Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями):
Гармонічний осцилятор | |
Гармонічний осцилятор у Вікісховищі |
де — додатна константа, що описує жорсткість системи.
Якщо — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.
Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Коли тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у подібного осцилятора без тертя.
Якщо осцилятор існує сам собою, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.
Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням
- ,
де — узагальнена координата гармонічного осцилятора, — час, — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина здійснює гармонічні коливання.
Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.
Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи в автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).
Гармонічний осцилятор у класичній фізиці
Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона
Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом
- .
Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом
- .
Відповідно, вважаючи величину узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцилятора записується
- .
Функція Гамільтона
- .
Вимушені коливання
Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.
Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою під дією сили з частотою описуються рівнянням
- ,
де — амплітуда зовнішньої сили.
цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд
- .
Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою . При амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.
Гармонічний осцилятор із згасанням коливань
При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини . Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду
- .
Такі коливання затухають із часом згідно із законом
- .
Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням
При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.
Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою
- .
Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.
Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів
Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою
- ,
де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.
Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою
Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою
- ,
де L — індуктивність, C — ємність.
Гармонічний осцилятор у квантовій механіці
Детальніше див. Квантовий осцилятор.
Спектр власних значень і власні функції
Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу на
- .
Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою
- .
Тут — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію
- .
Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.
Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу задаються формулами
- ,
де , а — поліноми Ерміта.
При парному власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни на (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.
Оператори народження та знищення
Якщо визначити оператор народження
- ,
то
- .
Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:
- .
Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд
- ,
або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:
- .
Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:
- .
Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:
Оператор
називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.
Правила відбору
При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою .
У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.
Див. також
Джерела
- Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.
- Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа., 415 с.
- Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Garmoni chnij oscilya tor sistema u klasichnij mehanici yaka u razi zmishennya zi stanu rivnovagi pid diyeyu pevnoyi sili chi superpoziciyi sil povertayetsya do poperednogo stanu pid diyeyu zvorotnoyi sili proporcijnoyi zmishennyu napriklad za zakonom Guka u vipadku z mehanichnimi kolivannyami Garmonichnij oscilyator Garmonichnij oscilyator u Vikishovishi F k x displaystyle F kx de k displaystyle k dodatna konstanta sho opisuye zhorstkist sistemi Yaksho F displaystyle F yedina sila sho diye na sistemu to sistemu nazivayut prostim abo konservativnim garmonijnim oscilyatorom Vilnimi kolivannyami takoyi sistemi ye periodichnij ruh navkolo stanu rivnovagi garmonijni kolivannya Chastota i amplituda pri comu postijni prichomu chastota ne zalezhit vid amplitudi Yaksho ye she