Закон де Морґана

Правила де Моргана — властивість булевих алгебр, що дозволяє виразити одну з двоїстих операцій ${\displaystyle \ \lor ,\land }$ через іншу і унарну операцію ${\displaystyle \ \lnot }$ доповнення (заперечення).

Правила де Моргана
Названо на честь	Ауґустус де Морган
Досліджується в	логіка
Формула	${\displaystyle \neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q).}$ і ${\displaystyle \neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q).}$
Позначення у формулі	${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lnot }$, ${\displaystyle \lor }$ і ${\displaystyle \vdash }$
Допустиме правило в	класична логіка
Підтримується Вікіпроєктом

Закони де Моргана у вигляді діаграм Венна. У випадках 1 та 2, результовна множина у відтінках синього кольору.

Логічна схема правил де Моргана

Використовуються у алгебрі множин (в теорії множин) та алгебрі логіки (в численні висловлень). Названі на честь британського математика і логіка Аугустуса де Моргана.

Твердження

Для булевої алгебри

Нехай ${\displaystyle (B,\lor ,\land ,-,0,1)}$ є деяка булева алгебра, тоді для ${\displaystyle a,b\in B}$ справджується:

${\displaystyle {\overline {a\lor b}}={\overline {a}}\land {\overline {b}};}$

${\displaystyle {\overline {a\land b}}={\overline {a}}\lor {\overline {b}}}$

Мають місце також узагальнені правила де Моргана:

${\displaystyle {\overline {\left(\lor _{i\in I}~a_{i}\right)}}=\land _{i\in I}~{\overline {a_{i}}}}$,

${\displaystyle {\overline {\left(\land _{i\in I}~a_{i}\right)}}=\lor _{i\in I}~{\overline {a_{i}}}}$.

Для алгебри логіки

${\displaystyle \lnot (p\land q)\iff (\lnot p\lor \lnot q)}$,

${\displaystyle \lnot (p\lor q)\iff (\lnot p\land \lnot q)}$;

В обох цих формулах ${\displaystyle \lor }$ — логічна диз'юнкція,${\displaystyle \land }$ — логічна кон'юнкція,${\displaystyle \lnot }$ — логічне заперечення (негація), p, q — деякі логічні висловлення.

Істинність даних правил можна підтвердити за допомогою таблиць істинності

${\displaystyle \lnot (p\land q)\iff (\lnot p)\lor (\lnot q)}$
${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle \lnot (p\land q)}$	${\displaystyle (\lnot p)\lor (\lnot q)}$	${\displaystyle \lnot p}$	${\displaystyle \lnot q}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	0	0	0	0

${\displaystyle \lnot (p\lor q)\iff (\lnot p)\land (\lnot q)}$
${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\lor q}$	${\displaystyle \lnot (p\lor q)}$	${\displaystyle (\lnot p)\land (\lnot q)}$	${\displaystyle \lnot p}$	${\displaystyle \lnot q}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	0	0

Для алгебри множин

Нехай ${\displaystyle X}$ — деяка множина і ${\displaystyle A,B\subset X}$ — її підмножини. Тоді виконується:

${\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}$,

${\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$

де ${\displaystyle \cup ,\cap ,A^{c}}$ — стандартні позначення для об'єднання, перетину та доповнення множин.

Використавши третю множину і операцію різниці множин, це можна переписати як.

${\displaystyle C-(A\cup B)=(C-A)\cap (C-B),}$

${\displaystyle C-(A\cap B)=(C-A)\cup (C-B)}$

Також виконуються і узагальнені правила

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcap _{i\in I}~A_{i}^{c}.}$,

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}~A_{i}\right)^{c}=\bigcup _{i\in I}~A_{i}^{c}.}$,

де ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$

Доведення в теорії

Правила засновані на відношеннях

${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}={\overline {A\cap B}}}$,

які графічно представлені ілюстраціями нижче. Дано дві множини A і В, які є підмножинами Ω (універсуму). Діаграма 1 показує їх розташування відносно одна до одної. У діаграмі 2 показано, як формується ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$. У діаграмі 3 на прикладі ${\displaystyle A\cap B}$ можна побачити що обидві множини рівні.

Розподіл простору в А та В	${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$	${\displaystyle {\overline {A\cap B}}}$

Історія

Правила названі на честь британського математика Ауґустуса де Моргана (1806—1871), який застосував формальну версію правил до класичної логіки висловлювань. Формуляція де Моргана створена на основі логіки, започаткованої Джорджем Булем. Схожі спостереження були зроблені Арістотелем, відомим грецьким логіком. Закони де Моргана можуть бути підтверджені просто і навіть здатися тривіальними. Тим не менше, ці закони є корисними в створенні значимих висновків в доказах і результатах дедуктивного міркування.

Див. також

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Weisstein, Eric W. Правила де Моргана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Правила де Моргана на PlanetMath.(англ.)