Гіперболічна нерухома точка

Гіперболі́чна нерухо́ма то́чка (гіперболі́чна то́чка) — фундаментальне поняття, що використовується в теорії динамічних систем стосовно відображень (дифеоморфізмів) і векторних полів. У разі відображення гіперболічною точкою називають нерухому точку, в якій усі ${\displaystyle \mu _{i}}$ (власні числа лінеаризації відображення в даній точці) за модулем відмінні від одиниці. У разі векторних полів гіперболічною точкою називають особливу точку, в якій усі власні числа лінеаризації поля ${\displaystyle \lambda _{i}}$ мають ненульові дійсні частини.

Найпростіший приклад гіперболічної особливої точки векторного поля — сідло.

Стійкий та нестійкий многовиди

У гіперболічній точці векторного поля (або дифеоморфізму) дотичний простір розкладається в пряму суму двох інваріантних підпросторів ${\displaystyle T^{u}}$ і ${\displaystyle T^{s}}$, інваріантних відносно оператора лінійної частини поля: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}}$. Підпростори ${\displaystyle T^{u}}$ і ${\displaystyle T^{s}}$ визначаються відповідно умовами ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda _{i}>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda _{i}<0}$ у разі векторних полів та умовами ${\displaystyle |\mu _{i}|>1}$, ${\displaystyle |\mu _{i}|<1}$ у разі дифеоморфізмів. Ці підпростори є інваріантними многовидами лінеаризованого векторного поля (дифеоморфізму) у цій точці, вони називаються його нестійким та стійким відповідно.

Нестійким та стійким многовидами початкового нелінійного векторного поля (дифеоморфізму) називають його інваріантні многовиди ${\displaystyle W^{u}}$ і ${\displaystyle W^{s}}$, що дотикаються відповідно до підпросторів ${\displaystyle T^{u}}$ і ${\displaystyle T^{s}}$ у точці, що розглядається, і мають ті ж розмірності, що ${\displaystyle T^{u}}$ і ${\displaystyle T^{s}}$. Многовиди ${\displaystyle W^{u}}$ і ${\displaystyle W^{s}}$ визначаються в єдиний спосіб. Зазначимо, що мнгоговиди ${\displaystyle W^{u}}$ і ${\displaystyle W^{s}}$ існують у випадку гіперболічних особливих точок, проте у разі гіперболічної точки сума їх розмірностей дорівнює розмірності всього простору, й інших інваріантних многовидів, які проходять через цю особливу точку, немає.

Теореми про гіперболічні точки

Теорема Гробмана — Гартмана. В околі гіперболічної точки нелінійного дифеоморфізму (векторного поля) динаміка відрізняється від такої для відповідного лінійного відображення (векторного поля) неперервною заміною координат.

Теорема Адамара — Перрона. В околі гіперболічної точки гладкого (або аналітичного) векторного поля або дифеоморфізму існують нестійкий та стійкий многовиди ${\displaystyle W^{u}}$ і ${\displaystyle W^{s}}$ такого ж класу гладкості (відповідно, аналітичні), що проходять через цю точку.

Теорема Ченя. Якщо в околі гіперболічної точки два ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкі векторні поля (дифеоморфізм) формально еквівалентні (тобто, переводяться один в одного формальною заміною змінних, заданою формальними степеневими рядами), то вони ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладко еквівалентні.

Див. також

• Диффеоморфізм Аносова
• Гіперболічна множина
• Центральний многовид

Література

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории. — М. : Физматлит, 1995. — С. 137.
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М. : Мир, 1980.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М. : МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — .
• ^[ru], ^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — .

Примітки

1. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, глава 3. оригіналу за 24 березня 2018. Процитовано 24 березня 2018.
2. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, стр. 61. оригіналу за 24 березня 2018. Процитовано 24 березня 2018.
3. Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
4. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, стр. 72. оригіналу за 24 березня 2018. Процитовано 24 березня 2018.
5. Chen, Kuo-Tsai. Equivalence and decomposition of vector fields about an elementary critical point. Amer. J. Math. 85 (1963), p. 693—722.