j sila tertya vidbuvayetsya zgasannya kolivan proporcijna shvidkosti ruhu v yazke tertya to taku sistemu nazivayut zgasayuchim abo disipativnim oscilyatorom Koli tertya ne duzhe velike to sistema robit majzhe periodichnij ruh sinusoyidalni kolivannya z postijnoyu chastotoyu i eksponencialno spadnoyu amplitudoyu Chastota vilnih kolivan zgasayuchogo oscilyatora viyavlyayetsya desho nizhche nizh u podibnogo oscilyatora bez tertya Yaksho oscilyator isnuye sam soboyu to kazhut sho vin robit vilni kolivannya Yaksho zh ye zovnishnya sila sho zalezhit vid chasu to govoryat sho oscilyator vikonuye vimusheni kolivannya Takozh mozhna dati ekvivalentne oznachennya garmonichnomu oscilyatoru ce fizichnij ob yekt evolyuciya yakogo z chasom opisuyetsya diferencialnim rivnyannyam q t w 2 q t 0 displaystyle ddot q t omega 2 q t 0 de q displaystyle q uzagalnena koordinata garmonichnogo oscilyatora t displaystyle t chas w displaystyle omega harakterna chastota garmonichnogo oscilyatora Dvi krapki nad zminnoyu oznachayut drugu pohidnu za chasom Velichina q displaystyle q zdijsnyuye garmonichni kolivannya Zadacha pro garmonichnij oscilyator maye centralne znachennya yak u klasichnij tak i u kvantovij fizici Velika kilkist fizichnih sistem povodyat sebe yak garmonichni oscilyatori u razi neznachnogo vidhilennya vid rivnovagi Do nih nalezhat matematichnij mayatnik z malimi kutami vidhilennya fizichnij ta torsionnij mayatniki vantazh na pruzhini kolivannya atomiv u molekulah i tverdih tilah Sered prikladiv varto viriznyati elektrichni kolivalni konturi oskilki z nimi mi stikayemosya u suchasnomu zhitti povsyakchas ce majzhe vsi elektrotehnichni priladi z yakimi mi znajomi led ne vid narodzhennya napriklad lifti elektronni sistemi v avtomobilyah komp yuteri akustichni sistemi kavovarki Garmonichnij oscilyator u klasichnij fiziciMali kolivannya mayatnika ye garmonichnimi Energiya funkciya Lagranzha ta Gamiltona Kinetichna energiya garmonichnogo oscilyatora zadayetsya virazom K m 2 q 2 displaystyle K frac m 2 dot q 2 Potencialna energiya garmonichnogo oscilyatora zadayetsya virazom U m w 2 q 2 2 displaystyle U frac m omega 2 q 2 2 Vidpovidno vvazhayuchi velichinu q displaystyle q uzagalnenoyu koordinatoyu funkciya Lagranzha garmonichnogo oscilyatora zapisuyetsya L m q 2 2 m w 2 q 2 2 displaystyle mathcal L frac m dot q 2 2 frac m omega 2 q 2 2 Uzagalnenij impuls p L q q displaystyle p frac partial mathcal L partial dot q dot q Funkciya Gamiltona H p 2 2 m m w 2 q 2 2 displaystyle mathcal H frac p 2 2m frac m omega 2 q 2 2 Vimusheni kolivannya Pid diyeyu zovnishnoyi periodichnoyi sili iz chastotoyu yaka ne obov yazkovo zbigayetsya iz vlasnoyu chastotoyu garmonichnogo oscilyatora oscilyator zdijsnyuye garmonichni kolivannya aplituda yakih viznachayetsya velichinoyu zovnishnoyi sili i spivvidnoshennyam zovnishnoyi chastoti j vlasnoyi chastoti oscilyatora Vimusheni kolivannya garmonichnogo oscilyatora iz chastotoyu w 0 displaystyle omega 0 pid diyeyu sili z chastotoyu w displaystyle omega opisuyutsya rivnyannyam q w 0 2 q f 0 cos w t f displaystyle ddot q omega 0 2 q f 0 cos omega t varphi de f 0 displaystyle f 0 amplituda zovnishnoyi sili cogo rivnyannya yakij opisuye vimusheni kolivannya maye viglyad q f 0 w 0 2 w 2 cos w t f displaystyle q frac f 0 omega 0 2 omega 2 cos omega t varphi Garmonichnij oscitor pid diyeyu zovnishnoyi sili zdijsnyuye garmonichni kolivannya z amplitudoyu f 0 w 0 2 w 2 displaystyle f 0 omega 0 2 omega 2 Pri w w 0 displaystyle omega rightarrow omega 0 amplituda vimushenih kolivan pryamuye do neskinchenosti Ce yavishe nazivayetsya rezonansom Garmonichnij oscilyator iz zgasannyam kolivan Pri vrahuvanni sil tertya chi suprotivu inshogo rodu yakij prizvodit do disipaciyi energiyi oscilyatora j peretvorenni yiyi v teplo rivnyannya garmonichnogo oscilyatora zminyuyutsya Zokrema duzhe poshirenij vipadok koli sili suprotivu proporcijni shvidkosti zmini velichini q displaystyle q Todi rivnyannya garmonichnogo oscilyatora nabiraye viglyadu q g q w 2 q 0 displaystyle ddot q gamma dot q omega 2 q 0 Taki kolivannya zatuhayut iz chasom zgidno iz zakonom q q 0 e g t cos w t f displaystyle q q 0 e gamma t cos omega t varphi Vimusheni kolivannya garmonichnogo oscilyatora iz zgasannyam Pri diyi periodichnoyi zovnishnoyi sili navit pri zatuhanni dlya oscilyatora vstanovlyuyutsya garmonichni kolivannya iz amplitudoyu yaka zalezhit vid prikladenoyi sili spivvidnoshennya chastot a takozh vid velichini zatuhannya Amplituda vimushenih kolivan iz vrahuvannyam