 245—252, 263. MR 0308029.
• Kilic, Emrah; Tasci, Dursun (2005). The linear algebra of the Pell matrix. , Tercera Serie. 11 (2): 163—174. MR 2207722.
• (1976). Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation. . 15 (2): 115—140. doi:10.1007/BF00348496. MR 0497462.
• (1998). "Rational diameters" and the discovery of incommensurability. American Mathematical Monthly. 105 (5): 421—429. doi:10.2307/3109803. JSTOR 3109803.
• Knuth, Donald E. (1994). Leaper graphs. . 78 (483): 274—297. arXiv:math.CO/9411240. doi:10.2307/3620202. JSTOR 3620202.
• (1875). Rational right angled triangles nearly isosceles. The Analyst. 3 (2): 47—50. doi:10.2307/2635906. JSTOR 2635906.
• Pethő, A. (1992). The Pell sequence contains only trivial perfect powers. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland. с. 561—568. MR 1218218.
• Ridenhour, J. R. (1986). Ladder approximations of irrational numbers. . 59 (2): 95—105. doi:10.2307/2690427. JSTOR 2690427.
• Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. (2006). (PDF). . 18 (1). Архів оригіналу (PDF) за 8 травня 2007. Процитовано 25 травня 2015.
• Sellers, James A. (2002). Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers (PDF). . 5. MR 1919941.
• Sesskin, Sam (1962). A "converse" to Fermat's last theorem?. . 35 (4): 215—217. doi:10.2307/2688551. JSTOR 2688551.
• (1875). On the Súlvasútras. . 44: 227—275.
• (1929). III.—Excess and defect: or the little more and the little less. . 38 (149): 43—55. JSTOR 2249223.
• Vedova, G. C. (1951). Notes on Theon of Smyrna. American Mathematical Monthly. 58 (10): 675—683. doi:10.2307/2307978. JSTOR 2307978.