У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.
Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі , має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу з . Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.
Групоїди природно заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.
Приклади
- Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.
- Нехай
— довільна категорія, а
— підкатегорія, об'єкти якої збігаються с об'єктами
, а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у
. Тоді
— групоїд.
- Нехай
— лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд
— це , об'єктами якої є усі точки з
, а стрілки з
у
відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з
у
:
- Дві функції
та
задають один і той же шлях якщо існує
так, що
або
. Композиція стрілок задається композицією шляхів:
- 2-морфізм з
у
— це гомотопія з
у
. Фундаментальний групоїд є фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки
виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта
.
- Категорія векторних розшарувань рангу
над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природно утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття [en] (котрий є частковим випадком [en]), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами
, де
— пучок Груп на
. Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп
.
Див. також
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Ця стаття не містить . (січень 2013) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina U teoriyi kategorij grupo yid ce kategoriya u yakij usi morfizmi ye izomorfizmami Grupoyidi mozhna rozglyadati yak uzagalnennya grup A same kategoriya vidpovidna grupi G displaystyle G maye rivno odin ob yekt i po odnij strilci dlya kozhnogo elementu g displaystyle g z G displaystyle G Kompoziciya strilok zadayetsya yak mnozhennya vidpovidnih elementiv u grupi Vidno sho pri comu kozhna strilka ye izomorfizmom Takim chinom mnozhinu strilok grupoyida mozhna rozglyadati yak deyaku mnozhinu z chastkovo viznachenoyu binarnoyu operaciyeyu mnozhennya taku sho dlya kozhnogo elementu isnuye livij i pravij zvorotnij a takozh liva i prava odinicya za mnozhennyam Grupoyidi prirodno zaminyayut u teoriyi kategorij grupi simetrij i vinikayut pri klasifikaciyi klasiv izomorfnih ob yektiv PrikladiBud yaka kategoriya sho ye grupoyu ye grupoyidom Nehaj C displaystyle C dovilna kategoriya a D C displaystyle D hookrightarrow C pidkategoriya ob yekti yakoyi zbigayutsya s ob yektami C displaystyle C a morfizmami ye usi mozhlivi izomorfizmi u C displaystyle C Todi D displaystyle D grupoyid Nehaj X displaystyle X linijno zv yaznij topologichnij prostir Todi jogo fundamentalnij Grupoyid P 1 X displaystyle Pi 1 X ce ob yektami yakoyi ye usi tochki z X displaystyle X a strilki z x X displaystyle x in X u y X displaystyle y in X vidpovidayut usim mozhlivim geometrichnim shlyaham z x displaystyle x u y displaystyle y f 0 1 X f 0 x f 1 y displaystyle f colon 0 1 to X f 0 x f 1 y Dvi funkciyi f displaystyle f ta g displaystyle g zadayut odin i toj zhe shlyah yaksho isnuye s 0 1 0 1 displaystyle s 0 1 to 0 1 tak sho f g s displaystyle f g circ s abo g f s displaystyle g f circ s Kompoziciya strilok zadayetsya kompoziciyeyu shlyahiv f g t f 2 t 0 t 1 2 g 2 t 1 1 2 t 1 displaystyle fg t begin cases f 2t 0 leqslant t leqslant 1 2 g 2t 1 1 2 leqslant t leqslant 1 end cases 2 morfizm z f displaystyle f u g displaystyle g ce gomotopiya z f displaystyle f u g displaystyle g Fundamentalnij grupoyid ye fundamentalnoyi grupi Jogo perevaga u tomu sho u prostori ne potribno obirati vidmichenu tochku tak sho ne vinikayut problemi z nekanonichnistyu izomorfizmu fundamentalnih grup u riznih tochkah abo z prostorami yaki mayut dekilka komponent zv yaznosti Fundamentalna grupa petel z tochki x X displaystyle x in X vinikaye yak grupa 2 izomorfnih avtomorfizmiv ob yekta x P 1 X displaystyle x in Pi 1 X Kategoriya vektornih rozsharuvan rangu n displaystyle n nad styaguvanim prostorom z nevirodzhenimi vidobrazhennyami prirodno utvoryuye grupoyid Ce tverdzhennya lezhit v osnovi vvedennya ponyattya en kotrij ye chastkovim vipadkom en sho yavlyaye soboyu soboyu strukturu na kategoriyi puchkiv zadanogo tipu Dzherbi ye geometrichnimi ob yektami sho klasifikuyutsya grupami H 2 X G displaystyle H 2 X mathcal G de G displaystyle mathcal G puchok Grup na X displaystyle X Ponyattya osoblivo vazhlive u vipadku neabelevih grup G displaystyle mathcal G Div takozhCe nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno sichen 2013