zatuhannya viznachayetsya formuloyu q 0 f 0 w 0 2 w 2 w 0 2 w 2 2 g 2 w 2 displaystyle q 0 frac f 0 omega 0 2 omega 2 omega 0 2 omega 2 2 gamma 2 omega 2 Ce skinchenna velichina pri vsih chastotah zovnishnoyi sili Formuli dlya rozrahunku chastot garmonichnih oscilyatorivMatematichnij mayatnik pri nevelikomu pochatkovomu vidhilenni vid vertikali zdijsnyuye garmonichni kolivannya z chastotoyu w g l displaystyle omega sqrt frac g l de g priskorennya vilnogo padinnya l dozhina mayatnika Tilo masoyu m na pruzhini iz zhorstkistyu k ye garmonichnim oscilyatorom z chastotoyu w k m displaystyle omega sqrt frac k m Kolivalnij kontur ye garmonichnim oscilyatorom iz chastotoyu w 1 L C displaystyle omega frac 1 sqrt LC de L induktivnist C yemnist Garmonichnij oscilyator u kvantovij mehaniciDetalnishe div Kvantovij oscilyator Spektr vlasnih znachen i vlasni funkciyi Hvilovi funkciyi pershih shesti staniv iz kvantovimi chislami vid n 0 do 5 Na osi ordinat vidkladena uzagalnena koordinata Gamiltonian garmonichnogo oscilyatora otrimuyetsya zaminoyu u funkciyi Gamiltona impulsu p displaystyle p na i ℏ d d q displaystyle i hbar frac d dq H ℏ 2 2 d 2 d q 2 1 2 w 2 q 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2 frac d 2 dq 2 frac 1 2 omega 2 q 2 Spektr garmonichnogo oscilyatora znahoditsya iz stacionarnogo rivnyannya Shredingera j zadayetsya formuloyu E n ℏ w n 1 2 displaystyle E n hbar omega left n frac 1 2 right Tut n displaystyle n kvantove chislo yake probigaye znachennya vid nulya do neskinchenosti Energetichni rivni garmonichnogo oscilyatora ekvidistantni Harakternoyu osoblivistyu garmonichnogo oscilyatora ye te sho navit u osnovnomu stani garmonichnij oscilyator maye vidminnu vid nulya energiyu E 0 1 2 ℏ w displaystyle E 0 frac 1 2 hbar omega Cya najnizhcha energiya nazivayetsya energiyeyu nulovih kolivan Vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora yaki vidpovidayut kvantovomu chislu n displaystyle n zadayutsya formulami ps n e x 2 2 H n x displaystyle psi n e x 2 2 H n x de x q w ℏ displaystyle x q sqrt omega hbar a H n x displaystyle H n x polinomi Ermita Pri parnomu n displaystyle n vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora parni pri nepranomu neparni Gamiltonian garmonichnogo oscilyatora komutuye iz operatorom zamini x displaystyle x na x displaystyle x operatorom parnosti a tomu maye spilni vlasni funkciyi z cim operatorom Operatori narodzhennya ta znishennya Yaksho viznachiti operator narodzhennya a 1 2 ℏ w w q i p displaystyle hat a frac 1 sqrt 2 hbar omega omega q i hat p ta operator znishennya a 1 2 ℏ w w q i p displaystyle hat a frac 1 sqrt 2 hbar omega omega q i hat p to H ℏ w a a 1 2 displaystyle hat H hbar omega left hat a hat a frac 1 2 right Operatori narodzhennya ta znishennya zadovilnyayut komutacijnomu spivvidnoshennyu a a a a 1 displaystyle hat a hat a hat a hat a 1 Vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora todi mayut viglyad ps n n a n ps 0 displaystyle psi n sqrt n hat a n psi 0 abo vikoristovuyuchi notaciyu ket i bra vektoriv n gt n a n 0 displaystyle n gt sqrt n hat a n 0 rangle Zagalom diya operatora narodzhennya na garmonijnij operator u stani n gt prizvodit do perehodu v stan n 1 gt a n gt n 1 n 1 displaystyle hat a n gt sqrt n 1 n 1 rangle Diya operatora znishennya na stan n gt prizvodit do perehodu v stan n 1 gt a n gt n n 1 displaystyle hat a n gt sqrt n n 1 rangle Operator N a a displaystyle hat N hat a hat a nazivayut operatorom chisla chastinok oskilki dlya nogo spravedlive spivvidnoshennya N n gt n n displaystyle hat N n gt n n rangle Pravila vidboru Pri viprominyuvanni chi poglinanni fotona dozvolenimi perehodami dlya garmonichnogo oscilyatora ye taki pri yakih kvantove chislo n zminyuyetsya na odinicyu Vrahovuyuchi ekvidistantnist rivniv ce pravilo vidboru prizvodit do togo sho nezvazhayuchi na neskinchenne chislo rivniv u spektri optichnogo poglinannya chi viprominyuvannya garmonichnogo oscilyatora ye lishe odna liniya z chastotoyu w displaystyle omega U realnih kolivnih spektrah molekul mozhlivi vidhilennya vid cogo pravila zumovleni angarmonichnistyu realnogo potencialu mizhatomnoyi vzayemodiyi kvadrupolnimi perehodami i t d Div takozhGarmonichni kolivannya Normalni kolivannya Oscilyator LorencaDzherelaFedorchenko A M 1975 Teoretichna mehanika Kiyiv Visha shkola 516 s Fedorchenko A M 1993 Teoretichna fizika Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika T 2 Kiyiv Visha shkola 415 s Yuhnovskij I R 2002 Osnovi kvantovoyi mehaniki Kiyiv Libid