Замикання (англ. closure) множини — мінімально можливе розширення множини для збереження бажаних властивостей.
Замикання відносно операції
Множина є замкнутою відносно деякої операції, якщо результатом виконання цієї операції над елементами множини завжди буде елемент цієї множини.
- Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а натуральні числа — ні.
Якщо множина є замкнутою відносно операції, то кажуть, що вона задовільняє властивість замикання.
Сучасний теоретико-множинний підхід зазвичай визначає операції як відповідність між множинами, в такому випадку поняття замикання не є потрібним, хоча воно має зміст для підмножин.
- Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а підмножина натуральних чисел — ні.
Якщо множина S не є замкненою відносно деякої операції, то шукають найменшу замкнену відносно цієї операції множину, що містить S. Таку множину називають замиканням S відносно цієї операції.
Множина S повинна бути підмножиною деякої замкненої множини, щоб можна було знайти замикання.
- Наприклад: замиканням відносно віднімання для натуральних чисел, що є підмножиною дійсних чисел, будуть цілі числа.
Замикання відносно відношення
Також існує поняття замикання множини відносно деякого відношення:
Оператор замикання
Якщо задано операцію на множині S, то можна визначити замикання для будь-якої підмножини X.
Можна визначити на множині всіх підмножин S оператор замикання (відносно цієї операції) cl: 2S → 2S, що матиме такі властивості:
- екстенсивність: X ⊆ cl(X),
- : X ⊆ Y → cl(X) ⊆ cl(Y),
- ідемпотентність: cl(cl(X)) = cl(X).
Замикання відносно топології
В топологічному просторі замкнуту множину щодо заданої топології, визначають як доповнення простору, до деякої відкритої множини.
З визначення відкритої множини та принципу дуальності отримуємо:
- Відкрита множина є замкнутою відносно операцій: зліченного об'єднання та скінченного перетину
- Замкнута множина є замкнутою відносно операцій: скінченного об'єднання та зліченного перетину.
Замиканням множини відносно топології, називається перетин всіх замкнених множин що її містять, він є замкнутою множиною.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Zamikannya Zamikannya angl closure mnozhini minimalno mozhlive rozshirennya mnozhini dlya zberezhennya bazhanih vlastivostej Zamikannya vidnosno operaciyiMnozhina ye zamknutoyu vidnosno deyakoyi operaciyi yaksho rezultatom vikonannya ciyeyi operaciyi nad elementami mnozhini zavzhdi bude element ciyeyi mnozhini Napriklad dijsni chisla ye zamknutimi vidnosno vidnimannya a naturalni chisla ni Yaksho mnozhina ye zamknutoyu vidnosno operaciyi to kazhut sho vona zadovilnyaye vlastivist zamikannya Suchasnij teoretiko mnozhinnij pidhid zazvichaj viznachaye operaciyi yak vidpovidnist mizh mnozhinami v takomu vipadku ponyattya zamikannya ne ye potribnim hocha vono maye zmist dlya pidmnozhin Napriklad dijsni chisla ye zamknutimi vidnosno vidnimannya a pidmnozhina naturalnih chisel ni Yaksho mnozhina S ne ye zamknenoyu vidnosno deyakoyi operaciyi to shukayut najmenshu zamknenu vidnosno ciyeyi operaciyi mnozhinu sho mistit S Taku mnozhinu nazivayut zamikannyam S vidnosno ciyeyi operaciyi Mnozhina S povinna buti pidmnozhinoyu deyakoyi zamknenoyi mnozhini shob mozhna bulo znajti zamikannya Napriklad zamikannyam vidnosno vidnimannya dlya naturalnih chisel sho ye pidmnozhinoyu dijsnih chisel budut cili chisla Zamikannya vidnosno vidnoshennyaTakozh isnuye ponyattya zamikannya mnozhini vidnosno deyakogo vidnoshennya Tranzitivne zamikannya Refleksivne zamikannyaOperator zamikannyaDokladnishe Yaksho zadano operaciyu na mnozhini S to mozhna viznachiti zamikannya dlya bud yakoyi pidmnozhini X Napriklad zamikannyam pidmnozhini grupi ye pidgrupa sho porodzhena ciyeyu pidmnozhinoyu Mozhna viznachiti na mnozhini vsih pidmnozhin S operator zamikannya vidnosno ciyeyi operaciyi cl 2S 2S sho matime taki vlastivosti ekstensivnist X cl X X Y cl X cl Y idempotentnist cl cl X cl X Zamikannya vidnosno topologiyiDokladnishe Zamikannya topologiya V topologichnomu prostori zamknutu mnozhinu shodo zadanoyi topologiyi viznachayut yak dopovnennya prostoru do deyakoyi vidkritoyi mnozhini Z viznachennya vidkritoyi mnozhini ta principu dualnosti otrimuyemo Vidkrita mnozhina ye zamknutoyu vidnosno operacij zlichennogo ob yednannya ta skinchennogo peretinu Zamknuta mnozhina ye zamknutoyu vidnosno operacij skinchennogo ob yednannya ta zlichennogo peretinu Zamikannyam mnozhini vidnosno topologiyi nazivayetsya peretin vsih zamknenih mnozhin sho yiyi mistyat vin ye zamknutoyu mnozhinoyu DzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros